不同理性預期下量子庫諾特模型的動態演化分析

田英楠， 王嘉琪， 張新立

(遼寧師范大學數學學院，遼寧 大連 116029)

0 引言

量子博弈論是以量子信息論為主要工具研究博弈論的一門新興交叉學科，最早由Meyer提出。由于量子博弈能解決很多經典博弈所不能解決的問題，所以提出之后就越來越受到國內外學者的關注,并被廣泛應用于經濟學、生物學、信息科學等諸多領域[1]。而寡頭壟斷是現實社會和經濟中最普遍存在的市場結構，庫諾特模型是寡頭壟斷的一種最基本模型。李慧等人[2]首次構造了一個“最小”量子結構來研究具有連續變量的量子庫諾特博弈，后人在此基礎上運用Li-Du-Massar方案對庫諾特寡頭模型進行了廣泛量子化研究，譬如，YoheiSekiguchi等人[3]發現當糾纏度足夠大時，不對稱均衡全部消失；Lo等人[4]發現量子糾纏度越大，各個企業在納什均衡點的利潤越高；Du等人[5]發現在非對稱信息的量子庫諾特模型中，量子納什均衡點利潤是否高于經典納什均衡點利潤，與量子糾纏度、信息不對稱程度相關；Zhou等人[6]發現在多人量子庫諾特模型中，量子糾纏度趨于無窮大時，囚徒困境問題得以解決；Frackiewicz[7]發現不管逆需求函數與成本函數是否為線性，量子庫諾特模型都只有一個納什均衡解。

上述學者雖利用量子博弈論對庫諾特寡頭博弈模型進行了分析，得出一些新結論，但參與者都是完全理性的。在現實經濟中，由于參與人認知的局限，企業采取完全理性行為規則是很難實現的。因此，許多學者又從放松理性假設角度對經典庫諾特模型進行了分析研究。常見理性行為假設主要有：基本有限理性行為(一般簡稱有限理性)、延遲有限理性行為、適應性有限理性行為、天真預期行為等[8]。近年來，許多學者對具有不同預期的經典動態寡頭博弈模型進行了研究。比如，Agiza和Elsadany[9]構建具有不同預期的雙寡頭模型(有限理性與適應性預期)，給出了均衡解的穩定區域，并對復雜動力學現象進行數值模擬；于羽等人[10]構建具有有限理性與天真預期的庫諾特寡頭博弈模型，引入了產品差異性，研究了產品差異程度對納什均衡穩定性的影響；張驥驤等人[11]構建具有不同預期的雙寡頭模型(有限理性與天真預期)，分析了均衡解的存在性與穩定性，并用數值模擬研究了動態系統的穩定性與復雜現象；Hu等人[12]構建具有不同預期的雙寡頭模型(有限理性與天真預期)，發現系統采用延遲反饋控制，會使系統從混沌狀態變為穩定狀態；黃萌佳等人[13]構建了具有知識溢出效應的不同預期雙寡頭模型(有限理性與適應性預期)，對有限理性預期下的動態決策過程和系統的混沌復雜性進行研究。

1 量子庫諾特模型

(1)

容易得到兩企業的納什均衡為

(2)

通過計算，γ≠0時，兩企業的產量分別為

(3)

兩企業的量子利潤分別為

(4)

通過求出對πiQ關于xi的偏導，得到企業i(i=1,2)的邊際利潤:

(5)

解方程組(5)，可得到兩企業的量子納什均衡為

(6)

2 不同理性的量子庫諾特動態系統

由于寡頭壟斷市場信息的不完全性，每個企業掌握的市場信息并不充分，只可能做出有限理性決策。本文假設第一個企業是有限理性的，企業根據邊際利潤的信息決定產量，若t時期邊際利潤為正數(負數)，則企業會在t+1時期增加(降低)產量，其模型可表示為

(7)

其中,α>0為第一個企業的產量調整速度。

假設企業2具有適應性預期，也就是t+1時期的產量由t時期的產量決策與t時期最優產量的加權平均共同決定，其模型可表示為

(8)

(9)

由式(7)與(8)，可得到不同理性行為的兩企業二維離散動力系統:

(10)

3 動態系統的量子均衡解與局部穩定性分析

令xi(t+1)=xi(t)=xi，得出復雜動力系統(10)對應的代數系統:

(11)

為了研究量子均衡點的局部穩定性，首先求出均衡離散動力系統的Jacobian矩陣，即：

(12)

其中，

根據系統均衡點的穩定性條件，當且僅當對應Jacobian矩陣的所有特征值|λi|<1,i=1,2，均衡點才是穩定的。因此，有如下結論：

定理1量子邊界均衡點E1是不穩定的。

證明：點E1的Jacobian矩陣為：

J(E1)的特征值分別為：λ1=b11,λ2=1-v，由于|λ1|>1，所以量子邊界均衡點E1是不穩定的。

定理2量子納什均衡點E2滿足局部穩定性的充要條件：

(13)

