基于兩階段Gamma過程的機械產品剩余壽命預測研究*

姜 洋

(浙江機電職業技術學院 現代信息技術學院，浙江 杭州 310053)

0 引 言

傳統機械產品的可靠性評估大多基于大樣本假設下的強度-應力干涉理論。隨著科技的進步，以高可靠性、長壽命、小子樣為特征的機械裝備的可靠性評估難以滿足強度-應力干涉模型的大樣本要求，因此，需要充分利用機械裝備全壽命周期內的退化信息，同時考慮機械裝備運行過程中的環境條件、材料本身的隨機性等因素，通過分析機械產品的性能退化數據建立產品的可靠性分析模型。

產品因溫度、濕度和磨損等原因會發生連續退化。從20世紀70年代開始，許多學者對具有退化特性的產品可靠性評估進行了研究。文獻[1]用線性退化模型描述了厚膜電阻的退化過程，完成了厚膜電阻在溫度應力下的可靠性評估。文獻[2]利用加速退化數據得到了長壽命產品的可靠性評估新方法。文獻[3]利用B-S分布近似產品的可靠度，建立了多元退化下的可靠性模型。文獻[4]詳細描述了Gamma過程作為靜態應力-強度模型的統計特性、參數估計以及在產品壽命預測研究中的應用。文獻[5]提出了基于隨機參數Gamma過程模型的剩余壽命預測方法，結合產品加速老化數據，提高了預測結果的可信度。

機械產品的運行過得中，除了受到激發連續退化的平穩載荷外，還受到外部環境和載荷波動的沖擊載荷，因此，在機械產品壽命預測中，計及沖擊失效的競爭效應是提高機械產品壽命預測精度的重要因素。文獻[6]587根據性能退化數據建立了對產品連續退化過程的分析模型，并通過泊松過程描述了隨機沖擊對產品的離散作用過程，最終得到了產品實際可靠性模型。文獻[7]根據系統在變點前后受到的外部沖擊的損壞量所服從的分布不同，運用不確定性理論和機會理論，得到了3種不同沖擊模式下的確信可靠度模型。

傳統的可靠性分析模型是建立在二態(正常、故障)假設基礎上的，而越來越多的工程實踐表明，機械產品在全壽命周期內具有一段潛在故障區間，即產品從正常狀態到故障狀態的過渡狀態，在潛在故障狀態下，產品相對正常狀態具有較高的失效率和性能退化率。機械產品疲勞裂紋的生長過程是最典型的實例。因此，應用傳統的兩態可靠性評估模型進行機械產品壽命預測在潛在故障階段將產生較大的估計誤差，如何將機械產品的二態生命周期拓展為三態壽命周期，進行可靠性評估和壽命預測是另一個亟待解決的問題。

本文綜合考慮機械產品的連續退化過程和離散退化過程，并基于延遲時間理論描述產品的加速退化過程，得到退化型機械產品在沖擊載荷下的可靠性評估方法，并通過仿真實例驗證該方法的正確性與有效性。

1 可靠性模型

由CHRISTER教授在1973年提出的三態可靠性評估模型[8]中，提出了延遲時間的概念。延遲時間理論認為，產品的全壽命周期可以分為兩個階段：第一階段為正常階段，包括產品投入使用到缺陷發生時刻t0；第二階段為延遲時間階段，包括缺陷發生時刻t0到產品發生故障，這兩個階段是互相獨立的[9]。

性能退化水平如圖1所示。

圖1 兩階段延遲時間理論

根據時間延遲理論，筆者將機械產品的全壽命周期從傳統的兩態空間拓展為三態空間，即在正常狀態和故障狀態之間，增加一個潛在故障區間(加速退化階段)，機械產品在該區間運行時雖然能夠工作，但是退化率相較于正常狀態顯著提升。

用t0表示兩個階段的分界時間點，可以根據產品生命周期所處時間t與t0的關系將系統狀態s分為3個狀態：

(1)正常退化態s0。t

(2)加速退化態s1。t>t0，產品加速退化但沒有發生故障；

(3)故障態s2。系統發生故障。

威布爾分布作為一種連續的概率分布模型[10]，是描述機械產品可靠性分布的最常用分布。因此，假設t0服從威布爾分布，且用β0表示比例參數，β1表示形狀參數。t0的累積分布函數和概率密度函數分別用F(t0)和f(t0)表示。

伽馬過程具有獨立、非負增量的特性，可以很好地描述機械產品因磨損等原因造成的嚴格單調的退化過程[11]。

假設產品的連續退化過程服從伽馬過程，則任意時刻t產品的連續退化量x(t)服從伽馬分布，即：

(1)

式中：kt—形狀參數；λ—尺度參數。

根據上述假設，產品首先處于正常退化態，并且性能從0開始退化。假設正常退化態下的退化過程服從參數為(k0,λ0)的伽馬過程，則產品性能退化量的均值和方差分別為：

E=μ0tt

(2)

(3)

當產品處于加速退化狀態下，產品性能從t0時刻的x(t0)開始退化。假設加速退化態下的退化過程服從參數為(k1,λ1)的伽馬過程，因此有：

E=μ0t0+μ1(t-t0)t>t0

(4)

(5)

