基于Backstepping的三輪機(jī)器人編隊(duì)控制

于美妍，楊洪勇，孫玉嬌

(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025)

0 引言

多機(jī)器人在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，多機(jī)器人編隊(duì)控制問(wèn)題日漸成為學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)。但由于機(jī)器人構(gòu)造復(fù)雜，多機(jī)器人系統(tǒng)涉及的技術(shù)很多，人們比較常用的研究方法是把通信的多個(gè)智能體構(gòu)成的計(jì)算系統(tǒng)即多智能體系統(tǒng)視為一個(gè)分布式網(wǎng)絡(luò)，研究多智能體系統(tǒng)的分布式合作。文獻(xiàn)[6]中針對(duì)具有干擾的多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制問(wèn)題，提出了帶有不匹配干擾和參數(shù)不確定的一致性控制算法。文獻(xiàn)[7]研究了一類(lèi)拓?fù)錇檠h(huán)圖的多智能體系統(tǒng)在圓上運(yùn)動(dòng)的編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]研究了具有比例加微分控制器的連續(xù)一階多時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]研究了具有事件觸發(fā)控制策略的二階積分器多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]和[11]研究了混合階多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。

在研究多智能體編隊(duì)控制問(wèn)題時(shí)，機(jī)器人的非線(xiàn)性系統(tǒng)往往比較復(fù)雜，直接得出整個(gè)系統(tǒng)的控制器存在一定的困難，而B(niǎo)ackstepping方法是把系統(tǒng)進(jìn)行分解，分別對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)引入虛擬控制量，設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)得到子系統(tǒng)的虛擬控制器，逐步反推得出系統(tǒng)真正的控制律，大大降低了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度，因此Backstepping方法被廣泛應(yīng)用于多機(jī)器人系統(tǒng)的控制過(guò)程中。文獻(xiàn)[12]針對(duì)雙輪驅(qū)動(dòng)移動(dòng)機(jī)器人，采用Backstepping思想設(shè)計(jì)了多機(jī)器人協(xié)同編隊(duì)方法。文獻(xiàn)[13]利用Backstepping方法，針對(duì)反饋混沌系統(tǒng)，提出了混沌同步一般控制方法。文獻(xiàn)[14]研究的是無(wú)狀態(tài)量測(cè)的不確定隨機(jī)反饋系統(tǒng)，結(jié)合Backstepping思想，提出了一種自適應(yīng)模糊控制方法。文獻(xiàn)[15]針對(duì)模型不確定性不匹配的液壓系統(tǒng)，利用Backstepping方法將擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀(guān)測(cè)器和非線(xiàn)性魯棒控制器綜合起來(lái)。文獻(xiàn)[16]首先對(duì)飛行器縱向模型分析,然后利用Backstepping思想設(shè)計(jì)了高超聲速飛行器的模糊自適應(yīng)控制器。

雖然機(jī)器人編隊(duì)問(wèn)題研究已久，但大多數(shù)文獻(xiàn)都是針對(duì)機(jī)器人的線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[17]結(jié)合事件觸發(fā)策略，對(duì)一般線(xiàn)性多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[18]研究了擁有一般線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)的分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[19]對(duì)于具有有向交互拓?fù)涞母唠A線(xiàn)性群集系統(tǒng)的時(shí)變輸出編隊(duì)控制問(wèn)題進(jìn)行研究。Shi[20]等研究了存在時(shí)變時(shí)延和外部擾動(dòng)等約束條件的高階線(xiàn)性群系統(tǒng)編隊(duì)控制問(wèn)題。但是，現(xiàn)實(shí)世界很多智能體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程并不滿(mǎn)足線(xiàn)性特點(diǎn)，非線(xiàn)性系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中占有很大比例，據(jù)我們所知，有較少文獻(xiàn)對(duì)非線(xiàn)性多智能體系統(tǒng)進(jìn)行研究。因此結(jié)合上述文獻(xiàn)思想和控制器的設(shè)計(jì)方法，本文針對(duì)三輪機(jī)器人的非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)，研究多智能體編隊(duì)控制問(wèn)題。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有以下兩點(diǎn)：1)基于機(jī)器人領(lǐng)航—跟隨模型，構(gòu)造了系統(tǒng)位姿誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，將非線(xiàn)性系統(tǒng)編隊(duì)控制問(wèn)題改變成跟隨者對(duì)虛擬領(lǐng)航者運(yùn)動(dòng)軌跡的追蹤問(wèn)題，有效地解決了基于領(lǐng)航—跟隨模型的機(jī)器人編隊(duì)存在的跟隨者對(duì)領(lǐng)航者過(guò)于依賴(lài)的問(wèn)題。2)運(yùn)用Backstepping思想，構(gòu)造了一個(gè)新的虛擬反饋誤差變量，并基于這個(gè)誤差變量設(shè)計(jì)了多機(jī)器人編隊(duì)控制策略，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人對(duì)于預(yù)定軌跡的全局漸進(jìn)穩(wěn)定，降低了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度。

