基于虛擬材料復模量非均勻分布的螺栓連接薄板結構半解析建模

劉曉峰，孫 偉?，孫 悅

1) 東北大學機械工程與自動化學院，沈陽 110819 2) 東北大學航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，沈陽 110819

螺栓連接由于結構簡單、成本低、便于裝拆且具有一定可靠性而被廣泛應用. 現代航空發動機的連接結構亦多采用螺栓進行緊固連接. 螺栓連接結構相比于整體結構，其結合部處整體剛度會有所下降，且該部分會產生一定的阻尼作用，兩者共同作用，從而對整個結構的力學特性產生影響. 因此，如何有效的模擬螺栓連接結構的結合部，對研究整個螺栓連接結構的力學特性至關重要.

近年來，很多學者致力于螺栓連接結構的力學特性研究，研究人員通常會建立精確地高保真模型進行螺栓結合部的靜力學分析. 例如，Reid和Hiser[1]采用非線性有限元分析方法，建立了螺栓結合部在剪切荷載作用下單向滑動的模型，在一定精度上再現了物理實驗中出現的力-位移滯回曲線. Sawa等[2]建立了螺栓連接結構的三維有限元模型，分析了考慮螺紋的螺旋應力分布和其分別在循環載荷和靜載荷作用下的彈塑性變形狀態. Luyt等[3]對兩種圓形螺栓法蘭裝置進行了完整的有限元建模，可以準確地預測帶有黏彈性墊圈的平面和凸起法蘭組件在閥座狀態下的蠕變松弛效應. Zhang等[4]建立了考慮螺旋螺紋的螺栓連接板結構三維有限元模型，研究了其在軸向張力作用下沿嚙合螺紋的載荷傳遞行為. 由于高保真模型建模復雜、耗時長，分析過程比較緩慢，尤其在進行螺栓連接結構的動力學研究時高保真模型更加難以適用，因此研究者們建立了螺栓連接結構的簡化模型以提高模型計算效率. Luan等[5]用線性彈簧模擬螺栓連接法蘭結合部接觸界面，建立了簡化的螺栓連接法蘭結構動力學模型，并結合物理實驗討論了結構縱向振動頻率與橫向振動頻率的關系. Meisami等[6]將螺栓法蘭結構的結合部和螺栓分別視為懸臂梁和彈簧，建立了一個能反映實際結合部行為的解析模型，得到了載荷與撓度之間的精確關系. Xiang等[7]提出了一種考慮孔間隙和摩擦效應的改進彈簧法，并基于彈簧法和有限元理論對七螺栓雙搭接板進行建模，研究了板寬、板厚、螺栓間距和間隙對載荷分布的影響. Deaner等[8]利用彈簧單元、粘滯阻尼單元以及一個四參數的Iwan單元建立了螺栓連接的雙梁結構模型，在一定的受力水平范圍內準確的描述了結構的剛度及阻尼. 李玲等[9]將栓接結合部剛度等效為結合面剛度和螺栓剛度的串聯，并利用ANSYS軟件建立了栓接梁結構的有限元模型. 孫偉等[10]提出采用簡化的Iwan模型模擬螺栓結合面之間的非線性動力學現象，從而建立了螺栓連接組合梁非線性解析模型.

除上述針對螺栓結合部簡化建模的方法外，還有很多學者將螺栓接合部簡化成一種虛擬材料，并基于此完成螺栓連接結構的建模與分析. 例如，Iranzad和Ahmadian[11]采用薄層虛擬彈塑性材料模擬螺栓連接梁結合部的接觸界面，建立了完整的動力學模型，并利用試驗數據對其參數進行了識別. Wang和Fan[12]將螺栓連接梁的連接界面簡化為虛擬材料，建立了螺栓連接梁的有限元模型，采用剛度和阻尼隨頻率變化的子結構描述結合部非線性動力學行為. Zha等[13]提出將螺栓結合面接觸部分用一種橫觀各向同性的虛擬材料模擬并以此建立螺栓連接板的有限元模型，并將求解得到的模型固有頻率和振型與實驗結果進行比較，驗證了模型的正確性. Yang等[14]提出了一種基于分形理論的虛擬材料模型并將其用于預測碳纖維增強塑料復合材料螺栓連接的固有頻率.Shi和Zhang[15]提出了一種基于虛擬材料的栓接結合部界面參數化模型，在不同加載條件下對一個具有螺栓連接的力學結構進行了數值仿真. Ye等[16]利用螺栓結合部基本特征參數與材料應變能的關系推導出虛擬材料的參數，然后利用有限元分析軟件建立了包含結合部的單螺栓連接內孔圓接頭分析模型. Zhao等[17]提出了一種基于表面接觸應力的非線性虛擬材料方法來描述螺栓連接，并以一個箱型螺栓連接結構模型為例進行了較精確的動態性能分析.

