ESPCPs推力球軸承接觸問題有限元分析

盧立河，王世杰

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110870）

潛游螺桿泵轉(zhuǎn)子反饋的軸向載荷均由置于球鉸型自動(dòng)調(diào)心聯(lián)軸體[1]中的推力軸承承受，根據(jù)現(xiàn)階段數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)軸向力的總和為50～120 KN不等[2]，且隨著螺桿泵采油系統(tǒng)下潛深度等進(jìn)一步的增加，施加在推力軸承上的軸向力也將隨之增加[3]，因此軸承的疲勞壽命將面臨著高負(fù)載嚴(yán)峻考驗(yàn)，可見推力軸承的使用工況苛刻，導(dǎo)致現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)軸承的使用壽命短。

由于井下機(jī)組部分維護(hù)、維修困難，成本較高且系統(tǒng)零部件的壽命均具有“短板效應(yīng)”，一旦軸承發(fā)生失效，必然導(dǎo)致井下機(jī)組的使用壽命降低，系統(tǒng)整體使用壽命也將隨之降低，這將大大影響系統(tǒng)的推廣與使用，同時(shí)其他部件也因提前更換而導(dǎo)致成本的增加；從等壽命及可靠性原則的角度上考慮，軸承壽命是決定系統(tǒng)整體使用壽命的關(guān)鍵[4]。文章通過Hertz 彈性接觸理論解和有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，分析軸承在載荷作用下的接觸問題。

1 Hertz彈性接觸理論

Hertz 彈性接觸理論[5]，作了以下假設(shè)，成功地解決了滾動(dòng)軸承接觸應(yīng)力、變形的計(jì)算問題，這些假設(shè)對(duì)于滾動(dòng)軸承內(nèi)部的接觸問題而言是基本上成立的。

（1）材料是均質(zhì)的；

（2）接觸區(qū)的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體的尺寸；

（3）作用力與接觸面垂直（假設(shè)接觸區(qū)域無(wú)摩擦）；

（4）變形在彈性極限內(nèi)進(jìn)行。

由Hertz 理論可知，主曲率和函數(shù)及主曲率差函數(shù)如公式(1)、(2)所示。

主曲率和函數(shù)∑ρ：

主曲率差函數(shù)F(ρ)：

式中：ρ1I、ρ1II為球型滾動(dòng)體在兩個(gè)主平面上的曲率；ρ2I、ρ2II為軸圈、座圈內(nèi)滾道在兩個(gè)主平面上的曲率；Dw為球型滾動(dòng)體直徑；ri為溝道曲率半徑。

橢圓接觸面的長(zhǎng)半軸、短半軸長(zhǎng)度分別為a、b，彈性趨近量為δ，計(jì)算公式如(6)、(7)、(8)所示：

式中：σ、v、ω為橢圓接觸區(qū)尺寸系數(shù)；E1、E2為軸承滾動(dòng)體和滾道的彈性模量；μ1、μ2為軸承滾動(dòng)體和滾道的泊松比；Q 為推力球軸承滾動(dòng)體承受的軸向載荷，一般情況下指承載最大載荷的滾動(dòng)體：

式中：Fa為施加于軸承的外部軸向載荷；Z 為滾動(dòng)體數(shù)目；α為承載時(shí)的接觸角（°）。

由于公式(6)、(7)、(8)求解繁瑣，重復(fù)性計(jì)算大大增加了工作量。由于本文所研究的推力球軸承型號(hào)為51410，材料為軸承鋼GCr15，在工程上可使用經(jīng)帕姆格林（A.Palmgren）優(yōu)化計(jì)算式簡(jiǎn)化后的公式進(jìn)行求解，大大縮減了工作量，且計(jì)算所得數(shù)據(jù)相等，這是因?yàn)闈L動(dòng)軸承的材料一般為軸承鋼，可見經(jīng)簡(jiǎn)化后的公式十分便于求解，公式(10)、(11)、(12)即為橢圓接觸面長(zhǎng)、短半軸、彈性趨近量經(jīng)帕姆格林優(yōu)化計(jì)算后的公式：

