基于模糊內核的改進非線性PID調速系統

蔡展鵬，趙韡，馮昕宇，程浩田

(中北大學 山西省先進制造技術重點實驗室，山西 太原 030051)

0 引言

無刷直流電機由于其具有高動態響應、高效率的特點，在機器人、電動汽車和光盤驅動等諸多領域得到了廣泛應用。速度調節是實現電機精確速度控制和位置控制的重要方面[1]。自動化控制領域中, 非線性PID是目前應用較多的一種PID算法，但由于被控對象的復雜與多變性、外界干擾等問題，非線性PID控制對于電機的控制精度常常達不到要求。因此，對電機伺服控制系統的研究至關重要。

El-SAMAHY Adel A等[2]使用一種帶有PID補償器的模型參考自適應控制系統(MRAC)，研究其應用于無刷直流電機的情況，并與模糊自適應PID控制相比較，得出帶有PID補償器的MRAC對擾動有更強適應能力的結論。潘玉成等[3]將模糊控制與RBF神經網絡結合，改善傳統集合中模糊性擴大所產生的問題，有效提高了系統的控制性能與控制精度。羅娜等[4]研究直流電機的控制算法，提出模糊前饋PID的智能控制算法，但PID整定結果沒有達到最優，最終的控制效果還可以進一步優化。王迪等[5]將非線性PID控制應用于微型燃氣輪機，一定程度提高了微型燃氣輪機工作的穩定性，但對于非線性PID的組合還有待優化。

本文提出一種新型控制系統：基于模糊內核的改進非線性PID(improved non-linear PID, INLPID)控制系統。針對非線性PID的缺陷，通過分析系統反饋信號、劃分誤差的非線性區間，設計出誤差飽和函數，提出了基于誤差累積調節的改進非線性PID算法，并結合模糊算法的思想，對改進非線性PID系統的反饋增益系數進行在線調整，提高了系統在階躍響應中的響應速度并減小了穩態誤差，增加了伺服系統的控制精度與魯棒性。

1 無刷直流電機數學模型

無刷直流電機是一個單輸入、單輸出系統，根據自動控制理論[6]，在忽略電機軸上的黏性摩擦系數后，電機空載下傳遞函數為

式中：Cm為電機轉矩系數；Ce為反電動勢常數；J為電機轉動慣量；La為線電感；Ra為線電阻。本文所選無刷直流電機參數如表1所示。最后計算得到電機傳遞函數為

表1 無刷直流電機各項參數

2 改進非線性PID與模糊算法研究

2.1 改進非線性PID算法

經典PID算法將誤差的比例、積分與微分信號通過線性組合，利用反饋信號計算得來的誤差來消除誤差。但在實際使用中，由于被控對象的不確定性以及理論與實際應用的不一致性，導致了系統輸出容易產生震蕩與過飽和，PID這種線性組合顯然不是最佳的組合形式[7]。針對以上PID算法的缺陷，韓京清[8]提出了三種非線性PID控制器，其中一種是將誤差的比例與微分信號通過動態的非線性組合來消除誤差，表達式為

u=β1fal1(e1，α1，δ)+β2fal2(e2，α2，δ)

式中：β1、β2為非線性PID控制器的反饋增益系數；e1為輸入與輸出偏差；e2為輸入微分與輸出微分的偏差；α1、α2為控制器可調參數，取值范圍為0<α1<1<α2；δ為連續線段性的區間長度；fal為關于e、α、δ的飽和函數，能有效抑制輸出信號產生高頻振蕩。這種非線性PID控制器在保留了傳統PID控制器結構簡單的基礎上，大大增加了系統對外界干擾與對系統特性參數改變的適應性，更易于工程應用[9]。

遺憾的是，這種非線性組合雖然比傳統PID控制更有效，對于誤差的調整更精確，但對于結構復雜或結構和特性參數等易受外界干擾而發生改變的系統。在使用非線性PD控制時，輸出信號與輸入信號會產生無法消除的穩態誤差，使得系統最終的控制效果無法滿足實際使用要求。

由于非線性PID控制只對單次的偏差進行比例計算和偏差的微分進行微分運算，沒有將系統累積偏差加入計算，導致在面對復雜或精密的系統時難以調控，輸出結果容易產生偏差，而且在非線性PID控制下，過高的比例增益系數β1和過高的微分增益系數β2都會導致信號無法收斂，而過低的β1和β2又會使信號產生極大的穩態誤差和高頻震蕩，無法有效地對被控對象進行調控。

針對以上非線性PD控制系統輸出信號產生穩態誤差的問題，提出了基于誤差累積調節的改進PID算法，在初始非線性PD組合中加入誤差飽和函數err(ea，e1，α3，δ)，消除系統穩態誤差，增加系統的魯棒性與控制精度。

改進非線性PID表達式為

u=β1fal1(e1，α1，δ)+β2fal2(e2，α2，δ)+β3err(ea，e1，α3，δ)

