可壓縮湍流的多尺度分析

陳十一, 王建春, 鄭欽敏, 王小寧, 滕 健, 萬敏平

(南方科技大學 力學與航空航天工程系, 深圳 518055)

0 引 言

可壓縮湍流在高超聲速飛行器設計、高溫化學反應流動、激光核聚變、超新星爆炸等各種工程問題和自然現象中起到關鍵作用，不僅是流體力學中的基礎科學問題，也是國家重大工程中的重點研究課題[1-10]。與不可壓縮湍流相比，可壓縮湍流更加復雜，包含了旋渦、聲波、激波、膨脹波等豐富的流動結構。在可壓縮湍流中，動能和內能之間通過壓力做功相互轉化，密度、速度、壓力和溫度之間相互耦合?？蓧嚎s湍流的復雜性給理論分析、數值模擬和實驗研究帶來了巨大的挑戰。因此，非常有必要系統地研究可壓縮湍流的流動機理，為進一步發展更可靠的可壓縮湍流模型提供理論支持[11-23]。

由于可壓縮湍流包含了豐富的物理過程，一種有效的方法是將可壓縮湍流分解為不同的部分，然后研究每一部分的性質以及各部分之間的相互作用。Moyal在1952年通過亥姆霍茲分解，將可壓縮湍流的速度場分解為剪切部分和脹壓部分，并指出，速度場的剪切部分類似于不可壓縮湍流場，而速度場的脹壓部分可以看做是隨機噪聲[24]。Kavasznay在1953年對可壓縮流動的控制方程做了線性假設，將可壓縮流動分解為三種相互正交的模態：渦模態、聲模態和熵模態，分別對應于可壓縮流動的剪切過程、脹壓過程和熱力學過程[25]。

亥姆霍茲分解方法已被廣泛應用于可壓縮均勻各向同性湍流的研究中。在1991年，Sarkar等采用了聲波理論來描述弱可壓縮各向同性湍流速度場的脹壓部分[26]。在1997年，Ristorcelli使用了偽聲理論來研究弱可壓縮各向同性湍流速度場的脹壓部分[27]。當湍流馬赫數比較高的時候，湍流場中的旋渦運動會誘導產生小尺度激波，也稱為小激波(shocklet)。在1991年，Lee等首次通過數值模擬研究了可壓縮各向同性湍流中的小激波結構，發現在小激波前后的物理量變化近似滿足激波跳躍關系式[28]。Samtaney等在2001年采用小激波識別方法研究了可壓縮各向同性湍流場中的小激波的統計規律[29]。Jagannathan和Donzis在2016年，通過亥姆霍茲分解研究了可壓縮性對各向同性湍流場的影響，并指出當湍流馬赫數高于臨界值0.3時，脹壓部分會對整個流場有較明顯的影響[30]。

李新亮、傅德薰和馬延文在2002年，通過數值模擬研究了可壓縮各向同性衰減湍流，并指出湍流間歇性是可壓縮湍流中出現小激波的重要原因[31]。他們分析了可壓縮各向同性湍流輻射聲波的性質，并和Lilley模型、Poudman模型做了比較[32]。李虎和張樹海在2012年，通過數值模擬研究了可壓縮各向同性衰減湍流，發現可壓縮性會加快從大尺度脈動到小尺度脈動的湍動能輸運[33]。何國威課題組在2013年研究了可壓縮各向同性湍流的速度場的時間關聯性質[34]。他們對速度的脹壓部分發展了新的時間關聯模型，并通過直接數值模擬作了驗證。

陳十一研究團隊在2010年到2015年期間，發展了緊致差分和WENO格式相結合的混合方法，并對可壓縮均勻各向同性湍流開展了一系列的研究，包括：小激波和可壓縮性對速度梯度和流場小尺度脈動的影響、速度散度的概率分布以及和一維Burgers湍流的比較、能量級串過程、可壓縮湍流中的粒子運動規律等[35-43]。這部分研究內容主要在2015年的一篇文章中作了總結[43]。