根據(jù)以上公式推導(dǎo)，經(jīng)簡(jiǎn)化后的赫茲接觸應(yīng)力計(jì)算公式如(13)、(14)所示。

最大赫茲接觸應(yīng)力：

平均赫茲接觸應(yīng)力：

選取的軸承為現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下的推力球軸承51410，其相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 51410推力球軸承相關(guān)參數(shù)

根據(jù)上述公式計(jì)算方法，將表中相關(guān)參數(shù)代入公式（3）、（4）、（5）、（9）可得；

將上述數(shù)據(jù)代入公式（1）、（2），因此主曲率和函數(shù)及主曲率差函數(shù)為：

由上述計(jì)算結(jié)果可知，F(xiàn)(ρ)=0.8619 ≈0.086，查赫茲接觸系數(shù)表[5]，得出如表2數(shù)據(jù)。

表2 赫茲接觸系數(shù)（E=207GPa，μ=0.3）

通過上述表2可查得，ea=0.063 30，eb=0.01178，πeaeb=2.342 × 10-3，a/b=5.38，eδ=2.047 × 10-4。

將以上數(shù)據(jù)帶入公式（10）、（11），可求得接觸橢圓的長(zhǎng)半軸a及短半軸b分別為：

因此，接觸橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別為2a=6.02 mm，2b=1.12 mm，由公式(13)求得推力球軸承滾動(dòng)體最大接觸應(yīng)力：

由公式(14)求得推力球軸承滾動(dòng)體的平均接觸應(yīng)力為：

由公式(12)求得推力球軸承滾動(dòng)體的彈性趨近量為：

將赫茲彈性接觸理論計(jì)算得出的推力球軸承滾動(dòng)體最大接觸應(yīng)力理論解與有限元數(shù)值分析仿真計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析有限元仿真分析結(jié)果與赫茲彈性接觸理論計(jì)算結(jié)果的差異性。

2 軸承應(yīng)力有限元分析

（1）軸承模型的構(gòu)建及網(wǎng)格的劃分

選取的軸承為現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下的推力球軸承51410，其幾何特征參數(shù)如表3所示。

表3 推力球軸承幾何參數(shù)

考慮到推力球軸承是軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，選取軸承整體的1/Z（Z 為滾動(dòng)體數(shù)目）作為分析對(duì)象，即選取軸承整體的1/8 作為分析對(duì)象，在Creo 三維軟件建立51410 推力球軸承的幾何模型，根據(jù)圣維南定理[6]進(jìn)行模型簡(jiǎn)化，在建模時(shí)忽略圓角、游隙等因素；同時(shí)為了建模方便，節(jié)約計(jì)算資源，忽略保持架對(duì)有限元分析結(jié)果的影響[7-8]，推力球軸承51410三維模型如圖1所示。

圖1 51410軸承模型

在Creo軟件中導(dǎo)出51410三維幾何模型，另存命名為51410.stp 格式，再導(dǎo)入到Ansys Workbench 仿真軟件中，首先材料設(shè)置為高碳鉻軸承鋼GCr15，其參數(shù)如下表4所示。

表4 推力球軸承材料參數(shù)

由于導(dǎo)入的模型粗糙不便于計(jì)算求解，此時(shí)需要對(duì)模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化處理；由于軟件無(wú)法自動(dòng)識(shí)別導(dǎo)入的模型為1/8，此時(shí)需要自行對(duì)軸承模型進(jìn)行設(shè)置軸對(duì)稱，可以采取新建Cylindrical 圓柱坐標(biāo)系，利用Symmetry 功能設(shè)置軸對(duì)稱，在此基礎(chǔ)上用網(wǎng)格劃分功能自動(dòng)生成網(wǎng)格，單元類型選擇為8 節(jié)點(diǎn)solid45號(hào)單元，為提高數(shù)值計(jì)算精度，需要細(xì)化網(wǎng)格，由于接觸是非線性問題，若是將整體進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，其計(jì)算占用的資源相當(dāng)大，為節(jié)省計(jì)算機(jī)資源的同時(shí)提高效率，可以采用局部細(xì)化接觸區(qū)域網(wǎng)格的方法，即僅將滾動(dòng)體與軸圈、座圈滾道面接觸處網(wǎng)格進(jìn)行局部細(xì)化，可采用軟件自帶的contact sizing 進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，共劃分662 384 個(gè)網(wǎng)格單元,生成1 003 477 個(gè)節(jié)點(diǎn)，模型網(wǎng)格劃分如圖2所示。

