一類具有異維節點的復雜動態網絡外同步控制

方榮東，王銀河，湯 曉

(1.廣東工業大學自動化學院,廣州 510006;2.中科啟迪光電子科技(廣州)有限公司,廣州 510006)

0 引言

綜合以上分析，本文針對具有不同拓撲結構和非線性耦合函數的兩個復雜動態網絡，在其節點動態及狀態維數均不同、耦合強度未知的情況下，著重兩個網絡連接強度之間的誤差估計，利用處于不同網絡中對應節點間的相似動態行為設計廣義外同步自適應控制器。與現有文獻相比，本文的優勢在于不需要網絡滿足通常的耗散條件，同一網絡內的節點動態及其狀態維數允許不同，并且所設計的自適應控制器的結構更加簡單明了。

本文首先描述了一類節點異維且耦合強度未知的驅動響應網絡，并提出廣義外同步定義和相關假設。然后借助兩個網絡對應節點具有相似動態行為的條件，結合lyapunov穩定性定理進行驅動響應網絡廣義外同步控制設計和分析，得到了自適應同步控制器及連接強度之差估計的自適應律。最后通過數值仿真驗證了本文方法的有效性。

1 模型描述和基本假設

考慮如下驅動網絡X和響應網絡Y，它們分別由N個不同節點組成，其節點的動態方程分別表示為

(1)

(2)

其中,xi=(xi1,xi2,…xini)T∈Rni和yi=(yi1,yi2,…yimi)T∈Rmi分別是驅動網絡(1)和響應網絡(2)第i個節點的狀態向量，ni和mi分別是節點i的狀態維數，Ai∈Rni×ni和Bi∈Rmi×mi分別是節點i的系統矩陣，hij(xi,xj)∈Rni和pij(xi,xj,yj)∈Rmi(i,j=1,2,…N)是光滑的非線性向量函數，表示同一網絡的節點間的內部耦合關系，C=(cij)N×N和D=(dij)N×N分別是驅動網絡X和響應網絡Y的外部耦合結構矩陣，反映網絡的拓撲結構和耦合強度。

假設1在驅動網絡(1)和響應網絡(2)中，網絡的拓撲結構矩陣C和D的元素是未知的，即節點間的耦合強度cij，dij都是未知的常數，同時C和D不必滿足網絡耗散條件。

注1:在驅動網絡(1)和響應網絡(2)中，屬于同一網絡的節點其狀態維數可以不同，兩個網絡對應節點的維數也可以不同。另外，假設1意味著本文涉及的網絡模型(1)和(2)更具一般性。

假設2存在N個非零實矩陣Si∈Rmi×ni，使得

SiAi=BiSi,i=1,2,…,N

(3)

注2：方程(3)表明驅動網絡(1)和響應網絡(2)中的系統矩陣Ai和Bi至少有一個相同的特征值，這意味著，驅動網絡的第i個標稱節點和響應網絡的第i個標稱節點有相似的動態行為，本文將這兩個對應節點稱作相似節點，Si稱作相似參量。顯然，這兩個節點的狀態維數可以不同，另外，當已知Ai和Bi時，利用矩陣的拉直運算性質[28]，方程(3)中的相似參量Si可由式(4)代數方程解得：

(4)

其中，vec(·)表示矩陣按列拉直后的向量，A?B表示矩陣A和B的Kronecker積。

假設3存在函數Hij(xi,xj)∈Rmi×mj(i=1,2…,N)滿足:

Sihij(xi,xj)=Hij(xi,xj)Sjxj,pij(xi,xj,yj)=Hij(xi,xj)yj

(5)

并且Hij(xi,xj)是范數有界的，即存在正數M使得‖Hij(xi,xj)‖≤M。

注3:方程(5)表明驅動響應網絡各自的內耦合函數之間也有某種相似關系，其中一個特例是若存在函數ψij(xi,xj)∈Rni×mj使得hij(xi,xj)=ψij(xi,xj)Sjxj成立，那么Hij(xi,xj)=Siψij(xi,xj)滿足(5)。

定義1考慮驅動網絡(1)和響應網絡(2)，若存在相似參量Si∈Rni×ni(i=1,2,…,N)，使得

(6)

則稱網絡(1)和網絡(2)實現了廣義外同步。

注4：定義1可以表示多種不同類型的外同步，例如當S1=S2=…=SN=Ini時，表示完全外同步，此時兩個網絡對應節點的狀態維數相等，即ni=mi，但此時每個網絡內節點的維數仍然可以不同；當S1=S2=…=SN=αIni(其中0≠α∈R)，表示投影外同步。