本文主要介紹陳十一研究團隊自2017年以來在可壓縮湍流的流動機理方面的研究進展，包括：可壓縮湍流的多過程分解、各類可壓縮條件下的速度和熱力學量的譜的標度律、動能和熱力學量的多尺度傳輸、大尺度剪切流的作用、高溫非平衡效應、化學反應的影響等[44-56]。

1 基本方程和流動參數

經過無量綱化后的描述理想氣體的可壓縮流體力學基本方程組如下[1,35,47]:

其中，ρ、ui、p、T分別表示密度、速度、壓力、溫度。黏性應力張量σij定義為：

其中，速度散度θ=?uj/?xj。Fi表示加在動量上的大尺度驅動力，Λ表示大尺度冷卻函數[35,47]。單位體積的總能量定義為：

采用緊致差分與WENO格式相結合的混合格式，在一個立方體內采用周期性邊界條件開展三維可壓縮各向同性湍流的數值模擬[35]。通過固定前兩個波數上的能譜，對速度場加入了大尺度的驅動力[35,47]，又采用了空間均勻分布的冷卻函數，使平均內能達到統計定常[35,47]。

湍流的泰勒雷諾數Reλ定義為[35,47]：

湍流馬赫數Mt定義為[35,47]：

湍流馬赫數表示湍流脈動速度相對平均聲速的大小。一般情況下，湍流馬赫數越大，湍流場的可壓縮性越強。另外，湍流場的可壓縮性還依賴于剪切部分的動能與脹壓部分的動能之比。

2 多過程分解和物理量的譜

2.1 可壓縮湍流的多過程分解

在這一節中，介紹可壓縮湍流的多過程分解方法。目前，該方法已被系統地應用于可壓縮各向同性湍流和均勻剪切湍流的研究。我們將在后續的工作中用該方法研究更復雜的可壓縮湍流。

我們采用亥姆霍茲分解，將速度場分解為剪切部分us和脹壓部分ud。其中，?·us=0，?×ud=0。速度場的剪切部分代表了湍流的剪切過程，和旋渦結構相對應。速度場的脹壓部分代表了湍流的脹壓過程，對應于聲波、膨脹波、激波等可壓縮流動結構。

我們將密度、壓力和溫度分解為平均值和脈動值，即[44]：ρ=ρ0+ρ′，p=p0+p′，T=T0+T′ 。

可以進一步對速度場和壓力場的脹壓部分作分解：ud=uds+udd,pd=pds+pdd。其中，速度場和壓力場的偽聲模態滿足：

偽聲速度場的譜滿足：

采用Kavasznay分解將密度、壓力和溫度的脈動值進一步分解為聲模態(等熵模態)和熵模態。聲模態的計算公式如下[49]：

熵模態的計算公式如下：

pE=0，ρE=ρ-ρ0-ρI，TE=T-T0-TI

(17)

其中，壓力的脈動部分都屬于聲模態，沒有熵模態。

2.2 可壓縮湍流的物理量的譜

我們在表1中列出了不同情況下速度的脹壓部分ud、壓力p、密度ρ和溫度T的譜在慣性區上的標度指數。速度和熱力學量的脹壓過程、聲模態、熵模態等在不同可壓縮條件下表現出了不同的統計特點?？蓧嚎s湍流的速度及其剪切部分的譜具有-5/3標度律[44-50]。

表1 速度和熱力學量的譜的標度指數

不同情況下的物理量的譜的標度律如下：

1) 大尺度剪切力驅動下的弱可壓縮湍流[44]。速度的脹壓部分由偽聲模態占主導，相應的譜具有-3標度律(見圖1)。壓力由剪切部分占主導，壓力譜具有-7/3標度律。溫度和密度的譜也具有-7/3標度律。

圖1 剪切力驅動的弱可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

2) 大尺度剪切力驅動下的強可壓縮湍流[44-47,50]。速度的脹壓部分由聲模態占主導，相應的譜具有-5/3標度律(見圖2)。溫度、密度和壓力都由聲模態占主導，在慣性區上近似滿足等熵關系式。溫度、密度和壓力的譜都具有-5/3標度律。

