基于前測分析 尋找貼合學生的有效學習路徑

王優琴

摘 要：數學教師要充分了解學生的認知發展水平和已有的知識經驗，對其進行客觀的分析，設計開展有效的教學實踐。主要通過對“直角”這一概念的前測統計與分析，發現學生學習直角這一知識的難點、困惑點，教師通過利用豐富學材、多元聯動、空間想象等方法尋找貼合學生的學習路徑，有效地促進學生對直角概念的認知。

關鍵詞：前測分析;學習路徑;多元聯動

一、課前思考：“認識直角”一課的重要性

古文云：“離婁之明，公輸子之巧，不以規矩不能成方圓。”這里的矩是指曲尺：一直一橫成直角的尺，是木匠打制方形門窗桌凳必備的角尺。可見在戰國時期，人們已經認識并用到了直角。

直角是構成生活中許多特殊圖形的基本要素，在認識直角之前，學生對于三角形與四邊形的構成要素（邊、角、頂點）已經有所認知，但尚未進一步察覺其角度的特殊性，在引出直角概念之后，學生對這些圖形的構成要素有了更進一步的認識：直角三角形有一個直角，長方形、正方形有四個直角，生活中，很多物體表面都有直角。學習直角既是實際生活的需要，又是學習后續知識的基礎：比直角小的角稱為銳角，比直角大的角稱為鈍角，此時的直角具有了工具性的作用，它被作為一個標準、一種參照物區分銳角與鈍角，同時對于直角特點的認識也是學習垂直的基礎，平面上兩條直線的垂直關系的引出與直角息息相關。

小學階段對于直角的研究主要經歷三個階段。一是定性研究階段。這是直角概念的啟蒙階段，這一階段對于直角僅是初步認識，學生能描述像三角尺上的這樣的角就是直角即可。二是定量研究階段。這一階段，學生對直角的認識由質向量過渡，對于直角的認識再不僅僅停留在表象階段，而且要從量的角度對直角進行定義：90°角是直角。三是同一平面內兩直線特殊位置關系階段。當兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直，在這一階段學生以交角是否是直角來衡量平面中兩條直線的位置關系。

二、學習前測，探底學生心中的直角

課前，我以問卷調查的方法對城區兩個班級80個學生進行了前測調查，探底學生心中的直角，了解學生的認知基礎和起點水平，以期更好地展開教學。

（一）你聽說過直角嗎？

直角這一名稱對于學生來說并不陌生，“直角轉彎”“直角尺”等在學生的生活學習中經常被提及，因此有92.3%的學生都聽說過直角。

（二）判一判，是直角的請打“√”。

（三）你覺得下邊的三角尺上有直角嗎？（如果有，請你描一描。）

找三角尺上的直角對于學生來說有一定難度，64.1%的學生無法正確找到兩把尺子上的直角，如果將這兩把尺子斜放置，如：，能正確找到直角的學生更是寥寥無幾。

（四）你覺得一副三角尺上的兩個直角，它們一樣大嗎？

學生一致認為不同的直角，邊的長短不同，開口方向不同，所以直角的大小也是不一樣的。

三、基于前測分析，尋找貼合學生的有效學習路徑

有效的學習路徑并不是指最特別的教學方法或者手段，而是教師根據不同學生設計的最適合他們的教學方案。從前測的數據分析來看，學生對于直角的認識僅停留在放“正”的直角，他們對直角的判定容易受到開口方向、邊的長短等非本質因素的影響。為了構建完整的直角概念，豐富直角表象，凸顯直角的本質特征，教師通過豐富學材、多元聯動、空間想象、凸顯關系等教學方法，讓學生經歷直角概念的形成過程。

（一）豐富學材，完整建立直角概念

為了讓學生體會直角是一類特殊的角，直角有著所有角的構成特點，但又有其特殊性——大小相等，建議教師舍棄教科書中的椅子和雙杠兩幅圖，增加兩個反例實物圖：鐘面和剪刀，然后從學生熟悉的國旗圖里直接引出不同方向的四個直角，初步建立直角表象。這樣的處理——從三類角中提取出直角作為本節課的研究對象，使“直角”這一新概念在學生已有的認知結構中找到一個最佳的“生長點”，有利于讓學生了解角與直角的關系，體會直角是一類特殊的角。

（二）多元聯動，豐富直角表象

建立直角表象，感知直角的本質特征，是本節課的教學重點，也是學生學習的難點。學生對于直角的認識僅停留在放“正”的直角，他們僅接受一邊是水平，另一邊呈鉛直情況的直角，傾斜擺置的直角不被認可。針對這一學情，教師設計了有效的操作活動，利用多元聯動，豐富直角表象，構建完整的直角概念。