文獻[12，13]討論了產品退化過程的參數擬合問題，并指出產品退化量的方差隨時間線性變化是合理的，即σ=σ0=σ1。

因此，產品全生命周期下產品退化量的期望和方差可以表示為：

(6)

Var=σ2t

(7)

在產品的使用中，除了有隨時間推移而產生的連續退化外，還有來自外界的隨機沖擊造成的離散退化。沖擊載荷作用后，產品的退化水平會發生明顯階躍性增長，因此，機械產品的退化失效是連續退化失效和隨機沖擊引起的離散退化失效競爭的復合過程。

單次沖擊載荷的發生時間和退化效應幅值是一個隨機變量，一般情況下采用復合泊松過程描述上述隨機性。

假設時刻t已發生的沖擊次數N(t)服從泊松過程，則t時刻發生n(n=0,1,2,…)次沖擊的概率為：

(8)

式中：α—泊松過程的強度參數。

假設各次沖擊造成的退化量獨立同分布，則退化量為：

Di～N(e,v2)

(9)

式中：Di—第i(i=0,1,2,…)次沖擊造成的退化量；e—一次沖擊造成退化量的均值；v2—一次沖擊造成退化量的方差。

設y(t)是t時刻由沖擊造成的退化量，則有：

(10)

由于各次沖擊造成的退化量獨立同分布，y(t)仍然服從正態分布，且有：

y(t)～N(N(t)e,N(t)v2)

(11)

綜合考慮連續退化和隨機沖擊的影響，根據累計損傷模型，t時刻產品的退化量u(t)應該由x(t)和y(t)共同組成，因此有：

u(t)=x(t)+y(t)

(12)

假設產品的退化量失效閾值為L，則t時刻系統可靠度可以表示為：

(13)

根據文獻[14]，利用B-S分布近似可得：

(14)

式中：Φ(·)—標準正態分布的累積分布函數；Eu—t時刻產品退化水平的期望。

Eu表達式為：

(15)

考慮t0的隨機性，可以得到產品全生命周期的可靠性模型為：

(16)

2 仿真分析

金屬材料是各種機械產品的主要材料，金屬材料的裂紋擴展是金屬材料可靠性的重要問題之一。

某金屬材料的性能退化數據[6]590如表1所示。

表1 某金屬性能退化數據

續表

該數據集共有13個樣本，每10 000次循環進行一次測試，每個樣本測試11次。

本文基于表1的退化數據，采用最大似然估計方法[15]對模型參數進行擬合。

考慮延遲時間后的加速退化過程，參數擬合的結果如表2所示。

表2 考慮延遲時間加速退化參數擬合結果

不考慮延遲時間后的加速退化過程，參數擬合結果如表3所示。

表3 不考慮延遲時間加速退化參數擬合結果

根據上述參數擬合結果，同時假設泊松過程的強度參數α=0.1，一次沖擊造成退化量的方差v2=0.044 1，退化量失效閾值L=50，可得出該金屬材料的可靠性模型；并基于MATLAB進行不同平均沖擊強度e下的仿真。

可靠度變化趨勢如圖2所示。

圖2 可靠性評估結果

圖2表明：在考慮沖擊載荷時，金屬材料可靠運行壽命顯著減小，工作壽命減小的程度和沖擊載荷的強度分布正相關。

由于機械產品在實際運行工況下，沖擊載荷無可避免，采用本文提出的退化失效與沖擊失效競爭情況下的損傷累積模型，能夠更加準確地預測機械產品的剩余壽命。

在不考慮加速退化的狀態采用單階段Gamma模型，考慮加速退化的狀態采用兩階段Gamma模型，筆者根據金屬材料性能退化數據進行了剩余壽命預測仿真。

仿真結果如表4所示。

表4 壽命評估結果

由表4可知：在不考慮加速退化狀態時，采用單階段Gamma過程模型的壽命預測結果約30萬次循環；而考慮加速退化狀態時，采用兩階段Gamma過程的壽命評估結果約20萬次循環。

同時，筆者根據表1的退化試驗數據，采用最大似然估計法對Gamma模型參數進行擬合，預測該金屬材料的實際壽命長度。據擬合結果顯示;該樣本1壽命最短，為12.4萬次循環;樣本13壽命最長,為25.9萬次循環。

對比表4可以得出，考慮金屬材料在全壽命周期范圍內的潛在故障區間更符合實際金屬材料性能退化軌跡，其預測結果也更為精確。

3 結束語

在進行機械產品壽命預測時，由于傳統的兩狀態可靠性評估存在較大的估計誤差，在計及沖擊載荷條件下，筆者提出了一種基于兩階段Gamma過程模型的三態機械產品的壽命預測方法；該方法基于時間延遲模型，描述了產品的加速退化過程，并基于該方法對金屬材料的裂紋擴展過程進行了分析。

研究結果表明：

(1)相對于傳統兩狀態的可靠性評估模型，基于兩階段Gamma過程模型的三態壽命預測方法對機械產品的可靠性評估結果具有更高的精度；

(2)在考慮沖擊載荷條件下，考慮全壽命周期內的加速退化階段更符合機械產品性能退化軌跡，且能有效提升剩余壽命預測的準確性。

大多機械產品的運行工況比較復雜，僅靠單一性能指標難以全面、準確反映產品的退化過程。因此，在今后的研究中，筆者將綜合考慮多個關鍵性能指標，來進行產品的可靠性建模和評估。