灰色關聯法在地磁匹配導航中的應用

賀亞杰，范榮雙，王 勇

（1.遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000；2.中國測繪科學研究院，北京 100039；3.山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東 青島 266590）

0 引言

地磁匹配導航具有無源、無輻射、全天時、全天候、高精度等特點[1]，正在激起國內外許多學者的研究熱情，是現今導航領域的一個研究熱點。地磁匹配導航與無線電導航和衛星導航系統不同，是一種完全自主的、主動的定位系統；與慣性導航系統相比，具有成本低、導航誤差不隨時間產生累積效應等特點[2]。因此，探索和研究新型高性能、全自主、全天候地磁匹配導航技術，是我國開發海洋、地下資源，提升公共安全和公共消防能力，提高我國醫療器械裝備水平，實現可持續發展的迫切需求。近年來，地磁匹配導航技術已廣泛應用到飛行器控制、地磁匹配制導、水下潛行器等眾多領域，有巨大的軍事價值。

地磁匹配導航的定位精度與所選擇的地磁匹配算法有關，而且匹配區的適配性能也直接影響導航的精度[3]。地磁圖適配性的分析，是地磁匹配導航的基礎，在具有高精度地磁基準圖的條件下，選擇合適的匹配區，是進行航跡規劃及地磁匹配的一項必不可少的任務，因而，對地磁適配性進行分析具有重大意義。國內外許多學者已經對地磁適配性進行了相關研究。文獻[4]引入粗糙集理論，評估了地磁特征參數對地磁適配性的影響；文獻[5]針對單地磁特征參數選擇方法單方面評估的缺點，提出了一種將信息熵與項目追蹤理論相結合的多特征參數融合選擇方法；文獻[6]對地磁適配區域的選擇進行了相關研究，將基于磁場特征參數的適配區選擇方法與基于地磁場特征參數信息熵的適配區選擇方法進行了對比，并將結果進行航跡規劃仿真，發現后者在適配區的選擇方面更加有效；文獻[7]提出，在適配性分析方面，尺寸大小是影響匹配區選取的一個重要因素，通過實驗證明了合理的尺寸能夠提高匹配精度；文獻[8]使用加博爾（Gabor）濾波和灰度共生矩陣，解析其不同域的方向性特征，建立地磁輔助導航定向匹配適用性分析的分層決策方案；文獻[9]針對單一的特征指標不能夠合理評價地磁適配性的問題，提出用多指標融合進行評價的方法，并采用平均絕對值偏差（mean absolute deviation, MAD）等匹配算法進行實驗，驗證了該方法的正確性；文獻[10]提出一種基于譜矩特征的地磁匹配輔助導航匹配區域適配性性評估方法；文獻[11]提出一種基于韋格（Vague）集的評估方法，來描述地磁基準圖的適配性，克服了模糊決策方法的缺點；文獻[12]提出了一種結合主成分分析（principal component analysis, PCA）和層次分析法（analytic hierarchy process, AHP）的新型綜合模型，以評估導航匹配區域的適用性。在前人研究的基礎上，本文利用多特征參數進行綜合評價分析候選匹配區的適配性能，引入灰色關聯理論，采用層次分析法與熵值法相結合，組成組合權重，目的是解決由于主觀或者是客觀賦權所帶來的權重系數靈敏度不高的問題，最后利用迭代最近輪廓點（iterative closest contour point, ICCP）匹配算法對選出的候選匹配區進行匹配，實驗證明了該方法在地磁適配性分析中的有效性。

1 地磁特征參數

在地磁科學研究中，地磁場數據能夠真實反映地磁場的變化[13]。地磁場數據來源不同，但無論以何種形式得到的地磁數據，最終所需要的都是以規則的網格形式存儲的地磁圖。設某個候選匹配區的大小為M·N（M為緯度跨度，N為經度跨度），f(i,j)為坐標(i,j)處的地磁場強度值，其中 (i,j)為經度和緯度坐標 (φ,λ)[9]。

1.1 地磁標準差σ

地磁標準差是反映地磁場數據離散程度的。一般來講，對于某一候選匹配區，其地磁標準差越大，說明該候選匹配區的地磁特征變化比較明顯，越有利于地磁適配性分析及特征匹配[14]。其定義如下

式中f為候選匹配區內的平均地磁場值，其計算方法為

1.2 地磁信息熵H

香農熵早先用于物理熱力學[15]。但是自從信息論出現以來，熵的概念已廣泛用到信號和圖像處理中。地磁熵還可以反映匹配區域中的地磁信息量。熵越小，匹配結果越好[16]。此外，地磁熵還具有消除測量誤差并消除奇異性的能力。可以根據香農熵的定義來計算地磁熵，即