1.疊一疊，比一比，揭示直角本質特征

三角尺上的直角對學生來說是最熟悉的，雖然說有一部分學生能正確找出三角尺上的直角，但是對于直角的本質特征：大小相同，學生并不接受。為了突破這一思維定式，教師安排了多個操作活動：（1）找一找，老師手中一副大三角尺上的兩個直角，比一比這兩個直角的大小。（2）同桌互相找一找手中的一副小三角尺上的直角，比一比這兩個直角的大小。（3）比一比老師大尺子上的直角和學生小尺子上的直角的大小。（4）猜一猜全國各地小朋友手中三角尺上的直角是否一樣大？直角是一把“標尺”，是衡量銳角和鈍角的依據。教師從學生最熟悉的三角尺上的直角入手，通過找三角尺上的直角，并通過多次比較、多次重疊，促使經驗不斷累積，讓體驗更趨豐盈，用實踐揭示直角的本質特征，明確所有的直角大小相同。

2.轉一轉，指一指，豐富直角表象

從前測發現學生對于直角的表象只停留在“直的”“方方的”“一橫一豎的”，為了豐富直角表象，教師設計了不斷轉動三角尺，讓學生找不同開口方向的直角的活動，逐步豐富學生的直角表象。

【課堂回顧一】

師：看，老師手里有一把三角尺，你能找到尺子上的直角，用手勢比劃出來嗎？

師：尺子轉了起來，你還能找到直角嗎？

在初步感悟實物圖中的直角后，教師充分利用三角尺，引發學生對三角尺上的直角的關注，讓學生尋找三角尺上的直角，然后轉動三角尺，繼續讓學生尋找放置方式不同的三角尺上的直角，從而揭示出直角的概念，初步感悟直角變式圖，建立豐滿的直角表象。

【課堂回顧二】

（活動一：不斷旋轉直角，請學生判斷轉動后是不是直角）

（活動二：拉動直角的兩條邊，再次判斷是否還是直角）

教師將兩次操作活動后的直角搬遷出來，并質疑學生：第一次變出來的三個角都是直角，第二次卻不是了，為什么？學生交流釋疑：直角旋轉后，雖然開口方向變了，但是它的大小沒變，但如果拉動直角兩邊，就改變了角的大小，它就不是直角了。通過這一操作活動，既豐富了直角表象，同時又凸顯了直角的本質特征：直角都一樣大。

3.看一看，辯一辯，加深直角本質認識

能正確判斷斜放的直角是本節課的教學難點。初步認識了直角后，教師安排一道判斷直角的練習題（如下圖），以學習單的形式，先獨立判斷，然后尋找相同點和不同點。對于直角的判斷，教師應該讓學生自由發表意見，然后通過辯論交流，統一明確驗證方法：借助三角尺中的直角進行比對，通過觀察是否完全重合來確定是否是直角，讓學生感受到用三角尺比一比的需要，加深對直角本質的認識。

4.找一找，創一創，深化直角概念

空間觀念的形成不像拍照，想建立空間表象、幾何模型，必須有“動手”的過程。在學生初步認識了直角后，教師安排找一找身邊的直角，并通過擺一擺、拼一拼、折一折、畫一畫等創造直角活動，學生在“找”“拼”“搭”“折”“畫”自由多樣的操作活動中加深對直角的認識，獲得深刻的體驗，這不僅是動手實踐的過程，更是嘗試、想象、推理、驗證、反思的過程。

（三）空間想象，突破定勢，凸顯關系特征

在學習本節課之前很多學生對于直角的認識往往都停留在直角是長方形（正方形、三角形）的一部分，為了凸顯直角其實是兩線之間的一種特殊的位置關系，為垂直與平行服務，在練習環節安排了以下數直角練習。

【課堂回顧三】

師：你覺得老師畫的是直角嗎？（電腦驗證后延長直角的兩條邊）現在你能找到幾個直角呢？（生上臺指直角）

師：現在有幾個直角了呢？

生：8個。（上臺指一指）

平面上兩條直線的垂直關系的引出與直角息息相關，直角的學習最終是為垂直服務，在此之前，學生從來不會想到關注直角的兩條邊，一直將直角作為長方形、三角形的一部分來進行判斷，為了打破這一思維，教師將直角的兩條邊慢慢反向延長，呈現兩條相交的直線，再請學生判斷有幾個直角，最后完整呈現正方形圖，學生找齊圖中的8個直角。這樣的安排，更加有利于學生對于兩條直線的位置關系的關注，為學習垂直做準備。

參考文獻：

卡爾·B.數學史[M].秦傳安，譯.北京：中央編譯出版社，2012.