2 外同步控制設計

本文的控制目標是為響應網絡(2)的每個節點設計合適的控制器ui，i=1,2,…,N，使其與驅動網絡(1)實現廣義外同步。

為實現外同步控制目標，提出如式(7)自適應控制器:

(7)

其中，fij表示不同網絡中對應節點連接強度誤差ωij=cij-dij的估計值，gi為控制增益，fij的自適應律和增益gi的更新律分別為

(8)

(9)

其中，ki為任意正常數，i=1,2,…,N。

注5：由式(7)～(9)可以看出，與文獻[18]相比較，本文所設計的自適應控制器結構更加簡單明了。

利用誤差ei=yi-Sixi(i=1,2,…,N)以及式(1)、(2)和(7)～(9)，可以得到誤差系統:

(10)

證明:考慮正定函數(11)

(11)

利用式(7)～(10)，函數V(t)關于時間t的導數為

(12)

將式(5)代入式(12)可得:

(13)

從而

(14)

(15)

注6:使用定理1時需要檢驗前提條件：

步驟1：針對網絡模型式(1)和(2)，在耦合強度cij，dij都是未知常數的情況下，確定自適應律(8)、增益更新律(9)和控制器(7)。

步驟2：利用式(4)求出滿足式(3)的相似參量Si，i=1,2,…,N。

步驟3：利用步驟2中的結果驗證假定3是否成立，若成立，則利用步驟1中的自適應控制器作用于網絡(2)，從而實現外同步。

3 數值仿真

考慮驅動網絡(1)和響應網絡(2)各由5個節點組成，系統矩陣Ai和Bi分別為

上列矩陣表明驅動網絡(1)和響應網絡(2)不僅同一網絡內節點的維數不完全一樣，兩個網絡對應節點i的維數也不相同。拓撲結構矩陣分別選擇為

在假設2中已給出了相似參量Si的算法，本文將它們選擇為

基于注3，函數ψij的選擇為

由此可得驅動網絡(1)節點間的耦合函數為hij(xi,xj)=ψij(xi,xj)Sjxj，響應網絡Y節點間的耦合函數為pij(xi,xj,yj)=Hij(xi,xj)yj，系統狀態初值xi(0)和yi(0)及控制參數初值fij(0)和gi(0)隨機產生，自適應控制器形式由式(7)～(9)給出。

仿真結果如圖1～圖5所示，其分別為參數ki=100(i=1,2,3,4,5)時驅動響應網絡節點xi和yi的狀態收斂曲線，誤差ei和控制器ui的參數gi及參數fij(i,j=1,2,3,4,5)隨時間變化的響應曲線。

圖1 ki=100時，節點xi(i=1,2,3,4,5)的狀態響應曲線

圖2 ki=100時，節點yi(i=1,2,3,4,5)的狀態響應曲線

圖3 ki=100時，誤差ei(i=1,2,3,4,5)的響應曲線

圖4 ki=100時，自適應律fij(i,j=1,2,3,4,5)的響應曲線

圖5 ki=100時，控制增益gi(i=1,2,3,4,5)的響應曲線

由圖1～圖3可以看到兩個網絡對應節點的狀態誤差ei(t)(i=1,2,3,4,5)逐漸趨于0，即驅動網絡(1)和響應網絡(2)實現了廣義外同步；由圖4、圖5可知自適應估計值fij和控制增益gi(i,j=1,2,3,4,5)都是有界的。上述仿真結果表明，本文提出的自適應控制器可有效實現驅動響應網絡的廣義外同步。

4 結語

本文針對一類驅動響應網絡廣義外同步問題，通過利用兩個網絡對應節點間的相似性，在拓撲結構不同和耦合強度未知的情況下，使用自適應律估計兩個網絡中對應節點耦合強度間存在的差異，并利用估計信息和網絡中對應節點間的相似性輔助設計自適應外同步控制器，結果表明網絡間的相似性有助于簡化控制設計，所設計的控制器結構簡單明了，最后用數值仿真驗證了該控制器的有效性。但本文僅探討了網絡孤立節點是線性且耦合無時滯的情形，而現實工程中非線性系統和時滯系統也是廣泛存在的，因此我們將在今后的研究中繼續探究包含非線性孤立節點以及具有時滯的復雜動態網絡外同步控制問題。