基于自適應濾波算法的牽引網諧波電流檢測

白群,趙聞蕾

(大連交通大學 電氣信息工程學院，遼寧 大連 116028)*

在電氣化鐵道諧波補償整體流程中，補償電流(即諧波電流)檢測環節直接影響后續環節補償效果.為了達到牽引網供電系統檢測諧波速度快、精準度高的要求，選擇了閉環連續調節的自適應檢測系統.自適應檢測系統通過閉環完成迭代更新，具有較好的抗噪性與魯棒性，即使牽引供電系統電流電壓產生突變后仍能正常完成檢測[1-2].由于該檢測系統結構簡單，計算量小，具有較好的實時性和跟蹤性，現已被廣泛應用于系統辯識和噪聲對消等領域中.

自適應濾波器最早采用由威德羅(Widrow)和霍夫(Hoff)共同提出的最小均方算法(Least Mean Square，LMS)，因該算法方便計算而廣泛應用到工程實際中.因其固定步長的算法無法同時滿足收斂速度和穩態精度的要求，文獻[3]在最小均方算法固定步長的基礎上提出了一種變步長LMS算法其中步長的幅值改變基于sigmoid函數；文獻[4]基于文獻[3]的變步長函數提出了類sigmoid算法，降低了步長函數計算的復雜度；文獻[5]提出了基于箕舌線函數的變步長算法，此函數特點在于沒有指數運算環節，但穩態精度與文獻[4]相差無幾；文獻[6-7]分別采用了雙曲正割與雙曲正切函數，各自引入了參數?和h來改善該函數形狀特性，使函數底部變化平緩，具有更小的穩態步長.以上文獻或是在保持較大步長的前提下降低了算法計算復雜度，但忽略了穩態穩定性；或是具有較高的穩態精度而沒有考慮收斂速度.

根據上述文獻中學者對變步長LMS算法的研究，本文提出了結合雙曲正割函數與雙曲正切函數的變換步長的檢測算法，對上述文獻算法與本算法進行仿真，并分析各種方法的電流檢測效果.

1 自適應濾波電流檢測的原理

自適應濾波的原理是基于威德羅提出的自適應噪聲對消技術(Adaptive Noise Canceling Techn-ology, ANCT)，其原理框圖如圖1所示.

圖1 自適應濾波的原理框圖

濾波系統包括兩個輸入信道：原始信號和參考信號.其中，原始信號包括源信號s和噪聲信號n0，s和n0不相關，參考信號n1與n0相關.n1通過自適應濾波器算法處理后，得到與n0相近的噪聲信號y，通過減法器相減抵消原始信號中的n0，得到消除了噪聲信號的源信號.同時將減法器輸出的誤差信號e實時反饋給自適應濾波器，不斷更新濾波器輸出值，使其更接近n0，達到最佳的噪聲對消效果.

在牽引供電系統中，假設牽引負載的非正弦周期性電流為：

=i1(t)+ih(t)

(1)

式中，i1(t)為基波電流，ih(t)為諧波電流，θ為電流相位，k為諧波次數.

以采樣周期Ts對負載電流iL(t)離散化采樣，上式可改寫成：

(2)

式中，n為采樣時刻，iL(t)為負載電流抽樣值，i1p(n)和i1q(n)分別為基波有功和基波無功分量，ih(t)為諧波電流總和.

牽引網電壓經鎖相環分離后輸出的標準正余弦信號x1(n)、x2(n)作為參考輸入信號，用矢量表示為x(n)=[x1(n),x2(n)]T.

基于ANCT原理，將基波電流信號i1(n)作為噪聲信號，以x1(n)、x2(n)為參考輸入的信號經自適應濾波器后輸出信號y(n)，通過調整與x(n)對應的權值向量w(n)=[w1(n),w2(n)]T，使迭代運算過程中的y(n)無限接近i1(n)，再令原始信號iL(n)與y(n)作差即可得到需要檢測的諧波電流ih(n)[9].

綜上所述，基于ANCT的諧波電流檢測算法為：

(3)

2 基于ANCT的算法分析

2.1 傳統算法

2.1.1 最陡下降算法

由自適應濾波器模型可知，其輸出信號為：

(4)

輸出誤差為：

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-wT(n)x(n)

(5)

誤差平方為：

e2(n)=d2(n)-2d(n)wT(n)x(n)

+wT(n)x(n)xT(n)w(n)

(6)

定義均方誤差為：

J(n)=E[e2(n)]

=E[d2(n)]-2wT(n)P+wTRw(n)

(7)

式中，P=E[d(n)x(n)]為原始信號和參考信號的互相關矩陣，R=E[x(n)xT(n)]為參考信號的自相關矩陣.

對均方誤差求梯度得：

(8)

令式(8)中梯度向量為0，即可求得式(7)的最小權值向量：

wmin(n)=R-1P

(9)

將式(9)帶入到式(7)中得到使其成立的最小均方誤差為：

J(n)min=E[d2(n)]-wminT(n)P

(10)

最陡下降算法是使權值沿著均方誤差最小的梯度方向運動的[10]，即：

w(n+1)=w(n)-μ?J(n)

(11)

式中，μ為自適應算法的迭代步長.

2.1.2 最小均方算法

由于獲得最陡下降法中參考輸入信號的自相關矩陣R和期望信號的互相關矩陣P有很大難度，所以最陡下降算法在自適應濾波環節中不常使用.因此，威德羅和霍夫提出了LMS算法，該方法采用瞬時平方誤差e2(n)、R和P的瞬時估計值來估計梯度向量.