J(E2)的特征多項式為p(λ)=λ2-Tr(J)λ+Det(J)，其中Tr(J)表示跡，Det(J)表示行列式，且Tr(J)=2-v-2αcoshγ(beγ+ccoshγ)x′1,

由于Tr(J)2-4Det(J)>0，所以J(E2)的特征根為實數。|λi|<1,i=1,2的充要條件為Jury條件成立：1)1-Tr+Det>0,2)1+Tr+Det>0,3)Det-1<0。

利用模型假設可得：

顯然條件(1)與(3)恒成立。條件(2)等于

化簡即得E2的局部穩定條件。

4 數值模擬

為了更清楚地觀察參數處于穩定域外所表現出來的復雜動態性特征，在本節運用Matlab對雙寡頭動態系統(10)進行數值模擬，描繪出單參數產量分岔圖、最大李雅普諾夫指數圖與對初始條件敏感性，從這幾方面分析量子糾纏度與企業產量調整速度對系統穩定性及動態行為的影響。模型中的各參數賦值為a=10;b=0.6;c=0.5。

4.1 分岔與混沌分析

圖1演示了v=0.7時，兩個企業產量隨α變化的分岔圖與相對應最大的李雅普諾夫指數圖。當γ=0時，量子納什均衡點(3.575,3.575)在α<0.244 6保持局部穩定。隨著α的增大，量子納什均衡點不再穩定，并會產生分岔、混沌現象。當γ=0.2時，量子納什均衡點(2.805,2.805)在α<0.263 5保持局部穩定。可見，隨著糾纏度增大，系統(10)的穩定性就越高，出現分岔與混沌的可能性就越小。當系統李雅普諾夫指數為正數時，代表著發生混沌現象。比較γ=0與γ=0.2的情況，發現最大李雅普諾夫指數大于0與量子糾纏度呈現正相關性。

圖1 v=0.7時,產量隨α變化分岔混沌圖與對應的最大李雅普諾夫指數圖

圖2演示了v=0.5時，兩個企業產量隨α變化的分岔圖與相對應最大的李雅普諾夫指數圖，發現分岔混沌現象與糾纏度之間的關系與v=0.7時相同。因此，糾纏度能增強系統(10)的穩定性，可以有效地控制分岔與混沌出現。

圖2 v=0.5時,產量隨α變化分岔混沌圖與對應的最大李雅普諾夫指數圖

奇怪吸引子是指時間趨于無窮大時，在任何一個有界集上出發的非定常流的所有軌道在其內部的一個集合，是混沌系統的主要特征之一。圖3描述了不同糾纏度條件下，經過迭代10 000次對應圖1混沌現象的奇怪吸引子，顯示了α=0.37時的分形結構。

圖3 α=0.37時對應圖1混沌現象的奇怪吸引子

4.2 初始條件敏感性分析

混沌現象的一個重要特征就是對初始條件的敏感依賴性，為探究不同糾纏度條件下系統混沌狀態對初始條件敏感性的影響，設兩個企業的初始點為(x1(0),x2(0))=(3,3),相對微小變動的初始點(x1(0)+0.000 1,x2(0))，(x1(0),x2(0)+0.000 1)，其中參數的取值為a=10；b=0.8;c=0.5;v=0.5;α=0.35。圖4、圖5分別為在不同糾纏度下，兩個企業的產量隨時間的變化圖。初始值與微小的變動初始值對應的兩條曲線在初期系統動態的演化都是無序狀態且變化并不顯著，但是隨著時間推進，企業產量變化表現出明顯的差異性。在相同初始值下，企業1比企業2產量的變動振幅大。隨著糾纏度增加，產量隨時間變化較為平穩，對初始值的敏感性較弱。因此，增大糾纏度可以減弱系統動態演化過程中初始條件的敏感依賴性。

圖4 公司1產量對初始條件的敏感性

圖5 公司2產量對初始條件的敏感性

5 結語

本文將量子糾纏植入到不同理性預期條件下的量子庫諾特動態博弈模型，在假定兩個企業分別具有有限理性與適應性預期，成本函數為二次非線性，且具有相同的邊際成本條件下，探究量子糾纏度、企業產量調整速度對均衡點穩定性與動態復雜性的影響，并對此模型進行了穩定性分析與數值模擬。結果表明，隨著量子糾纏度的增加，系統穩定性會提升，產量調整速度增加至某一閾值時，會導致系統經過一系列分岔進入不可預測的混沌狀態。系統進入混沌狀態之后，任何初始條件的細微變動，都會引起產量發生激烈變化。量子糾纏度對控制系統的混沌狀態起著重要的促進作用，從而使得企業可以選擇穩定合理的產量。