式中P(i,j)為輸出概率函數，其計算方法為

1.3 地磁粗糙度r

地磁粗糙度是反映某一區域平均光滑程度的指標，某一區域的粗糙度的值越大，說明該區域包含的信息越多，能夠很好進行[17]擬合。地磁粗糙度r定義為

式中：rx、ry分別為經度和緯度方向的地磁粗糙度，rx和ry的計算方法為：

1.4 相關系數Q

地磁相關系數是用來判斷其數據是否獨立的一個依據[18]。在地磁適配性分析中，用相關系數來反映地磁場的相關程度，對某一區域來說，其相關系數越小，其匹配性能越好。相關系數的計算公式為

式中：Qx、Qy分別為經度方向和緯度方向的相關系數，Qx和Qy的計算方法為：

1.5 累積梯度G

累積梯度可以有效地表示地磁場的復雜性，也可以反映匹配區域中的信息量。累積梯度越大，信息內容越多，匹配效果越好[14]。地磁累積梯度定義為

式中：Gx、Gy分別為經度和緯度方向的累積梯度，Gx和Gy的計算方法為：

2 地磁圖適配性分析方法

2.1 構造灰色關聯決策矩陣

2.1.1 建立指標特征矩陣

假設某地磁基準圖有m個決策方案xi，n個評價指標uj，設其方案集為X=(x1,x2,…,xn)，指標集為U=(u1,u2,…,un)。 根據灰色系統的基本原理，要想得出最適合的方案，就必須要考慮各方案與理想方案的關聯度，所謂理想方案就是由各個指標的最優值選擇出來所組成的[19]，理想方案可表示為A0j=(a01,a02,…,a0n)，又將它稱之為參考序列。則可以建立m+1個方案的決策矩陣為

2.1.2 對矩陣進行歸一化處理

指標的類型有多種，常見的有效益型、成本型、區間型、固定性，在本文所給出的五種特征指標中，已知地磁適配能力隨著地磁標準差、地磁粗糙度及累計梯度的增大而增大，隨著地磁信息熵、相關系數的減小而增大，因此將地磁標準差、地磁粗糙度及累計梯度看做是效益型指標，將地磁信息熵、相關系數看作是成本型指標。為了消除決策結果不同維度的影響，通常對決策矩陣進行標準化處理，對指標進行標準化的方法有線性比例變換法及極差變化法。

若評價指標為效益型，令

若評價指標為成本型，令

對指標矩陣A進行歸一化處理，得到歸一化矩陣R為

2.1.3 計算灰度關聯系數

給出了理想方案，那么就可以按照相關的原則，確定某一個方案與理想方案關于某一個指標的關聯系數，關聯系數gij計算公式為

當Δmax＜3ω時，取 1.5ε＜ξ＜ 2ε；當Δmax≥3ω時，取ε＜ξ＜ 1.5ε[20]。

最后得出灰色關聯系數矩陣G為

2.2 使用層次分析法及熵值法確定指標權重

權重的確定中，由于主觀賦權法主要依賴于專家經驗，其主觀性比較強，主要是由決策者的偏好程度決定的；而客觀賦權法依賴的是數據，沒有考慮到專家知識及經驗。因此僅僅單一的依靠主觀賦權法或者是客觀賦權法確立權重并不能夠達到理想的效果，基于此，本文提出采用主客觀結合賦權法來確定地磁候選匹配區指標權重，主要步驟如下。

2.2.1 利用層次分析法求得權重

1）建立層次結構模型并構造比較判斷矩陣C為

3）求出權重αj，其計算步驟為：

①將C的每一列向量歸一化，計算公式為

②對歸一化后的列向量進行求和，其計算公式為

③然后對式（24）進行歸一化，其計算公式為

④得出權向量αj=αT。

2.2.2 利用信息熵法得出權重

熵值法估計權重模型為：

1）計算第j項指標下第i個區域占該指標的比重Pij為

2）計算第j項指標的熵值ej為

3）計算信息熵冗余度dj為

4）計算各項指標的權值βj(j= 1 ,2,…,n)為

2.2.3 組合權重

將兩種方法得到的權重進行線性組合，其組合公式為

式中：γ為主觀偏好系數，1-γ為客觀偏好系數；進而得到組合權重W= (w,w,…,w)T；其中

12n

2.3 灰色關聯度求解

由于灰色關聯系數不能夠對某一方案進行綜合評估，基于此，將評價指標權值與其關聯系數相結合建立關聯度Zi(w)為

其關聯度的值越大，證明該方案最優，最終根據關聯度的大小對待選方案進行排序，選出最優方案。

3 仿真分析

3.1 候選匹配區的各項值

為了便于驗證，選用某一區域的地磁異常數據（注：該數據已經進行了偏移、拓密等保密處理），其地磁異常等值線圖如圖1所示。選出 5塊區域A1、A2、A3、A4、A5作為候選匹配區。根據章節1中的特征參數公式計算各區域指標參數如表1所示。根據各個指標是效益型還是成本型對其排序，其排序結果如表2所示。