圖2 剪切力驅動的強可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

3) 大尺度剪切力和脹壓力同時驅動下的可壓縮湍流[48]。流場出現了大激波結構。速度的脹壓部分的譜具有-2標度律(見圖3)。溫度、密度和壓力的譜也都具有-2標度律。

圖3 剪切力和脹壓力同時驅動的可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

4) 大尺度剪切力驅動下的有熱源的可壓縮湍流[49]。速度的脹壓部分和壓力都由聲模態占主導。溫度和密度由熵模態占主導。速度的脹壓部分的譜具有-5/3標度律(見圖4)。溫度、密度和壓力的譜也都具有-5/3標度律。

圖4 剪切力驅動、有熱源的可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

3 動能和熱力學量的多尺度傳輸

3.1 動能的多尺度傳輸

在這一節中，我們采用濾波方法分析可壓縮各向同性湍流的動能的多尺度傳輸[47,50]。

對密度加權的速度場做亥姆霍茲分解：

亥姆霍茲分解后的濾波動能方程如下[47,50]：

壓力做功、亞格子動能流量、黏性耗散等各個項在動能的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖5所示。在慣性區，亞格子流量在動能的多尺度傳輸過程中起主導作用。壓力做功會引起動能和內能在局部區域內的相互轉化，但經過平均后對動能傳輸的作用比較小。黏性耗散主要集中在小尺度上，將動能以不可逆的形式轉化為內能[47]。

(a)

動能脹壓部分的多尺度傳輸規律如圖6所示。在慣性區，動能的脹壓部分通過非線性對流從剪切部分中得到能量，然后通過亞格子流量往小尺度傳輸，在小尺度上通過黏性耗散轉化為內能[47]。

(a) Ma=0.8

3.2 熱力學量的多尺度傳輸

在這一節中，我們采用濾波方法分析可壓縮各向同性湍流的熱力學量的多尺度傳輸[49]。

溫度可以分解為平均溫度T0和脈動溫度T1兩部分：T=T0+T1，其中，T0=〈T〉。濾波后溫度的均方根的方程如下[49]：

類似地，濾波后熵的均方根的方程如下[49]：

亞格子流量、脹壓項、熱擴散和黏性耗散等各個項在溫度的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖7所示。在慣性區，亞格子流量在溫度脈動的多尺度傳輸過程中起主導作用，脹壓、熱擴散和黏性耗散的作用可忽略。溫度的脈動在慣性區上存在從大尺度向小尺度的級串現象[49]。

(a) Mt=0.2

亞格子流量、脹壓項、熱擴散和黏性耗散等各個項在熵的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖8所示。在慣性區，亞格子流量在熵的脈動的多尺度傳輸過程中起主導作用，其他項的作用可忽略[49]。

(a) Mt=0.2

4 統計定常的可壓縮均勻剪切湍流

均勻剪切湍流是最簡單的剪切湍流。利用雷諾分解，均勻剪切湍流的瞬時速度可以分解為平均速度U=(Sx2,0,0)和脈動速度ui，在數值模擬中只計算脈動速度，則控制方程(1-3)變為以下形式[52-53]：

因為以上方程中顯含x2，導致其在法向并不滿足周期邊界條件。通常采用被稱為“剪切邊界條件”的方法將其變換至動坐標系中進行求解[57]。均勻剪切湍流可以從平均速度獲得能量，仍需要在能量方程中加入冷卻項Λ使其達到統計定常[51]。

由于既具有空間均勻的統計特性，又有與其他復雜剪切湍流類似的湍動能生成的機制，均勻剪切湍流被認為是研究剪切湍流的重要模型。早期，對均勻剪切湍流的研究主要針對各向同性湍流受到均勻剪切后的初始階段，分析湍動能的時間演化、各向異性和流場結構等。Pumir[58]延長了不可壓縮均勻剪切湍流的數值模擬時間，大尺度流動結構受到計算域的約束，湍動能不再增長，最終得到了統計定常的流場。相比各向同性湍流，統計定常的均勻剪切湍流的明顯特征是具有很強的脈動，這是由于在均勻剪切湍流中存在類似邊界層湍流中的猝發過程，而在統計定常的情況下該猝發過程的尺度達到了計算域尺度。統計定常均勻剪切湍流的很多統計特征和擬序結構都與壁湍流的對數區非常相似[58-60]。目前對統計定常的均勻剪切湍流的研究主要針對不可壓流動，對于可壓縮的統計定常均勻剪切湍流的研究屈指可數[51-54]。運用Helmholtz分解，可將速度場分解為剪切部分和脹壓部分，進而研究剪切過程和脹壓過程以及兩者的相互作用?？蓧嚎s的統計定常均勻剪切湍流中, 剪切湍動能和脹壓湍動能均存在很強的脈動[51]。

