剖析建模策略，探究數學模型

婁愛玉

[摘? 要] “倡導知識應用，發展模型意識”是高中數學教學的重要理念，教學中應將數學建模作為重點，利用模型探究來提升學生的實踐能力，解決實際問題的能力. 文章深入剖析數學建模的意義，探索建模策略，結合實例探究不同模型的構建過程.

[關鍵詞] 數學建模;函數;不等式;數列;三角形;策略

在新課改理念下，數學建模成為高中數學教學的重點，圍繞數學建模開展探究活動成為重要的教學方式，也是對“學以致用”學科理念的深入貫徹，同時有利于提升學生的應用意識和核心素養. 數學建模實則是對現實問題的數學抽象，即使用數學語言、數學方法來構建模型的過程. 其中的建模思想對于高中數學學習極為重要，可幫助學生理解知識本質，掌握解題方法，為后續的深入學習打下基礎. 在建模教學中，要確立學生的主體地位，充分發揮教師的主導作用，引導學生了解建模的過程，深刻領悟建模的知識與技能.

策略剖析

“抽象概括”是數學建模的核心所在，建模過程是一個完整的閉環，可分為“實際問題”“建立模型”“數學結果”和“實際結果”四個環節，建模流程如圖1所示. 總體而言，建模時要用數學語言來抽象概括實際問題，再從數學角度來反映實際問題，從而得出關于實際問題的數學描述.

實際建模可按照如下四大步驟進行：

第一步，讀題審題，理解實際問題;

第二步，引入數學符號，思考建模類型，建立數學模型（設定未知量的情形，只需分析對應數學模型即可）;

第三步，利用對應模型的性質及方法解析模型，得出數學結果;

第四步，結合實際情況轉譯數學結果，得出具體問題的答案.

建模過程需要注意以下幾點：

第一，充分分析實際問題，了解建模的目的;

第二，充分捕捉建模對象的特征，挖掘隱含的數學元素;

第三，緊抓主要因素，合理假設，結合關聯知識解析數學模型.

模型探究

高中數學中的模型類型較為多樣，通常隱含在與實際問題結合緊密的知識內容中，常見有函數模型、不等式模型、數列模型和三角模型等，下面結合實例具體探究不同類型模型的構建過程.

類型一：函數模型

例1：已知一片森林原有面積為a，現計劃每年砍伐一些，且每年砍伐的面積百分比相等. 當砍伐到原面積的一半時，所用時間為10年;為保護生態，要至少保留原森林面積的 . 已知到2020年為止，森林剩余面積為原來的 ，試回答下列問題.

（1）試求每年砍伐森林面積的百分比;

（2）到2020年為止，該森林共砍伐了多少年？

（3）從2020年開始，該森林還可以砍伐多少年？

解析：本題目為森林砍伐面積問題，其中的百分比是重點，也是重要的未知量，分析可知該問題可轉化為函數模型，利用函數知識來求解.

（1）可設每年砍伐森林面積的百分比為x（0

（2）到2020年為止，森林剩余面積為原來的 ，可據此構建數學模型，設砍伐了m年，則a（1-x）m= a，即? =? ，整理可得 = ，解得m=5，所以到2020年為止，該森林共砍伐了5年.

（3）核心條件是保留原森林面積的 ，現有森林面積為原來的 ，設還可砍伐n年，則有 （1-x）n≥ a，所以? ≥? ，解得n≤15，故從2020年開始，該森林還可以砍伐15年.

評析與總結：使用指數函數或對數函數解題，關鍵是準確判斷模型. 解題時要合理設定模型，然后代入數據進行驗證. 對于涉及增長率的問題，常用的指數型函數模型為y=N（1+p）x（其中N為基礎數，p為增長率，x為時間），而冪型函數模型y=a（1+x）n（其中a為基礎數，x為增長率，n為時間）. 在探究學習時要把握對應函數模型的性質特征，靈活運用數學方法解析.

類型二：不等式模型

為保護環境，在國家的號召下某廠將廢棄物進行回收處理，轉化為某種產品. 經過測算，處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數關系可近似為y=x2-50x+900，并且處理1噸的廢棄物可獲得價值10萬元的某種產品，同時國家補貼10萬元，試回答下列問題.

（1）當x∈[10，15]時，判斷工廠的回收轉化是否可以獲利？若可以，請求出最大利潤;若不能，請求出國家補貼多少萬元，才不致虧損.