R和P的瞬時估計值為：

(12)

可得梯度向量的瞬時估計值為：

(13)

權值更新公式為：

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)

(14)

為使算法收斂，步長μ應滿足：

(15)

式中，λmax為參考輸入信號的自相關矩陣R的最大特征值，因實際中不容易得到，且λmax

(16)

2.2 變步長自適應諧波檢測算法

因為LMS算法具有原理簡單、參數少的特點，被應用在自適應濾波器中.但權值更新向量取自于仍受諧波污染的誤差e(n)，使系統的權值系數接近最佳權值時，誤差e(n)仍舊存在，權值將繼續波動，無法保持穩態.并且LMS算法中使用固定步長，如步長取值較小，則算法收斂速度慢；若選擇的步長能夠使系統有較快的收斂速度，會導致穩態失調誤差較大.因此，初始收斂速度和穩態精度無法在始終一致的步長情況下被滿足，多數實驗對步長進行折中選擇，無法使算法具有優越性.為此，已有學者提出多種變步長LMS算法，使LMS算法在諧波檢測中具有更強的適用性.

基于sigmoid函數的變步長公式為[3]：

(17)

式中，α控制μ(n)的形狀，決定函數曲線的變化率；β控制μ(n)的范圍，使μ(n)不會超過β/2.

在sigmoid函數算法的基礎上提出了新的類sigmoid算法，其步長計算公式為[4]：

μ(n)=β(1-exp(-α|e(n)|2))

(18)

該函數同樣可通過調節參數α、β來調整函數形狀及范圍.

基于箕舌線的變步長LMS自適應算法的步長更新公式為[5]：

(19)

雙曲正割函數改進步長表達式為[6]：

(20)

參數γ的作用與α類似，調節誤差接近于零時的函數形狀.

雙曲正切函數變步長公式為[7]：

(21)

引入參數h可改善函數形狀，使函數取值接近零時變化率較小.

通過設置上述五種函數的可變參數，使步長取值在近似范圍內，整合的函數曲線如圖2所示.觀察圖2中函數形狀，sigmoid函數和雙曲正割函數在初始跟蹤階段的變化速率大，雙曲正割函數的收斂速度更快，且這兩個函數在e(n)≈0時都仍具有較大的步長，影響檢測系統的穩態精度.類sigmoid函數和箕舌線函數的初始收斂速度相對于sigmoid函數和雙曲正割函數略有下降有，在趨近于穩定狀態展現出類似的步長變化趨勢，函數底部變化更為平緩.雙曲正切函數整體變化速率較慢，如若進一步調整參數h可獲得更為平緩的穩態步長變化趨勢，滿足較高的穩態精度要求.

圖2 整合的五種函數曲線圖

2.3 改進的變步長LMS算法

通過現有學者對各類變步長函數的優劣分析，本實驗采取了將兩種特點不同的函數結合的改進變步長LMS濾波算法.利用雙曲正割函數初始跟蹤階段較快的收斂速度和雙曲正切函數較高的穩態精度相結合，利用某一特定誤差值作為判別條件進行變步長函數切換，切換過程原理如圖3所示.

圖3 變步長函數切換原理圖

通過設置一個特定的誤差值e0，作為兩種變步長函數切換的分界點.當供電系統發生突變時，檢測環節需快速應對系統電流變化，此時選擇跟蹤速度快、收斂實時性好的基于雙曲正割函數的LMS算法；當誤差的絕對值e(n)小于給定值e0時，切換為基于雙曲正切函數的LMS算法，該算法下穩態步長較小，不易發生震蕩，有利于系統保持原有的穩定狀態或達到新的穩態.基于雙曲正割和雙曲正切函數的定誤差切換過程如圖4所示.

圖4 變步長切換過程圖

3 仿真分析

實驗設置負載電流在0.2s發生突變，借此可直觀觀察到電流從穩態-突變-另一穩態的過程.圖5為過程中負載電流變化曲線，圖6～圖8分別為基于傳統LMS算法、基于雙曲正割函數的LMS算法和基于雙曲正切函數的LMS算法的基波檢測電流波形圖.

圖5 負載電流

圖6 基于傳統LMS算法的檢測電流

圖7 基于雙曲正割函數算法的檢測電流

圖8 基于雙曲正切函數算法的檢測電流

通過觀察上述三種不同算法下的檢測波形圖，可發現，相對于傳統LMS算法，基于雙曲正割函數的變步長算法的檢測實驗收斂速度比傳統LMS算法更快，但在變化產生的第一個電流周期后半段可見檢測電流比實際電流略大，檢測過程穩定度欠佳.而雙曲正切函數由于初始步長較小，收斂過程在突變后第四個周期才完成，收斂速度慢，但穩定性好.

結合了雙曲正割與雙曲正切函數的改進變步長算法檢測波形如圖9所示，從波形圖中可以看出在突變發生后第二個周期波形已經穩定，該方法應對突變的跟蹤速度和穩態精度均優于單獨的變步長算法，與前文的理論分析保持一致.

圖9 基于改進算法的檢測電流

4 結論

本文針對牽引供電系統中牽引負荷實時變化的特性，通過分析傳統固定步長和多種變步長LMS自適應濾波算法基礎上，結合兩種變步長函數，提出了一種改進的濾波算法，該算法結合雙曲正割和雙曲正切函數的優點，兼具快速跟蹤能力和穩態保持能力.通過實驗仿真分析，證實了該改進的算法收斂速度快，跟蹤性能好，在電氣化鐵路系統等時變系統具有良好的適用性.