動態數學技術提效數學變式教學的實證研究

韓仲亮 張蓉蓉

[摘? 要] 基于動態數學技術的初中數學變式教學，能讓數學符號與圖形的變化過程可視化，能讓概念的生成過程直觀化，能讓解題思路多維化，能有效改變傳統教學模式以靜態環境想象動態過程的不足，不僅有效增強了學生的空間思維意識，而且培養了學生的抽象思維、發散思維、創新思維等數學思維能力.

[關鍵詞] 初中數學;動態數學技術;提效;變式教學;圖形的旋轉

變式教學法非常有利于引導學生進行系統、科學的數學思維拓展訓練，但只是單獨運用變式教學法也有很多缺陷，譬如無法解決很多幾何概念的推理論證與拓展練習;如果把動態數學技術與變式教學法相結合，很多數學概念、公式、定理的教學問題就會迎刃而解，能夠顯著提升初中數學課堂的教學效率.

動態數學技術的概念內涵及主要特征

“動態數學技術”指運用動態教學軟件（如幾何畫板、Hawgent教學軟件），讓靜止的數學符號或圖形“運動”起來，讓數學符號與圖形的變化過程可視化，讓概念的生成過程直觀化.

動態數學技術的主要特征是形象化、動態化、可視化，與傳統數學課堂靜態教學模式形成鮮明的對比，能有效增強學生的空間思維意識，培養學生的抽象思維能力.

變式教學與動態數學技術的教學原理與融合途徑

1. 教學原理

變式教學的教學原理在于“變”：變條件、變結論、變方法……動態數學技術的核心價值也在于“變”：變形狀、變位置、變狀態……把變式教學與動態數學技術相結合，就好比“強強聯手”，能讓初中數學課堂變得思維火花迸射，充滿生機與靈動.

2. 融合途徑

變式教學與動態數學技術融合的途徑主要有概念生成、公式推導、定理論證、教學重難點突破、思維訓練、拓展練習等方面，如蘇教版八年級數學下冊“9.1 圖形的旋轉”可按如下思路進行教學設計.

（1）明確探究任務

根據教材內容可制定如下探究任務：①探究圖形旋轉的概念，認識旋轉三要素;②探究圖形旋轉的性質;③探究旋轉圖形的畫法.

（2）確定變式教法

根據探究任務以及變式教學和動態數學技術融合的原理，可制定如下變式教法：

①創設變式情境.通過不斷變化提問的方式，不斷變化問題生發的過程與方式，誘發學生產生與已有知識經驗的認識沖突，從而激發學生探究新知的欲望.

②開展變式探究.讓學生通過對圖形位置、形狀等的變式探究，引領學生經歷“猜想、操作、推理、驗證、歸納、概括”等探究學習活動，完成對概念的生成與建構過程.

③進行變式訓練. 通過一題多變、一題多解、一題多用等變式練習，從概念的條件與結論、問題的深淺程度、思維的正反方向等多個維度，引導學生對新知識進行“深化、吸收、遷移、創新”.

動態數學技術提效初中數學變式教學的課例實證

下面，以蘇教版八年級數學下冊“9.1 圖形的旋轉”的教學為例，談談動態數學技術與數學變式教學的融合途徑與策略.

1. 感受旋轉，引入新知

（1）播放時鐘、風車、車輪、摩天輪等學生熟悉的旋轉畫面，讓學生直觀感受旋轉，豐富學生對旋轉現象的感性認識.

（2）利用Hawgent教學軟件出示靜態的三角形、長方形、平行四邊形等圖形，再讓這些圖形旋轉起來，讓學生感受圖形的動態旋轉畫面，引發猜想：旋轉后所得的圖形與原圖形的形狀、大小相同嗎？進而引入新知.

2. 變式探究，認識新知

【探究目標一】探究圖形旋轉的概念

活動1：實驗探究，建立旋轉概念.

（1）引導學生操作并思考：把三角尺ABC繞點C按逆時針方向旋轉到DEC的位置（如圖1），再度量線段AC與DC、BC與EC的長度，以及∠ACD與∠BCE的度數，你發現了什么？

（2）學生測量后發現：AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE.（旋轉不改變圖形的形狀和大?。?/p>

（3）歸納總結：①將圖形繞一個 定點 旋轉一定的 角度 ，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉. 這個定點稱為 旋轉中心 ，旋轉的角度稱為 旋轉角 . ②旋轉的決定因素有 旋轉中心 、 旋轉角 和 旋轉方向 ，也稱旋轉三要素.

（注意：旋轉時應指出旋轉方向，如逆時針、順時針等）

活動2：變式拓展，結合動圖看概念.

利用Hawgent教學軟件出示△ABC，再將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉（如圖2），讓學生先獨立完成下面的思考題，再交流討論：

（1）旋轉中心是點 C ;

（2）點B的對應點是 E ;

（3）CA的對應邊是 CD ;

（4）∠A的對應角是 ∠D ;

（5）點A的旋轉角是 ∠ACD ;

（6）點B的旋轉角是 ∠BCE .