1 三輪機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型

在實(shí)際生活中，由于干擾等一系列因素存在，機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型會(huì)很復(fù)雜，為了便于后面的工作，本文做了幾個(gè)假設(shè)：1)三輪機(jī)器人底盤(pán)上的3個(gè)輪子是間隔120°均勻分布，不考慮生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)的角度偏差。2)假定機(jī)器人行走的地面具有合適的摩擦力，機(jī)器人不會(huì)出現(xiàn)打滑的情況。3)由于一個(gè)機(jī)器人成品由很多復(fù)雜零件構(gòu)成，將三輪機(jī)器人視為剛體以便分析。4)三輪機(jī)器人底盤(pán)重心與幾何中心重合。

本文首先建立以底盤(pán)重心為原點(diǎn)的局部坐標(biāo)系，如圖1所示，以輪子A與B的角平分線(xiàn)建立x軸，逆時(shí)針90o建立y軸，(vxr,vyr,ωr)與(vxw,vyw,ω)分別是機(jī)器人在絕對(duì)坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系中的相關(guān)速度向量，Vv=[vAvBvC]T為3個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的線(xiàn)速度向量。θ=θw=θr為機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)的方位角，ω是三輪機(jī)器人的角速度，d是機(jī)器人底盤(pán)中心到輪中心的距離。

圖1 三輪機(jī)器人數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖1可得機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型方程為

(1)

并且(vxr,vyr,ωr)滿(mǎn)足式(2)

(2)

(3)

由圖1，可以得到機(jī)器人3個(gè)輪子的速度變化公式為

(4)

(5)

(6)

2 機(jī)器人的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨模型

基于領(lǐng)導(dǎo)-跟隨模型的機(jī)器人編隊(duì)的基本思想是在全部機(jī)器人中選擇一個(gè)領(lǐng)航者，帶領(lǐng)所有成員運(yùn)動(dòng)，其余機(jī)器人作為跟隨者，跟蹤領(lǐng)航者運(yùn)動(dòng)。領(lǐng)航者的移動(dòng)軌跡是已定的，輸入控制也只與自身的信息相關(guān)。

為了解決系統(tǒng)中跟隨者對(duì)領(lǐng)航者的過(guò)度依賴(lài)問(wèn)題，為每個(gè)跟隨機(jī)器人分別設(shè)置虛擬領(lǐng)航者，并假設(shè)虛擬領(lǐng)航者的速度以及角速度始終與領(lǐng)航者保持一致。我們可以通過(guò)調(diào)整虛擬領(lǐng)航者與領(lǐng)航者之間的距離、角度來(lái)構(gòu)造多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)隊(duì)形，然后讓跟隨者按照設(shè)計(jì)的控制策略跟蹤虛擬領(lǐng)航者的運(yùn)動(dòng)軌跡，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)目標(biāo)。通過(guò)這種方法，本文將編隊(duì)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成跟隨機(jī)器人對(duì)虛擬領(lǐng)航者的追蹤問(wèn)題。

圖2 基于領(lǐng)航—跟隨模式的三角形編隊(duì)結(jié)構(gòu)

由Rr的位姿可以得到Rv位姿為

(7)

根據(jù)圖2，得到跟隨機(jī)器人R2對(duì)于虛擬領(lǐng)航者Rv的跟蹤誤差為

(8)

其中,ex，ey表示跟隨者與虛擬領(lǐng)航者之間的x軸、y軸方向上的誤差，eθ表示跟隨者與虛擬領(lǐng)航者之間的角度誤差。

(9)

3 基于Backstepping控制器設(shè)計(jì)

定理1針對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型(1)，如果控制輸入ω,v滿(mǎn)足式(10)

(10)

其中,k1>0，k2>0，那么三輪機(jī)器人系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制。

(11)

當(dāng)eθ→0時(shí)，設(shè)計(jì)部分李亞普諾夫函數(shù)為

(12)

(13)

(14)

對(duì)式(14)求導(dǎo)得：

(15)

(16)

將式(11)、(16)代入式(15)得：

(17)

然后再將式(9)代入式(17)可得：

(18)

結(jié)合式(9)、(10)，對(duì)ω求導(dǎo)得：

(19)

代入式(18)，得：

(20)

將式(20)進(jìn)行整理，得：

(21)

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在編隊(duì)開(kāi)始前，首先要確定的是多機(jī)器人系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所要保持的隊(duì)形。常見(jiàn)的編隊(duì)隊(duì)形有直線(xiàn)形、三角形、矩形、五邊形等。相對(duì)來(lái)說(shuō)，直線(xiàn)形編隊(duì)比較簡(jiǎn)單，其思想是確定好領(lǐng)航機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，其它跟隨機(jī)器人只需按照固定的距離跟蹤即可。對(duì)于三角形、矩形、五邊形編隊(duì)隊(duì)形稍微復(fù)雜一些，設(shè)計(jì)過(guò)程中，不僅需要控制好與領(lǐng)航機(jī)器人之間的距離，還要控制好兩者之間的角度問(wèn)題，來(lái)保證有規(guī)則的編隊(duì)隊(duì)形。

