一個數論函數方程的可解性

李昌吉

（阿壩師范學院藏漢雙語學院，四川汶川 623002）

1 引理

2 定理及其證明

定理1方程

的所有正整數解是n=17,31,32,37,65,69,77,91,93,94,95,99,104,111,112,115,117,118,122,124,135,142,144,146,148,152,178,184,188,216,195,231,238,260,273,280,285,286,306,308,310,312,315,318,336,350,360,364,366,370,372,380,396,418,434,438,444,450,456,460,468,470,504,540,558,594,714,770,780,840,858,910,924,930,990,1050,1092,1110,1140,1170,1254,1260,1302,1386,2310,2730,共86組。

1）若ω(n)≥4即k ≥4時，因為m 是正整數，則有m ≥27，易知ω(m)≥8。由引理1，

所以方程（2）無解，即方程（1）無解。

2）當ω(n)=3即k=3時，方程（2）化為φ(4m)=16，易知4m=17,32,34,40,48,60。因為m，t 是正整數，所以t=24,30,36,45。因為(-1)Ω(n)=±1，

經檢驗，不存在pi，ai(1 ≤i ≤3)滿足條件成立，所以此時方程（1）無解；

ii）若t=30,36 時，同理檢驗，不存在pi，ai(1 ≤i ≤3)滿足條件成立，所以此時方程（1）無解；

經檢驗，p1=2，p2=5，p3=23，a1=2，a2=a3=1與p1=2，p2=5，p3=47，a1=a2=a=1 滿足條件，所以此時方程（1）的解為n=460，470。

3）當ω(n)=2即k=2時，方程（2）化為φ(2m)=8，易知2m=15,16,20,24,30。因為m，t 是正整數，所以4m=24,30,36,45。因為(-1)Ω(n)=±1,

經檢驗，p1=2，p2=47，a1=a2=1滿足條件，所以此時方程（1）的解為n=94；

經檢驗，p1=2，p2=59，a1=a2=1滿足條件，所以此時方程（1）的解為n=118；

經檢驗，p1=2，p2=71，a1=a2=1滿足條件，所以此時方程（1）的解為n=142；

經檢驗，p1=5，p2=23，a1=a2=1 或p1=2，p2=89，a1=a2=1 或p1=2，p2=23，a1=3，a2=1或p1=2，p2=47，a1=2，a2=1 滿足條件，所以此時方程（1）的解為n=115,178,184,188。

4）當ω(n)=1即k=1時，方程（2）化為φ(m)=4，易知m=5,8,10,12。因為m，t 是正整數，所以t=15，24，30,36。因為(-1)Ω(n)=±1，

經檢驗，p1=17，a1=1 或p1=2，a1=5 滿足條件，所以此時方程（1）的解為n=17，32；

經檢驗，不存在p1，a1滿足條件成立，所以此時方程（1）無解；

iii）若t=30，36 時，同理經檢驗，不存在p1，a1滿足條件成立，所以此時方程（1）無解。

情況2

經檢驗，不存在pi，ai(1 ≤i ≤3)滿足條件成立，所以此時方程（1）無解。

3）當ω(n)=3即k=2時，方程（3）化為φ(2m)=16，易知2m=17,32,34,40,48,60。因為m 是正整數，t 是正奇數，所以t=51，即

經檢驗，p1=2，p2=53，a1=1，a2=1滿足條件，所以此時方程（1）的解為n=318。

4）當ω(n)=2即k=1時，方程（3）化為φ(m)=8，易知m=15,16,20,24,30。因為m是正整數，t是正奇數，所以t=45，即

經檢驗，p1=23，a1=1 滿足條件，所以此時方程（1）的解為n=69。

1）若ω(n)≥6 即k≥6 時，有m ≥60，易知此時φ(m)≥16。由引理1，

3 結論

研究了含有復合廣義Euler 函數的不定方程φ2(φ3(n))=2ω(n)，其中n 為正整數，結合廣義Euler 函數φ2(n)和φ3(n)的性質，利用初等方法進行分類討論，給出方程φ2(φ3(n))=2ω(n)的全部86組正整數解。