（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

解析：本題目為利潤與成本問題，題干已給出相應的函數表達式，第（1）問解析利潤可使用對應函數性質，第（2）問解析處理量與成本之間的關系，可采用不等式的性質.

（1）設利潤為P，則P與x之間的關系為P=（10+10）x-y，整理可得P=-（x-35）2+325，x∈[10，15]. 由于x=35？埸[10，15]，P=-（x-35）2+325在[10，15]上為增函數，可求得P∈[-300，-75]，所以國家補貼75萬元，工廠就不會虧損.

（2）設每噸的平均處理成本為Q，則Q= =x+ -50≥2 -50=10，當且僅當x= 時等號成立. 由于x>0，可得x=30. 因此當處理量為30噸時，每噸的處理成本最少，且為10萬元.

評析與總結：上述第（2）問使用均值不等式模型來解析其中的最值問題，均值不等式是高中數學重要的公式，不等式的成立含有一定的設定條件. 有時構建不等式模型會借助函數，解題時可按照“提煉函數→構建不等式模型→不等式性質求解”的流程突破.

類型三：數列模型

例3：已知一種設備的單價為a元，設備維修和消耗費用第一年為b元，以后每年增加b元（a和b均為常數），記設備年平均費用=（設備單價+設備維修和消耗費用）/設備的使用年數，回答下列問題.

（1）試求設備年平均費用與設備使用年數的關系（用y表示設備年平均費用，t表示設備使用年數）;

（2）當a=112500，b=1000時，求設備的最佳更新年限.

解析：由題意可知，設備的維修和消耗費可構成等差數列，故后續分析可構建等差數列模型，然后借助模型性質求解.

（1）設備維修和消耗費可構成以b為首項，b為公差的等差數列，所以t年后設備維修消耗費為b+2b+3b+…+tb= t，所以y= = + t+ .

（2）根據題意結合不等式可得結論 t+ ≥2 ，故y≥500+2 =15500，當且僅當t=15時，年平均消耗費取得最小值，所以設備的最佳更新年限為15年.

評析與總結：數列是一種特殊的模型，既具有函數的遞變規律，又具有數的特性. 利用數列模型解析實際問題時，要把握題干中的遞變規律，關注變量取值條件. 高中數列模型最為常用的是等差和等比兩種模型，探究學習時要掌握數列的定義、通項公式及遞推方法，結合實際情形驗證結論.

類型四：三角模型

例4：如圖2所示，有一公路從正西方向通過城市中心的O點后轉向東北方OB. 現準備修筑一條鐵路L，L在OA上設立一站A，在OB上設立一站B，∠AOB=135°. 鐵路在AB段部分視為是直線段，現要求市中心O與AB的距離為10km. 試問：把A，B分別設在公路上距離市中心多遠處，可使AB最短，并求出最短距離.

解析：本題目涉及了最值，與直角三角形密切相關，可構建“三角”模型來研究最值.

過點O作AB的垂線，設垂足為點D，則OD=10，設∠DAO=α，則AD=10cotα，DB=10cot（45°-α），所以AB=AD+DB=10[cotα+cot（45°-α）]，整理可得AB= = ，當45°-2α=0時，即α=22.5°時，AB最短，且最短距離為20（ +1），此時A，B距離市中心O為10 千米.

評析與總結：“三角”模型，即與三角形密切相關的幾何模型，對于涉及方位的實際問題常構建“三角”模型，利用三角形邊長與角度之間關系，引用三角函數來突破. 構建“三角”模型解題時需注意以下幾點：設定統一的坐標方位;關注模型中的轉向角;靈活利用三角函數代換公式進行變形.

總結思考

數學模型與生活實際緊密相關，利用模型解決實際問題，充分體現了知識的應用價值. 上述所探究的函數模型、不等式模型、數列模型、“三角”模型是其中的典型代表，在建模解題時需要充分理解對應知識的性質特性，掌握模型構建的方法策略，辨析模型與實際問題的區別. 下面提出幾點建議.

建議一，歸納整理類型，數學模型的類型眾多，即使是函數模型也包括一次函數、反比例函數、二次函數、分段函數等多種. 實際探究時要注意總結歸納，關注問題的變量關系和取值范圍.

建議二，重視模型聯系，不同模型之間存在一定的聯系，在特定條件下可互相轉化，這也是高中數學重要的考查內容. 以上述探究為例，在例3辨析關系時構建了等差數列模型，而求解最值時引入均值不等式，將其轉化為不等式模型，求出了最值. 因此探究學習時要注重知識拓展，關注模型聯系，完善模型體系.