上述利用虛擬材料法建立的螺栓連接結構模型均與實驗結果較為接近，但是上述模型中通常用賦以均勻參數的虛擬材料模擬螺栓結合面.事實上，真實螺栓結合部的接觸面壓力是非均勻分布的，而這種非均勻分布的接觸面壓力會影響到結構的振動特性. 因此，本文以螺栓連接薄板結構為研究對象，采用復模量非均勻分布的虛擬材料模擬螺栓連接結構的搭接部分，建立螺栓連接板的半解析模型. 文中具體介紹了建模思想及原理，給出了基于遺傳算法反推虛擬材料各參數的辨識流程，并創新性地給出了求解頻響函數的公式. 最后，以一個具體的螺栓連接薄板結構為例進行了實例研究，通過模型與物理實驗結果間的對比驗證了上述建模思想及方法的正確性和合理性.

1 基于虛擬材料復模量非均勻分布的螺栓搭接部分建模理念

1.1 建模理念

螺栓連接薄板結構由兩塊薄板搭接并由若干螺栓緊固在一起，本文考慮將搭接部分用虛擬材料進行模擬，在建模時將結構劃分為板1、搭接部分及板2三個部分，并分別建模，如圖1（a）所示.而為了更好地模擬搭接部分的力學特性，這里假設虛擬材料的儲能模量分別服從線性分布、拋物線分布、正弦分布等非均勻分布形式，如圖1（b）所示. 所研究的螺栓連接薄板結構，長度為l，寬度為，搭接部分長度為 l2-l1，寬度為，未搭接部分厚度為，搭接部分厚度為.

圖1 虛擬材料儲能模量非均勻分布. （a）三維結構示意；（b）二維結構示意Fig.1 Nonuniform distribution of the storage modulus of a virtual material: (a) 3D structure diagram; (b) 2D structure diagram

在本文的建模方法中，將虛擬材料的材料參數用復模量表示，具體為

首先確定搭接部分具體的儲能模量分布. 基于圖1中所描述的搭接部分儲能模量以線性、拋物線、正弦分布的假定，搭接部分任意位置處的儲能模量求解式可分別確定如下：

接下來確定搭接部分的耗能模量分布. 考慮到真實的螺栓結合部阻尼作用機理的復雜性，為簡化建模，這里將搭接部分的耗能模量視為均勻分布，即搭接部分任意位置處的耗能模量均取值為.

1.2 虛擬材料儲能模量與耗能模量參數確定方法

在上述的建模方法中，需要確定任意位置處的虛擬材料復模量值，其中儲能模量已經給出了特定分布，故只需確定該分布下的最大儲能模量值即可，而本文虛擬材料的耗能模量為均勻分布，即只需確定參數的值.

本文采用反推辨識法[18-19]識別上述待定參數及，將待定參數定義為設計變量，通過匹配計算不斷對設計變量進行修正，使計算得到的結構振動特性與實驗結果逐漸趨于一致，最終反推出待識別參數. 虛擬材料的儲能模量直接影響到螺栓連接結構的固有頻率，而其耗能模量直接影響螺栓連接結構的頻響函數幅值，因而本文通過實際測試螺栓連接結構的固有頻率和頻響函數幅值來反推虛擬材料的儲能模量與耗能模量.

圖2為反推辨識虛擬材料儲能模量和耗能模量的流程圖，主要包括三部分內容：實驗測試，通過錘擊試驗獲取螺栓連接結構的各階固有頻率和頻響函數；理論計算，利用自編半解析程序建立螺栓連接結構半解析模型，詳情見第2部分；匹配計算，建立模型計算結果與實驗測試結果的匹配關系，這里采用遺傳算法[20-22]進行參數尋優，迭代計算辨識待定參數.