圖1 地磁異常等值線圖

表1 各個候選匹配區指標值

表2 各指標的適配性排序

由表2可以看出，單一考慮某一指標，對候選匹配區的適配性能力排序是沒有規律的，所以單一考慮某一指標，并不能夠得出哪個區域是適配區域，需要綜合考慮各指標以合理地評價地磁候選匹配區適配性。

3.2 灰色關聯分析

3.2.1 對指標進行賦權

1）首先利用層次分析法求得權重系數，構造判斷矩陣為

根據式（22）進行一致性檢驗：取s=1.12，求得最大特征根λmax=5.2584，h=0.0646 ，l=0.0577，h和s全都小于0.1，通過一致性檢驗。此時根據式（23）求得權重為

2）根據式（24）至式（27），利用熵值法求出權重為

3.2.2 計算灰度關聯系數

根據特征參數的值，構造決策矩陣為

對決策矩陣進行歸一化處理得

計算灰度關聯系數中最重要的是要先確定分辨系數，根據歸一化矩陣可以得出：m=

由式（19）及式（20）得出ω=0.1417，ε= 0.2541。

因為3ω＜M，所以分辨系數范圍為 0.2 54 1≤ξ≤0.3812，取ξ=0.3，根據式（18）計算得出灰色關聯系數陣為

3.2.3 計算灰色關聯度

根據式（29）求得灰色關聯度為Z=(0.8 8 9 7,0.5 34 7,0.5 47 2,0.4 33 8,0.3 81 5)T，對候選匹配區進行排序，關聯度越大其適配性越好，各候選匹配區關聯度如表3所示。

表3 候選匹配區關聯度

（續）

從表3以看出，區域1的關聯度最大，區域5的關聯度最小，其適配性排序為 A1＞A3＞A2＞A4＞A5，候選匹配區A1的適配性最好。

3.3 實驗驗證

分別在選出的5塊候選匹配區中，利用ICCP算法進行地磁匹配仿真，以驗證灰色關聯分析的結論。ICCP算法實現實測數據與已有數據間的匹配是通過迭代最近等值線上的點來實現的，其迭代不是一次就能完成，而是經過多次迭代以尋求最優的軌跡并輸出，能夠較好地修正慣性導航系統（inertial navigation system, INS）誤差[21]。仿真實驗中參數的設置如表4示，迭代次數為15次，A1至A5的匹配仿真結果如圖2所示。

表4 仿真參數設置

從圖2可以看出：圖2（a）為A1區域，其地磁等值線較為稠密，地磁特征變化較為明顯，最適用于作為適配區，利用ICCP算法進行匹配，最終真實軌跡與匹配軌跡基本一致，證明匹配效果好，適用于作為匹配區。圖2（b）為A2區域匹配結果，從圖2（b）中可以看出，真實軌跡與匹配軌跡在剛開始進行匹配的時候軌跡偏離較為明顯，后匹配軌跡與真實軌跡趨于重合，在目標點附近，其兩條軌跡又出現偏離的現象，說明了候選匹配區 A2的匹配效果一般。圖2（c）中，真實軌跡與匹配軌跡除了在起始點附近偏離較大之外，后面兩條軌跡趨于重合，其匹配效果優于A2。圖2（d）中，匹配軌跡接近真實軌跡，但偏差較為明顯。圖2（e）中，匹配軌跡與真實軌跡趨于平行狀態，匹配誤差較大。區域A1至A5的校正航跡位置誤差如表5所示。

圖2 A1至A5地磁匹配結果

從表5可以看出，利用ICCP算法進行匹配得到區域A1的匹配誤差最小，A3次之，A5的匹配誤差最大。在其他條件相同的情況下，單一分析適配性，匹配誤差的結果能夠代表候選匹配區適配性的好壞。由此可以得出候選匹配區適配性排序為 A1＞A3＞A2＞A4＞A5，這一結果與本文所提出的方法得出的適配性結果是一致的，證明了本文提出方法的有效性及可行性。

表5 候選匹配區匹配誤差

4 結束語

隨著技術的不斷進步，高精度地磁匹配導航技術將廣泛應用于民用和軍用領域。地磁適配性分析是地磁匹配導航中一項必不可少的研究內容，在高精度地磁基準圖的基礎上，對適配性進行分析是后期進行地磁匹配的前提。由于單一依靠某一種地磁特征評判地磁候選匹配區適配性并不能夠全面分析某一候選匹配區是否適用，基于此，本文提出了一種灰色關聯分析法應用于地磁適配性分析的研究，該方法將幾種地磁特征關聯起來，對候選匹配區進行綜合評判，其得出的結果與利用ICCP算法在各候選匹配區進行匹配得出的結果是一致的，證明了本文提出方法的有效性，此方法可以作為選擇地磁適配區的依據。