【探究目標二】探究圖形旋轉的性質

思考：三角形旋轉中心在圖形本身，其旋轉后圖形的形狀與大小不變（性質1），如果旋轉中心在圖形之外，會出現什么新情況？

活動3：探究旋轉的性質2——線.

如圖3，將△ABC繞點O按順時針方向旋轉到△A′B′C′的位置.

（1）找出圖中的對應線段.

（2）度量線段OA與OA′、OB與OB′、OC與OC′的長度，你發現了什么？

（3）學生度量后發現OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′.

（4）學生討論后得出：圖形旋轉后，每對對應點到旋轉中心的距離相等.

活動4：探究旋轉的性質3——角.

圖形旋轉后，除了兩個三角形中的對應角相等外，還有哪些相等的角？

（1）度量圖3中的∠AOA′，∠BOB′，∠COC′的度數，你發現了什么？

（2）學生度量后發現∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.

（3）學生討論后得出：圖形旋轉后，每一對對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此相等.

活動5：歸納、概括圖形旋轉的性質.

（1）形：旋轉前、后的圖形 形狀與大小不變 （對應線段 相等 ，對應角 相等 ）.

（2）線：對應點到旋轉中心的距離 相等 .

（3）角：每一對對應點與旋轉中心的連線所成的角彼此 相等 .

【探究目標三】探究旋轉圖形的畫法

活動6：動手畫——點繞點旋轉.

出示：已知點A和點O，請畫出點A繞點O按順時針方向旋轉90°后的圖形.

（1）畫圖步驟：連線→畫角→截?。ㄈ鐖D4），即①連接點O和點A（用虛線）;②以O為頂點，以OA為一邊，畫∠AOC=90°（注意順時針）;③在射線OC上截取線段OA′=OA. 則點A′就是所要求作的點.

（2）學生按上述步驟自主畫圖.

活動7：變式——線段的旋轉.

出示：已知線段AB和點O，請畫出線段AB繞點O按順時針方向旋轉90°后的圖形.

（1）按照“活動6”的三個步驟，小組討論線段的旋轉畫法，即①分別連接OA和OB（用虛線）;②以OA為一邊畫∠AOC=90°，以OB為一邊畫∠BOD=90°;③在射線OC上截取線段OA′=OA，在射線OD上截取線段OB′=OB. 用實線連接A′B′，線段A′B′就是所要求作的線段（如圖5）.

（2）學生按上述步驟自主畫圖.

活動8：變式——三角形的旋轉.

出示：已知△ABC和點O，請畫出△ABC繞點O按順時針方向旋轉90°后的圖形.

（1）學生按照上面點的旋轉、線段的旋轉的作圖步驟自主畫圖（如圖6）.

（2）交流談論，總結旋轉圖形的畫法.

歸納總結？搖 畫旋轉圖形的關鍵：根據旋轉的特征畫旋轉圖形時，關鍵是確定圖形的關鍵點（如線段的端點、多邊形的頂點等）. 根據旋轉的性質畫出關鍵點的對應點后，再按原圖形的連接方式連接各關鍵點的對應點即可.

上面的變式探究活動，利用動態數學技術把實物轉化為平面圖形，并演示圖形旋轉的動態過程，既有利于學生從直觀感受轉化為抽象概念，又有利于學生深入理解圖形旋轉的概念與性質. 并且學生運用旋轉的性質學會了如何畫旋轉圖形，這為學生以后自主解決具體問題奠定了知識與技能基礎.

3. 變式訓練，深化新知

（1）嘗試練習

原題1？搖 如圖7，已知正方形ABCD的邊長為1，E是BA延長線上一點，連接AC，DE. 現將△ADE繞點A按順時針方向旋轉到△AMN的位置（M在AC上）. 旋轉了多少度？CM的長度是多少？（答案：旋轉了45°，CM= -1）

變式？搖 如圖8，在正方形ABCD中，E是BA延長線上一點，現將△ADE繞點A按順時針方向旋轉到△ABP的位置. 旋轉了多少度？若連接EP，試說出△AEP的形狀.（答案：旋轉了90°，△AEP是等腰直角三角形）

（2）延伸拓展

原題2？搖 如圖9，將等邊三角形ABC繞點A按逆時針方向旋轉40°后得△ADE （點B與點D是對應點），則∠BAE= 100° .（解答：∠BAE=60°+40°=100°）

變式1？搖 如圖10，將等邊三角形ABC繞點A按順時針方向旋轉40°后得△ADE （點B與點D是對應點），則∠BAE= 20° .

變式2？搖 將等邊三角形ABC繞點A旋轉40°后得到△ADE （點B與點D是對應點），則∠BAE=? ? ?100° 或20°? ?. （解答：①逆時針旋轉時，∠BAE=60°+40°=100°;②順時針旋轉時，∠BAE=60°-40°=20°）

上面的嘗試練習讓學生及時遷移、運用新知解決實際問題;拓展練習則進一步引導學生深化吸收與拓展創新. 兩項練習都在原題基礎上對條件和問題進行變式，有利于培養學生的發散思維與創新思維能力.