圖2 虛擬材料儲能模量（耗能模量）辨識流程Fig.2 Identification process of the storage modulus (loss modulus) of the virtual material

反推辨識虛擬材料儲能模量的目標函數可表示為

反推辨識虛擬材料耗能模量的目標函數可定義為

在算法中設定好目標函數的權重后，還需設定好算法中的種群數量（即每次迭代中給出的待辨識參數的數量）、變異概率（即種群中待辨識參數發生變異行為的概率）、交叉概率（即種群中待辨識參數發生交叉行為的概率），本文設定收斂條件為達到最大的迭代次數，通過若干次迭代發現目標結果已達到穩定值，由此輸出辨識的待定參數，即獲得辨識之后的虛擬材料儲能模量及耗能模量參數.

2 螺栓連接薄板結構半解析建模及分析

2.1 搭接薄板結構能量方程的推導

上文建模理念中，將螺栓連接薄板結構劃分為三部分（板1、搭接部分和板2），因其均屬于薄板結構，故基于Kirchhoff假設和經典薄板理論，將整個結構的位移場[23-24]表示為

結構任意一點的應變可以用位移表示為

模型的應變能可表示為

2.2 螺栓連接薄板結構振動特性求解

假設自由狀態下螺栓連接薄板結構中面橫向位移 w0(x,y,t)做簡諧運動，可表示為

3 實例研究

3.1 問題描述

這部分以螺栓連接鋼板為例，描述本文提出的用復模量非均勻變化的虛擬材料模擬搭接部分的力學特性，進而完成整個結構的動力學建模與分析的方法. 圖3為所研究的螺栓連接薄板結構，其由兩塊鋼板經兩個M6外六角頭螺栓緊固連接構成，與所建半解析模型邊界條件一致，其一端固定支撐在實驗臺上，相關幾何及材料參數見表1.

圖3 螺栓連接薄板結構實物圖Fig.3 Real structure of the bolted thin-plate structure

表1 螺栓連接薄板結構中板的相關材料及幾何參數Table 1 Material and geometric parameters of the plate in a bolted thin plate structure

螺栓預緊力影響著結合部的物理屬性，預緊力的變化會對結合部的剛度和阻尼產生影響，進而會使得螺栓連接結構的固有特性產生一定變化，本文重點描述建模方法，因而僅以一個定常預緊力為例做研究. 對每個螺栓均施加3 N·m的預緊力，采用錘擊法對該螺栓連接薄板結構進行固有特性測試，測試中通過PCB SN 30272力錘對薄板連接結構施加寬頻激勵，使用Polytec PDV-100激光多普勒測振儀拾振，LMS SCSDAS數據采集分析儀用于獲取激勵及響應信號，最終由獲取的頻響函數獲得固有頻率及模態振型. 實驗過程中，拾振點如圖3所示不變，在獲取模態振型時，錘擊點為圖3中標注的所有節點，而圖中突出標注的是下文所選取的頻響函數在實驗獲取時的對應錘擊點. 相關測試結果列在后續的與理論分析相對照的各圖表中.

3.2 螺栓連接薄板結構半解析建模

兩塊連接薄板的搭接部分長為60 mm，寬為120 mm，按照式（2）～（4），依次給與搭接部分復模量以線性、拋物線、正弦分布，建立三種非均勻分布下的螺栓連接薄板結構半解析模型. 為了明確用哪種分布形式更能提升分析模型的精度，在這里進行了對比研究. 同時為了體現這種虛擬材料復模量非均勻分布建模理念的先進性，還對比了虛擬材料復模量均勻分布建模力學特性的結果.分別采用反推辨識技術，利用實測的前5階固有頻率，針對不同的虛擬材料復模量非均勻分布建模方式，確定虛擬材料的最大儲能模量，其中對前5階分配的權重依次為0.3、0.2、0.3、0.1、0.1，遺傳算法中種群數量、變異概率、交叉概率、迭代次數依次設置為50、0.05、0.9和50，相關辨識結果見表2.

