α- T3 晶格各向異性磁輸運性質的研究

杜玉玲 楊榮森＊

（1、畢節市工業和信息化局，貴州 畢節551700 2、電子科技大學，四川 成都610054）

石墨烯因其高電導率、高遷移率等出色的導電性能，以及反常量子霍爾效應[1,2]、Klein 隧穿[3-5]而備受關注。石墨烯的出現使得二維材料成為廣大學者研究的熱點，在SrTiO3/SrIrO3/SrTiO3晶格的(111)方向生長三層結構[6]以及在冷原子限制下的光學晶格中[7]，研究發現了T3晶格，這種晶格的低能行為和石墨烯中的哈密頓量完全一致[8]。α-T3晶格最早出現在光晶格中，同時Hg1-xCdxTe 在二維極限和臨界摻雜下，也能滿足α-T3晶格模型[9]，作為一種介于石墨烯蜂巢晶格和T3dice 晶格的二維材料，參數α主要用來描述中央格點與蜂巢格點的耦合強度[10]。在α-T3晶格的大量研究中，已經發現Klein 隧穿效應[11,12]、Floquet 拓撲相變[13]、Hofstadter 蝴蝶效應[14]等物理性質。本文推導出α-T3晶格中粒子的透射概率表達式，并采用Mathematica 軟件仿真，研究磁勢壘下α-T3晶格的電子輸運性質。

1 α-T3 晶格模型

α-T3晶格模型最初是針對冷原子系統提出的，是一種新型的二維材料。在α 取0 和1 的極限下，α-T3晶格分別對應于蜂巢晶格和T3晶格。如圖1 所示，α-T3晶格的每個細胞包括三個格點，子格A 與子格B 耦合，躍遷振幅為t，子格C 只與子格B耦合，躍遷振幅為αt。

圖1 α-T3 晶格模型

2 理論研究

假設α-T3晶格中的粒子從y-z 平面入射，粒子的入射角φ滿足α=tanφ[11]，在寬度為L 區域II 上施加與x 軸方向呈角度θ的變化磁場M，磁化矢量在x-z 平面上，則α-T3晶格中低能電子的哈密頓量可以表示為[15]

式（1）中，Hkin代表動能[10]，S(α)是α-T3晶格的矩陣，M(x)為施加的磁場，△是磁場強度大小，根據α-T3模型的邊界條件[12]計算出各區域波函數。

在區域Ⅰ(x＜0)，有入射波和反射波：

式（3）中，φ 是相位角，φ 是入射角，νF表示費米速度，r 是反射波的振幅，kF=E/νF是電子的三維波矢，無勢壘區域波矢kx=kFcosφ。

在區域Ⅱ(0≤x≤L)，α-T3晶格處于磁場作用區域（磁場強度△=1），波函數如下：

式（4）中，波函數主要由傳播相反方向的兩個波構成，振幅分別為a 和b，其中k0=△/νF，ky=kFsinφ。

在區域Ⅲ(x＞L)，有透射波：

式（6）中，t 代表振幅。

通過x=0 和x=L 處的邊界條件[12]，求得振幅參數a, b, r, t。最后，通過T=|t|2得到透射概率。

由式（7）可知，透射概率主要取決于磁化強度的z 分量，與x分量無關。當圖2 中區域Ⅱ存在駐波時，入射波的透射概率T=1，滿足k'xL=nπ（n 為正整數）的關系，與文獻[12]結論相同。

圖2 磁場M 作用下的α-T3 晶格

對于α=0 的情況，蜂巢晶格的透射概率為

對于α=1 的情況，T3晶格的透射概率為

由式（12）和式（13）可知，在旋轉角θ=nπ（n 取整數）的情況下，透射概率滿足T(θ=nπ)=1，這種全透射現象表明了在沒有贗自旋守恒下，石墨烯蜂巢晶格和T3dice 晶格發生后向散射。

根據Landauer-Büttiker 公式，發生隧穿的電荷電導可以表示為[11]