4.1 馬赫標度率和能譜

(a) 無量綱的可壓縮湍動能

(a) 壓力

4.2 可壓縮性對小尺度結構的影響

湍流小尺度結構一般用速度梯度張量來描述，它的動力學特性對理解能量級串、間歇性、標量的輸運等各種湍流現象非常關鍵。可壓縮性的影響主要體現在速度場的脹壓分量，對速度場剪切部分的影響很微弱[55]。湍流馬赫數較小時，變形速度張量Sij的概率最大的三個特征值之比約為-4∶1∶3，這與不可壓縮湍流類似。隨著馬赫數增大，該比值逐漸趨于-1∶0∶0，表明激波結構的出現。相同的馬赫數下，均勻剪切湍流的可壓縮性強于各向同性湍流，小尺度結構對馬赫數更加敏感[52]。速度散度θ/θ′的大小描述流場的局部壓縮程度。在Mt≈0.6時，均勻剪切湍流的不同壓縮程度的區域中，變形速度張量三個特征值的概率分布和條件概率密度分布如圖11所示，可見在θ/θ′≤-2的強壓縮區間，大部分特征值的比值都很接近-1∶0∶0，這與各向同性湍流在Mt≈1.0時的結果類似[37]。在流體的體積黏性較大時，強壓縮和強膨脹區間各特征值的概率密度會明顯減小[54]。

圖11 變形速度張量Sij三個特征值βk(k=1,2,3)的概率分布和條件概率密度分布[52]

在強壓縮區間，均勻剪切湍流和各向同性湍流的(R*,Q*)的聯合概率密度分布具有明顯的相似性，如圖12所示[53]，并且在均勻剪切湍流中壓縮性對(R*,Q*)的聯合概率密度的影響更加明顯。

圖12 變形速度張量度第二、第三不變量的聯合概率密度分布函數對數lgPDF(R*,Q*)的等值線.紅線表示各向同性湍流的結果，黑線表示均勻剪切湍流的結果

5 振動非平衡可壓縮各向同性湍流

高溫氣體流動是指在高速高溫等極端條件下，氣體微團具有分子內部自由度激發，原子、分子間不斷發生離解、電離和復合等化學反應，乃至出現輻射和電磁效應等物理化學過程的復雜氣體介質流動[63-65]。高溫氣體流動在自然界和航空航天等工業領域都極為常見。最典型的例子是通過激波的高超聲速流動，高速流體大部分動能被轉化為內能并導致流體微團壓強和溫度急劇增大。當流體微團的壓強和溫度突然增大時，原本處于平衡狀態的振動模式與化學性質將發生變化，并通過分子間碰撞實現新的平衡，因此需要一個特征時間(弛豫時間)來完成。在經歷足夠長的時間和足夠多的碰撞使流體微團達到新的平衡狀態后，流體微團已經運動到激波下游一定遠距離的位置。因此，在激波后會有一個尚未達到平衡狀態的區域——非平衡區。如圖13所示，振動能級被激發后，氣體分子的內能添加了振動模式。與平動和轉動模式非平衡的弛豫時間相比，振動模式非平衡的弛豫時間要長得多(振動弛豫時間約高出平動與轉動弛豫時間4個數量級)。因此，在研究振動能級被激發的可壓縮湍流時，通常假設內能的平動和轉動模式處于平衡態，而振動模式處于非平衡態，并分別用平動-轉動溫度(Ttr)和振動溫度(Tv)表征(即雙溫模型[63])。在激波后很大范圍內，平動-轉動溫度與振動溫度存在明顯滯后現象[66]。