表2 反推法辨識獲得的各分布狀態下的虛擬材料儲能模量Table 2 Storage modulus of the virtual material for each distribution obtained using the inverse identification technique

需要說明的是，表中的儲能模量值是使對應分布下的模型達到最高模擬精度的量值. 用此儲能模量值獲得的螺栓連接薄板的前5階固有頻率與實驗的比對分別見表3.

表3 各虛擬材料儲能模量分布模型固有頻率與實驗固有頻率對比Table 3 Comparison of the natural frequencies obtained using the virtual-material storage modulus distribution model and the experiment

由表3各數據間的對比可以非常直觀的看出虛擬材料儲能模量均勻分布時模型的固有頻率與實驗的接近程度明顯差于虛擬材料儲能模量非均勻分布時的結果. 進一步，利用均方根誤差（RMSE）方法[26]對比上述三種非均勻分布模擬時的各階固有頻率與實驗的偏差，將表3中的數據代入到式（24），獲得對應三種分布形式的仿真與實驗前5階固有頻率的RMSE，結果見表4.

表4 各非均勻分布形式中仿真與實驗前5階固有頻率的均方根誤差Table 4 Root mean square error (RMSE) of the first five natural experimental and simulated frequencies in various nonuniform distributions

通過表4中的RMSE對比可以看出，采用拋物線分布時，模型前5階固有頻率與實驗的接近程度更好. 故在后續分析時，對于本文的結構，均采用虛擬材料儲能模量按拋物線分布的模型進行模擬.

3.3 振動特性求解

前一部分已描述了固有頻率的求解，這里繼續求解螺栓連接板的模態振型. 仿真計算獲得的模態振型與實測值的比對見表5，可以看出兩者的振型基本一致.

表5 實驗與仿真前5階振型對照Table 5 Comparison of the first five experimental and simulated vibration modes

由于要確定虛擬材料的耗能模量，接下來進行模型頻響函數的計算. 參照圖3中描述的激勵點和拾振點位置，利用式（23）進行頻響函數的計算. 首先，利用反推辨識，對前5階頻響函數值依次分配 0.3、0.2、0.1、0.1、0.3的權重，設置種群數量、變異概率、交叉概率、迭代次數為50、0.05、0.9和50，不斷迭代模型中虛擬材料的耗能模量值，使模型的頻響函數曲線盡可能接近實測曲線，完成迭代后，虛擬材料的耗能模量為1.625×109Pa.接著用此耗能模量值獲得最終的頻響函數曲線并與實測比對，見圖4. 從圖中也可看出，仿真與實測的頻響函數也有較好的接近.

圖4 實測與仿真頻響函數對比Fig.4 Comparison of the frequency response functions obtained based on the measured and simulated data

4 結論

（1）本文提出用復模量非均勻分布的虛擬材料來模擬螺栓搭接部分的剛度及阻尼特性，并給出詳細的建模流程和方法. 實踐表明本文采用假定的正弦、拋物線和線性等非均勻變化的虛擬材料模擬螺栓搭接部分，相比于均勻分布能夠更加精確地模擬螺栓連接結構的動力學特性.

（2）采用虛擬材料模擬螺栓搭接部分，虛擬材料的材料參數用復模量表示，可直接生成復數形式的剛度矩陣，省卻了常規建模中生成結合部阻尼矩陣的步驟，在保證模型精確性的基礎上，簡化了螺栓搭接部分的建模過程. 提出利用反推法辨識虛擬材料的儲能模量和耗能模量，其中儲能模量參數確定為其分布函數的最大值，耗能模量取相同值. 通過所提出的反推辨識流程可較為精確的確定虛擬材料的參數.

（3）為了更好地實施所研發的建模理念以及反推辨識確認虛擬材料的復模量參數，自行研發了半解析程序. 重點描述了復模量非均勻分布的虛擬材料引入螺栓連接結構半解析模型的過程，并推導出了快速求解半解析模型任意錘擊點與拾振點處頻響函數的公式. 最終的研究表明：用所創建的半解析模型計算獲得的固有頻率、模態振型以及頻響函數值均與實驗結果較為接近，從而證明了提出的用復模量非均勻分布的虛擬材料模擬螺栓影響區進而實施半解析建模可實現較高的仿真計算精度.