本文基于領(lǐng)航—跟隨的方法對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，分別對(duì)多機(jī)器人系統(tǒng)的矩形編隊(duì)、三角形編隊(duì)、五邊形編隊(duì)進(jìn)行仿真。

4.1 參數(shù)設(shè)置

在進(jìn)行所有編隊(duì)時(shí)，均設(shè)定k1=1.5，k2=2，領(lǐng)航機(jī)器人的初始位姿L0=[2,0,π/3]；領(lǐng)航者速度Lv=4，角速度Lω=2。

4.2 編隊(duì)仿真

基于上述參數(shù)設(shè)置，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖3 機(jī)器人保持三角形編隊(duì)相關(guān)結(jié)果圖

圖4 機(jī)器人保持正五邊形編隊(duì)相關(guān)圖

圖5 機(jī)器人保持長(zhǎng)方形編隊(duì)相關(guān)圖

圖3a領(lǐng)航機(jī)器人沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，5個(gè)跟隨者機(jī)器人與領(lǐng)航機(jī)器人要進(jìn)行三角隊(duì)形編隊(duì)。其中“*”表示領(lǐng)航機(jī)器人，“o”代表跟隨機(jī)器人。圖中給出了時(shí)間在1 s、14 s時(shí)各機(jī)器人編隊(duì)情況。由圖3a可以看出，在剛開(kāi)始一段時(shí)間內(nèi)跟隨機(jī)器人并未跟蹤上領(lǐng)航者機(jī)器人，系統(tǒng)沒(méi)有達(dá)到穩(wěn)定，后期6個(gè)機(jī)器人維持規(guī)則的正三角隊(duì)形持續(xù)移動(dòng)，說(shuō)明跟隨機(jī)器人追蹤上領(lǐng)航機(jī)器人。

圖3b和3c為三角形編隊(duì)時(shí)的系統(tǒng)位置、角度誤差圖，其中藍(lán)、紅、橘黃、紫、綠線(xiàn)分別表示跟隨機(jī)器人1～5的位姿狀態(tài)，可以看出，在控制器的控制下，隨著時(shí)間的推移，位置以及角度的跟蹤誤差在4 s內(nèi)收斂到0，表明了系統(tǒng)達(dá)到漸近穩(wěn)定，證明控制器可以進(jìn)行有效控制。

圖4a為4個(gè)跟隨機(jī)器人與領(lǐng)航機(jī)器人形成正五邊形編隊(duì)軌跡效果圖，與圖3a類(lèi)似，開(kāi)始的一段時(shí)間，機(jī)器人并未保持規(guī)則五邊形運(yùn)動(dòng)，后期，跟隨機(jī)器人追蹤上領(lǐng)航機(jī)器人，保持規(guī)則正五邊形運(yùn)動(dòng)。

圖4b和4c是進(jìn)行正五邊形編隊(duì)的誤差系統(tǒng)示例圖，由圖可以看出智能體大約在3 s時(shí)，跟隨者與虛擬領(lǐng)航者在x軸、y軸方向上的位置誤差，以及角度誤差便趨于0，達(dá)到控制器設(shè)計(jì)目標(biāo)。

圖5a為跟隨者機(jī)器人與領(lǐng)航機(jī)器人運(yùn)動(dòng)形成的矩形編隊(duì)隊(duì)形，由圖5a可以看出，在1 s時(shí)跟隨機(jī)器人并未跟蹤上領(lǐng)航者機(jī)器人，各機(jī)器人沒(méi)有保持矩形軌跡運(yùn)動(dòng)，但是軌跡在逐漸趨于規(guī)則，14 s時(shí)，各跟隨機(jī)器人已經(jīng)追蹤上領(lǐng)航機(jī)器人并保持編隊(duì)隊(duì)形持續(xù)運(yùn)動(dòng)。

圖5b和5c為矩形編隊(duì)時(shí)，跟隨機(jī)器人與各自領(lǐng)航機(jī)器人的誤差圖，根據(jù)圖示，與圖4b和4c類(lèi)似,智能體大約在3 s時(shí),誤差系統(tǒng)就已經(jīng)為0，說(shuō)明此時(shí)跟隨機(jī)器人與領(lǐng)航機(jī)器人已經(jīng)保持編隊(duì)隊(duì)形運(yùn)動(dòng)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文基于Backstepping方法對(duì)三輪機(jī)器人編隊(duì)控制問(wèn)題進(jìn)行研究，提出了新的機(jī)器人編隊(duì)控制策略。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可知在控制器的作用下，機(jī)器人逐漸形成三角形、矩形、正五邊形編隊(duì)，并以很小的誤差保持隊(duì)形持續(xù)運(yùn)動(dòng)。下一步工作將對(duì)具有外部干擾、通信時(shí)延等影響的三輪機(jī)器人編隊(duì)控制問(wèn)題進(jìn)行研究。