當前大部分可壓縮各向同性湍流的研究沒有考慮振動能級被激發的情況[29-30,37,39,44,50]，關于振動非平衡和湍流脈動相互作用的研究很少。Donzis和Maqui[67]通過直接數值模擬方法研究了統計穩態的振動能級被激發的可壓縮各向同性湍流，揭示了由于振動非平衡和有限的弛豫時間，內能的平動-轉動模式和振動模式之間存在強烈的能量傳遞。Khurshid和Donzis[68]進一步研究了自由衰減的振動能級被激發的可壓縮各向同性湍流中湍流脈動和振動非平衡的相互作用。研究發現湍流脈動和振動非平衡相互作用的強度取決于振動非平衡的初始程度和弛豫時間的大小。本課題組也開展了振動非平衡的可壓縮各向同性湍流統計特性的研究，探討了湍流馬赫數、振動弛豫時間和特征溫度、壓縮性對振動弛豫率和振動能脈動的影響[56]。本節主要介紹振動非平衡可壓縮湍流的一些基本概念和控制方程，以及大湍流馬赫數(Mt=1.09)下的部分研究結果。

5.1 基本控制方程

圖13展示的是振動能級被激發的雙原子分子氣體內能模式與熱非平衡態概念示意圖。常溫下內能主要包括平動模式和轉動模式，在這種情況下比熱比等于1.4。當氣體振動能級被激發后，內能則添加了振動模式，并根據振動弛豫時間與特征流動時間尺度的關系可分為振動平衡態和振動非平衡態。振動非平衡態氣體內能的無量綱形式可表示為：

圖13 振動能級被激發的雙原子分子氣體內能模式與熱非平衡態概念示意圖。振動能級被激發情況下，根據振動弛豫時間與特征流動時間尺度的比值，可劃分為振動平衡態和振動非平衡態,在振動非平衡態下，比熱比是溫度的函數(≠ 1.4)。

在這種情況下，氣體比熱比是溫度的函數，而不再為常數。其中θv為氣體的無量綱振動特征溫度。

振動非平衡態下湍流的總能量和振動能的控制方程以及氣體狀態方程如下所示：

p=ρTtr/(γrM2)

(29)

τv是無量綱的振動弛豫時間，它是局部溫度和壓力的函數，通常可由如下的關系式獲得：

τv=(C/p)exp(K2/Ttr)1/3

(32)

其中，C和K2是無量綱常數，依賴于氣體分子的物理性質。通?？晒潭↘2的數值并修改C的取值得到不同的振動弛豫時間[56,67-68]。受限于篇幅，更詳細的參數含義和表達式，比如平動-轉動溫度和振動溫度的熱傳導系數(κtr和κv)，請參考文獻[56]。

5.2 振動弛豫時間對物理量梯度方向的影響

通常情況下,在可壓縮各向同性湍流流動中密度梯度與速度散度的等值面是重合的，且常用于刻畫微型激波的結構。流動中的壓縮和膨脹運動對流體微團做功，尤其是激波的強壓縮作用，使得可壓縮湍流中物理量的變化與氣體的壓縮性緊密相關，并體現為物理量的梯度和速度散度的等值面重合。圖14展示了歸一化的密度梯度、平動-轉動溫度梯度和轉動溫度梯度的等值面。在振動非平衡可壓縮湍流流動中，壓縮和膨脹運動對流體微團做功直接改變的是平動-轉動溫度，之后通過內能中平動-轉動模式和振動模式的弛豫現象，進而改變振動溫度。如圖14所示，在歸一化弛豫時間〈τv〉/τη≈30.73時，密度梯度和平動-轉動溫度梯度的等值面基本重合；而由于有限的弛豫時間，密度梯度與振動溫度梯度的等值面則完全不重合。

(a) 歸一化的密度梯度

為了進一步量化密度梯度與振動溫度梯度夾角隨振動弛豫時間的變化，可通過計算振動溫度梯度和密度梯度夾角cosine函數值的概率密度分布函數。振動溫度梯度和密度梯度可分別表示為：

