新高考背景下高中數學深度學習的探究
——以人教版選修2-3“二項式定理”為例

張 青

(廣東省廣州市番禺區大龍中學 廣東廣州 511400)

深度學習理念要求學生在學習知識的過程中，能夠將知識化為自己解決問題的能力，借助思維導圖，構建完整的知識網絡，并進行有效應用。深度學習是一種積極主動性的探究活動，要求學習者將所學知識應用于實際問題的解決中，教師在教學過程中應該是課堂的創設者、組織者、管理者、引導者、促進者。深度學習不是一種教學模式，而是一種新的教學理念，是教學改進的一個方向，因此，教師要轉變傳統教學思想。那么，教師在平時的教學中應如何引導學生進行深度學習呢？如何對歷史班學生進行有效的教學，取得高考的雙贏、共贏、多贏，是每一位在普通高中任教的教師都必須重視的問題。本文將以人教版選修2-3“二項式定理”為例，利用深度學習理念指導高中數學的課堂教學，目的是讓學生在發現的基礎上去同化，引導學生通過深切的體驗和深入的思考，達成對概念的透徹理解，有效克服數學淺層次的學習，以促進核心素養的發展。

一、創設情境，引入課題

“二項式定理”的新課標要求，用計數原理分析(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的展開式，歸納類比得到二項式定理，并能用計數原理證明。掌握二項展開式的通項公式，解決簡單問題，會求各種類型的二項式系數。由于二項式系數是一些特殊的組合數，利用二項式定理可進一步深化對組合數的認識，總之，二項式定理是綜合性較強的、具有聯系不同內容作用的知識，教學目標應體現學生學會知識與技能，同時成為學生學會學習，形成正確價值觀的過程。本節課的教法應當遵循“以學生為主體、教師是數學課堂活動的組織者、引導者和促進者”的教育原則，采用“啟發式教學法”，學生主要采用“探究式學習法”，倡導學生主動參與，通過不斷探究、發現，在師生互動，生生互動中，完成二項式定理的探究，掌握求二項式定理展開式系數的方法。

引入：提出問題：(a+b)2+? (a+b)3=? (a+b)4=? 學生思考。

那么(a+b)10=? (a+b)n=? 展開式是什么？

二、體驗感知，探究歸納

（一）探究歸納，總結規律

觀察下列的展開式，歸納猜想(a+b)n的展開式有怎樣的規律？

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

引導學生觀察每個展開式中有多少項，每一項的次數有什么規律，每一項的系數之間有什么規律，從而發現n次展開式中有n+1項，展開式中每一項都是n次式，系數先增后減，且對稱相等。這種由特殊到一般的歸納總結，離不開對特殊實例的觀察和教師的引導，只有將具體實例進行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般性規律的總結，才能讓學生順暢抓住展開過程的兩個要點，即項的結構和項的系數，有目的地進行下一步的探討和分析。

（二）探究項的結構特點

展開式中的各項是如何得到的呢？教師引導，學生思考討論。根據多項式乘法法則，(a+b)n的展開式是從每個因式中任取一項相乘得到展開式的項。多項式乘法法則是展開式的運算基礎，同時為用組合數表示系數創設情境，讓學生的思維能夠活躍起來，為下面的系數研究奠定基礎。

（三）探究項的系數特點

展開式各項的系數是如何確定的呢？根據多項式乘法法則，各項的形成過程就是有關計數原理的問題。而各項的系數，就是展開過程中該項出現的個數。本節課的重點是利用多項式的乘法法則和計數原理對展開式中的各項進行分析，透徹理解系數的產生過程和規律，從而為熟練求二項展開式的系數打下堅實的基礎，符合學生的思維發展規律，能準確檢驗學生對問題分析能力和解決方法的掌握。

這一部分的逐步探究過程，可以讓學生以小組合作的方式進行，通過同伴的探索、協作與交流，發揮小組學習共同體的作用，讓每個學生都參與到深度思考中，從而促進學生的深度學習。深度學習從本質上看就是一種主動的、探究式的、理解性的學習方式，要求學習者在發現的基礎上同化，通過小組合作討論能更好地實現促進式、層次式的、階梯式的深度學習[2]。