式（14）中G0=4e2kW/πh（W 是樣品寬度，e 是電子電量的絕對值，k 表示波矢）

3 結果與討論

圖3 為透射率T 等高線圖，其中，圖3（a）中α=0，圖3（b）中α=0.3，圖3（c）中α=0.5，圖3（d）中α=1, 參數kFL=5。當θ=nπ時，T(θ，φ)=1，α-T3晶格中的入射電子能夠完全隧穿，沒有反射電子，這與式（7）中T(θ=nπ)=1 結論一致。當磁場方向和x 方向平行時（即θ=nπ），對于所有的參數α (α=tanφ)，粒子的入射角度φ 不會對其透射造成影響。值得注意的是，當α 越大，粒子的透射區域也越大。如圖3（a）和圖3（d）所示，在石墨烯（α=0）和T3晶格（α=1）中，投射系數滿足關系式T(θ)=T(θ+π)。當φ 的值確定，當θ∈(0,π/2]時，透射概率隨著θ 的增大而減小；當θ∈(π/2,π)時，透射概率隨著θ 的增大而增大；同時，在參數α=0.3 和α=0.5 情況下，θ∈[0,π]對應的透射區域小于θ∈[π,2π]對應的透射區域，這是因為透射率的解析式中不含磁場的x 分量，透射率僅由磁場的z 分量決定。

圖3 透射率（T 作為θ，φ 的函數）等高線圖

圖4 為電導與旋轉角θ 關系圖，其中，圖4（a）中α=0，圖4（b）中α=0.3，圖4（c）中α=0.5，圖4（d）中α=1, 其中設置參數kFL=5。在旋轉角θ=nπ（n 為整數）時，勢壘“消失”，電導強度最大，電子發生全透射；而當旋轉角θ=(n+1/2)π 時，電導率達到極小值。當入射能量E=0.5 時，存在兩個臨界旋轉角θcrit使得電導為0，各向異性磁阻效應消失，這定義了電導為0 的電導間隙，這種現象使得α-T3晶格有望成為一個開關器件。值得關注的是，如圖4（a）和圖4（d）所示，當α=0 和α=1 時，G(θ)是周期為π 的周期函數，滿足G(θ)=G(θ+nπ)，結論與文獻[15]一致。

圖4 電導與旋轉角θ 的關系圖

圖5 為電導G 的等高線圖，圖5（a）中α=0，圖5（b）中α=0.3，圖5（c）中α=0.5，圖5（d）中α=1, 設置勢壘寬度參數L=5。在θ=nπ（n為整數）時，電導最大，這與圖3 中無反射電子、發生完全隧穿的結論一致，電導與入射能量E 無關。在能量E 取定值的條件下，當θ∈(0,π/2]時，電導隨著旋轉角的增大而減弱；當θ∈(π/2,π) 時，電導隨著旋轉角的增大而增強；在旋轉角θ 取定值的條件下，電導隨著入射能量增大而增強。值得關注的是，在θ∈(π,2π)時，圖5（b）和5（c）中，當能量取較小值時，電導不為0 甚至很大，這仍需進一步研究。

圖5 電導G（電導作為E 和θ 的函數）等高線圖

圖6 為電導與入射能量的變化關系圖，其中，圖6（a）中α=0，圖6（b）中α=0.5，圖6（c）中α=1，設置勢壘寬度參數L=5。當磁場方向和x 方向一致時，電導不會受到入射能量的影響，電子可以全部透射過去；而當磁場方向和x 方向垂直時，電導會受到入射能量的影響。由圖6 可知，存在臨界能量Ecrit，Ecrit隨α 增大而減小。如圖6（a）和6（c）所示，當E＜Ecrit時，電導為0，電子發生全反射；當E＞Ecrit時，電導隨著入射能量E 的增大而增強。如圖6（b）所示，對于α=0.5 的α-T3晶格，當θ=π/2，存在臨界能量Ecrit使得電導為0，電子在小于這個入射能量時發生了全反射；當E＞Ecrit時，電導隨著入射能量E 的增大而增強；當θ=3π/2 時，在入射能量很小時，存在電導波動峰值，出現振蕩現象。

圖6 電導與入射能量的變化關系圖

4 結論

本文采用緊束縛模型，研究了α-T3晶格在施加變化磁場條件下的輸運性質。研究發現，當磁場方向與x 方向平行時，α-T3晶格的電子能夠完全穿過勢壘，電導不會受到入射能量的影響。對于石墨烯(α=0)和T3晶格(α=1)兩種極限情況，電導具有π的周期性，即G(θ+π)=G(θ)。對于耦合參數α 的中間值（0＜α＜1），電導不具有周期性。各向異性磁阻效應的產生依賴于入射電子能量，入射電子在一定能量范圍內，入射粒子出現全反射，此時電導為0，各向異性磁阻效應消失。