振動溫度梯度和密度梯度夾角的cosine函數值可表示為:

圖15展示的是振動溫度梯度和密度梯度夾角cosine函數值的概率密度分布函數隨歸一化振動弛豫時間的變化規律。顯然，在歸一化弛豫時間〈τv〉/τη≈0.29時，振動溫度梯度和密度梯度方向近乎重合；隨著弛豫時間的增大，振動溫度梯度和密度梯度方向逐漸偏離。當〈τv〉/τη≈30.73時，PDF曲線近乎水平，意味著振動溫度梯度和密度梯度方向已完全偏離。

圖15 振動溫度和密度梯度間夾角cosine函數值的概率分布函數

5.3 振動弛豫時間對弛豫率的影響

隨著弛豫時間的增大，振動弛豫率的數值逐漸變小，甚至當弛豫時間足夠大時，比如〈τv〉/τη≥13.16，在強膨脹區域甚至出現了反向的能量轉化(圖16a)。這是因為如5.2小節所述，當弛豫時間較大時，振動溫度梯度和平動-轉動溫度梯度不再重合，流動的壓縮運動無法保證平動-轉動溫度在平均的角度上大于轉動溫度；同理，也無法保證在膨脹區域的反向溫度差。因此，可以認為弛豫效應弱化了壓縮性對振動弛豫率統計特性的影響。圖16(b)則是展示了振動特征溫度對歸一化弛豫率的影響。不同的振動特征溫度對應的曲線相互重疊，即振動特征溫度對歸一化弛豫率的影響幾乎可以忽略。

6 可壓縮化學反應湍流

化學反應湍流存在于多種實際流動中，涉及能源、環境、化工、航空航天等領域[70-72]。湍流-化學反應的時間和空間多尺度相互作用對湍流的動力學性質以及能量傳遞有重要影響[73-75]?；瘜W反應湍流的時空多尺度特性以及化學反應與流動的耦合作用對機理研究提出了挑戰。目前，采用直接數值模擬手段針對不可壓和弱可壓縮湍流-化學反應相互作用的研究已有大量的成果[72-85]。本課題組的研究進一步考慮湍流的可壓縮性，探索強可壓縮湍流與化學反應的相互作用。

6.1 控制方程

可壓縮化學反應均勻各向同性湍流無量綱守恒形式的Navier-Stokes方程組[35, 76-77]如下所示：

s=1,…,ns-1

(38)

其中，ρ為混合氣體密度，ui為速度分量，p為混合氣體壓力，T為溫度，黏性應力σij根據下式計算得到：

為了探索化學反應的能量釋放對可壓縮湍流的影響，我們選用了單步不可逆簡單化學反應來獲得化學反應過程中組分的變化以及能量的釋放?；瘜W反應方程[76-77]如下所示：

A+B→2P

(42)

反應物和產物的質量變化以及總的能量釋放可以通過下式[76-77]計算得到：

(43)

式中Da為Damk?hler數，Ze為Zeldovich數，這兩個參數共同控制反應物和產物的組分變化，Ce為放熱系數，與產物的組分變化率共同控制反應吸/放熱速率。

6.2 流場結構

化學反應對可壓縮均勻各向同性湍流不同尺度的流場結構均有影響。尤其對于放熱反應而言，化學反應釋放的能量首先通過壓力膨脹做功傳遞給動能的脹壓部分，進一步，通過對流運動將能量由動能的脹壓部分傳遞給剪切部分[73]。在能量的傳遞過程中，脹壓運動將導致流場的膨脹和壓縮都急劇的增大[75, 78]，流場結構隨之發生改變。

如圖17所示，在低湍流馬赫數Mt=0.2狀態下，等溫反應(Da=2，圖17(a))中，速度散度云圖呈現大范圍交替出現的壓縮和膨脹區域。在放熱反應中(Da=200，圖17(b))，流場中出現藍色條紋狀結構。這些條紋狀結構對應流場的強壓縮區域，為小激波結構。這意味著在弱可壓縮湍流中，化學反應放熱可以導致小激波這種強壓縮結構的出現。