三、知識建構，形成定理

（一）二項式定理：(a+b)n的展開式為：

證明：(a+b)n是n個(a+b)相乘，每個(a+b)在相乘時，有兩種選擇，選a或者選b，由分步計數原理可知展開式共有2n項（包括同類項），其中每一項都是an-kbk(k=0,1,…n)的形式，對于每一項an-kbk，它是由k個(a+b)中選了b，n-k個(a+b)中選了a得到的，它出現的次數相當于從n個(a+b)中取k個b的組合數Ckn，將它們合并同類項，就得到二項展開式，這就是二項式定理。

（二）深化認知，加強理解

二項式定理的公式特征：

1.展開式中每一項的次數都是n；

2.展開式共有n+1項；

3.展開式各項按照字母a降冪排列，次數由n遞減到0，字母b升冪排列，次數由0遞增到n；

4.二項展開式的通項為第k+1項，用Tk+1表示，即Tk+1=Ck

nan-kbk；

5.各項的系數Ck

n(k=0,1,…n),叫二項式系數。

對于二項式定理的公式特征的歸納總結，是從特殊到一般的歸納過程，訓練學生的類比、聯想、歸納的探究能力。對于這部分內容，可以先讓學生小組討論，總結歸納，但學生的表述能力有限，理解能力有限，教師要及時發揮引導作用，幫助學生完善思維，進行有效性的學習活動。深度學習是提高學生有效性意義建構成效的有效途徑和策略，教師要把握住兩個基本要點，教師可以一方面立足于深度學習，另一方面立足于學生的實際，努力設計一個能夠讓學生進行深度學習的過程，培養學生的數學學科核心素養。

四、鞏固知識，提升解題能力

設計幾道例題，讓學生熟悉二項展開式及其通項，區分二項式系數和系數，培養學生的運算能力。練習題是考查學生的學習情況，應用新知的能力，各個題目設計得比較有梯度，逐漸加大難度，符合學生的認知水平，并向高考題靠攏，提高學生的解題能力。

例1（小試身手）：寫出(x+1)8=?

變式：寫出(2x-1)8的展開式。

例2（課本例題）：（1）求(1+2x)7的展開式的第4項的系數；

例3（走進高考題）：

（1）(1+x)7的展開式中x2的系數是（ ）。

A.42 B.35 C.28 D.21

A.80 B.-80 C.40 D.-40

（3）(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數為（ ）。

A.12 B.16 C.20 D.24

（4）(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數為（ ）。

A.-80 B.-40 C.40 D.80

上面的幾個例題由易入難，層層遞進，可以用基本方法二項式定理展開式的通項解決（需要較強的指數冪計算功底），還可以利用計數原理，直接寫出指定項的系數，這個方法通俗易懂，學生容易掌握，且可以舉一反三，各種類型的二項式系數都可以解決，一個括號的二項式系數（例3（1）（2）），兩個括號的二項式系數（例3（3）（4）），甚至三項式系數（拓展提升（2））。

拓展提升：

（1）(2x-3y)(3x+2y)8的展開式中x2y7的系數為_________。（用數字填寫答案）

（2）(x2+x+y)5的展開式中x5y2的系數為__________。（用數字填寫答案）

解決問題是數學教學的核心，在學生原有認知的基礎上，問題設計是非常重要的，因為教師對問題的設置和導向，直接決定了學生的思維方向和思維深度，教學中以問題為主線，激發學生探究問題的興趣和積極性，使學生的思維始終處于“提出問題，解決問題”的狀態中。在學生無法自主完成思維方法提升的時候，教師應引導學生分析問題，促進學生思維的發展，使學生能夠熟練掌握所學知識，并將之運用于解決實際問題。總之，教師要重視學生的參與過程，培養學生發現問題、分析問題、邏輯推理、解決問題的能力。

綜上所述，開展深度學習的研究與實踐是把握教學本質的一種積極努力，是我國課程教學改革走向深入的必需。授之以魚不如授之以漁，教師要轉變立場和思想觀念，思考讓學生做什么，如思考、探究、小組合作、回答問題等，還要關注教什么，怎么教，學生為什么學，學什么，怎么學，只有教師的深度教學才能促進學生的深度學習，培養學生的數學思維，促進知識的深度加工與機構化，實現從知識到素養的進階[7]。