式中：β3定義為積分增益系數；ea為誤差的累積；α3定義為調節參數；err為關于ea、e、α、δ的誤差飽和函數，通過誤差|e1|相對于δ的大小設置小段線性區間，對絕對值小于δ的誤差累加，對絕對值大于δ的誤差加以約束冪次，使得最終誤差累積始終處于合適范圍。3個飽和函數fal1、fal2、err表達式為：

2.2 模糊理論應用于改進非線性PID算法

在實際生產中，由于外在環境的干擾或負載的突變，被控對象的部分特性參數或結構會發生改變。采用自適應控制能夠在線辨識被控對象的特性參數，實時改變控制策略，使控制效果始終良好[10]。采用模糊控制能對非線性、多參數系統或難以確定數學模型的系統加以控制[11]。

模糊理論的思想是以系統動態誤差e和誤差變化率ec為輸入，計算機根據已設定的模糊邏輯，運用模糊推理得到輸出。由于輸出是隨誤差的變化而實時調整的，而模糊邏輯依靠專家經驗確定，模糊邏輯與參數一旦確定無法更改，一定程度上降低了系統的自適應能力[12]。模糊理論與改進非線性PID結合，組成隨誤差反饋而動態調整的新算法，可以很好地解決系統結構不確定性和系統干擾問題。

基于模糊內核的改進非線性PID算法即是對β1、β2、β3三個反饋增益系數運用模糊推理進行在線調整，表達式為

u=(β1+△β1)fal(e1，α1，δ)+(β2+△β2)fal(e2，α2，δ)+(β3+△β3)err(ea，e1，α3，δ)

模糊控制器為兩輸入三輸出系統，兩個輸入誤差e與誤差變化率ec的模糊論域均為[-3，3]，模糊論域劃分為3個模糊子集：N(負)、Z(零)、P(正)。3個輸出△β1、△β2、△β3的模糊論域分別為[-1/8，1/8]、[0，3/425]、[0，3/1 000]，模糊論域劃分為3個模糊子集：N(負)、Z(零)、P(正)。根據專家經驗總結出輸入e、ec與輸出△β1、△β2、△β3的定性關系，得到9條模糊控制規則，見表2。表中3個輸出從左到右為△β1、△β2、△β3。

表2 模糊控制規則表

3 MATLAB仿真方案設計

3.1 SIMULINK仿真

為探究本文所提出的基于模糊內核的改進非線性PID算法，共進行了兩組SIMULINK仿真實驗。

第一組實驗將提出的改進非線性PID算法與傳統的非線性PID算法進行對比，研究兩種算法在直流電機階躍響應曲線中的調速性能，驗證提出的理論可以克服典型的非線性PID算法的缺陷，在使用中能完全消除系統的穩態誤差。

第二組實驗將提出的基于模糊內核的改進非線性PID算法(圖1)與改進非線性PID算法、模糊PID算法進行對比，研究三種算法在無刷直流電機階躍響應中的調速性能，并給出新型算法在方波跟蹤中的性能表現。

圖1 基于模糊內核改進非線性PID結構

3.2 仿真結果分析

第一組仿真結果見圖2。分析得出，在無刷直流電機調速系統中，非線性PID(NLPID)控制雖然能快速響應輸入信號，但系統輸出與輸入間存在一定的穩態誤差無法消除，使得非線性PID控制無法滿足需要高精度控制的生產環境。本文所提出的改進非線性PID(INLPID)算法則可以快速復現輸入，完全消除系統穩態誤差，成功克服了非線性PID算法的缺陷。

圖2 非線性PID與改進非線性PID對比

第二組仿真結果見圖3、圖4。分析圖3得出，在直流電機伺服系統階躍響應中，控制效果最好的是基于模糊內核的改進非線性PID(INLPID(Fuzzy))控制系統，信號沒有過調，從開始響應到穩態誤差在2%以內，上升時間為0.019s，比改進的非線性PID(INLPID)控制少了42.4%，比模糊PID(FuzzyPID)控制少了98.1%，可以滿足對直流電機的高速響應與高精度調節的控制要求。圖4為方波信號跟蹤仿真結果，分析結果得出，基于模糊內核的改進非線性PID系統魯棒性良好，在輸入信號突變下也具有快速跟蹤能力。

圖3 階躍響應仿真結果

圖4 基于模糊內核的改進非線性PID方波跟蹤結果

4 結語

對無刷直流電機伺服控制系統進行了研究，提出了一種新型控制算法：基于模糊內核的改進非線性PID算法。與改進的非線性PID算法進行了對比，通過仿真驗證了所提出的改進非線性PID算法能消除非線性PID控制的缺點，消除系統輸出信號的穩態誤差，證明了新型算法可以用于復雜非線性系統，實現快速精準的伺服系統調控。與非線性PID算法、模糊PID算法兩種算法進行對比，研究新型算法用于電機伺服控制的調速性能，通過仿真驗證了基于模糊內核的改進非線性PID算法能完全去除信號超調，極大程度地提升系統響應速度與控制精度，并且能實現信號快速跟蹤，具有良好的魯棒性。基于模糊內核的改進非線性PID能實現無刷直流電機快速、精確、穩定的速度調節，適合于具有結構不確定性的非線性系統的自適應控制。