(a) 等溫反應(Da=2,Ze=0,Ce=0)

6.3 能譜與標度律

化學反應對可壓縮湍流中速度以及熱力學量的能譜有重要影響。我們發現，對于放熱反應而言，在能量的傳遞過程中，速度、密度、溫度和壓力的能譜在所有尺度均有不同程度的增加，并且，在放熱反應中，弱可壓縮和強可壓縮湍流的主導模態均為聲學模態[55]。

圖18所示為放熱反應中(Da=200),密度歸一化能譜隨無量綱化學反應時間t/τ的變化，其中τ為大渦翻轉時間，t/τ=0對應化學反應的起始時刻?？梢钥吹?，在化學反應的初期(0

(a) Mt=0.2

流場壓力膨脹做功在可壓縮化學反應湍流的能量傳輸中具有重要作用，因此，進一步分析在放熱反應中(Da=200)的速度的脹壓分量能譜(圖19)可以得到，速度脹壓分量的能譜在放熱化學反應中同樣呈現在所有尺度范圍的增加，但與熱力學量能譜的階躍式增加不同，速度脹壓分量能譜呈漸進式增加，在t/τ>20達到統計穩定狀態。

(a) Mt=0.2

密度和速度脹壓分量的歸一化能譜在化學反應過程中的增加形式進一步說明化學反應使熱力學量的能譜能在極短的時間內發生改變，而速度脹壓分量能譜的增加依賴于能量傳遞過程。同時可以發現，弱可壓縮湍流中能譜的變化受反應放熱的影響大于強可壓縮湍流，弱可壓縮湍流中能譜的增加更明顯。

7 結 論

可壓縮湍流包含了豐富的流動結構和物理現象，既有旋渦運動，又包含了膨脹和壓縮運動，而且動力學過程和熱力學過程相互耦合。我們采用亥姆霍茲分解方法，將可壓縮湍流的速度和壓力分解為剪切過程和脹壓過程，并將脹壓過程分解為偽聲模態和聲模態。我們采用了Kavasznay分解方法，將熱力學量的脈動分解為聲模態和熵模態。

我們通過研究可壓縮湍流的不同物理過程和流動模態的多尺度性質及其相互作用，得到了各類可壓縮條件對湍流的速度和熱力學量的譜、動能的多尺度傳輸等物理規律的影響。在弱可壓縮湍流中，當偽聲模態占主導時，可壓縮部分的速度譜在慣性區上具有-3標度律，壓力、密度和溫度的譜具有-7/3標度律。對于中等可壓縮湍流，當聲模態占主導時，可壓縮部分的速度譜以及熱力學量的譜都具有-5/3標度律。對于強可壓縮湍流，當大激波結構占主導時，可壓縮部分的速度譜以及熱力學量的譜都具有-2標度律。隨著可壓縮性的增強，有更多的動能從速度場的剪切部分傳遞到脹壓部分。然后這些脹壓部分的動能通過亞格子流量往小尺度傳輸，在小尺度上通過黏性耗散轉化為內能。

我們進一步討論了大尺度剪切運動、體積黏性系數、高溫非平衡效應、化學反應對可壓縮湍流的多尺度性質的影響。在相同湍流馬赫數情況下，大尺度的剪切運動會增強湍流的可壓縮性。體積黏性會抑制湍流的可壓縮性，使得脹壓部分更容易被偽聲模態占主導。在振動非平衡可壓縮湍流中，當弛豫時間較大時，密度梯度與振動溫度梯度的等值面完全不重合。弛豫效應弱化了可壓縮性對振動弛豫率統計特性的影響。在弱可壓縮湍流中，化學反應放熱可以極大地增強流動的可壓縮性，使得流場出現小激波。在放熱反應中，湍流馬赫數對動能和動能耗散的影響減弱。

通過這些研究，我們系統地建立和完善了充分發展的可壓縮湍流的基本理論，為進一步研究更復雜條件下的可壓縮湍流的流動機理以及發展高精度的可壓縮湍流大渦模擬方法奠定了堅實的基礎。

致謝:本研究工作得到南方科技大學科學與工程計算中心的支持。