圖2 網(wǎng)格劃分

（2）接觸對(duì)的設(shè)置

多零件表面發(fā)生接觸時(shí)，需要指定接觸對(duì)中的目標(biāo)面和接觸面，由于滾動(dòng)體表面為凸面，滾道面為凹面，因此設(shè)置滾動(dòng)體表面為接觸面，軸圈、座圈滾道面為目標(biāo)面[9]，設(shè)置滾動(dòng)體與軸圈、座圈滾道面接觸類型為Frictional，在考慮良好的脂潤(rùn)滑條件下設(shè)置摩擦系數(shù)為0.1。

（3）載荷與約束的施加

根據(jù)軸承的實(shí)際工況進(jìn)行模擬，因此軸承座圈底部施加固定約束，由于模型為原來(lái)的1/8，因此軸圈頂部模擬軸施加軸向載荷數(shù)值也為初始載荷的1/8，即10 750 N，如圖3所示。

圖3 載荷與約束

（4）有限元分析計(jì)算結(jié)果

經(jīng)Ansys Workbench 仿真軟件分析計(jì)算得51410推力球軸承的等效應(yīng)力云圖，如圖4 所示。從圖4 明顯可以看出，推力球軸承的等效應(yīng)力主要集中在滾動(dòng)體與軸圈、座圈滾道面接觸區(qū)域，此時(shí)最大接觸等效應(yīng)力值為2 947.2 MPa。

圖4 51410等效應(yīng)力云圖

3 結(jié)果分析

根據(jù)赫茲理論解可知，滾動(dòng)體局部的接觸應(yīng)力高達(dá)3 043 MPa，有限元仿真得出的滾動(dòng)體局部的接觸應(yīng)力也高達(dá)2 947.2 MPa，可見理論解與計(jì)算結(jié)果僅相差2%，當(dāng)然這主要也是軟件參數(shù)設(shè)置得當(dāng)，與理論解偏差較小，說(shuō)明二者具有良好的一致性，驗(yàn)證了采用數(shù)值模擬手段分析軸承在載荷作用下的接觸應(yīng)力是符合實(shí)際情況。

此外，由理論解及仿真計(jì)算結(jié)果顯然可見滾動(dòng)體局部的接觸應(yīng)力非常大，這是因?yàn)闈L動(dòng)體與滾道間的接觸載荷只作用在非常小的接觸面上，而接觸面經(jīng)過網(wǎng)格局部細(xì)化，導(dǎo)致接觸面被劃分為諸多微小面，因此即使施加的接觸載荷不是很大，最大接觸應(yīng)力值也是相當(dāng)高的。

從軸承鋼GCr15 的材料屈服極限為518.42 MPa可知，仿真計(jì)算的最大應(yīng)力值已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了材料的屈服極限，勢(shì)必導(dǎo)致軸承失效，但是接觸應(yīng)力存在于非常小的局部區(qū)域內(nèi)，即便是計(jì)算的接觸應(yīng)力值超過材料的屈服極限，也僅會(huì)在有限的局部區(qū)域內(nèi)發(fā)生塑性變形[10]，產(chǎn)生塑性變形后接觸面積變大，接觸應(yīng)力也會(huì)瞬間減小到材料的屈服強(qiáng)度以內(nèi)。

4 結(jié)語(yǔ)

通過Hertz彈性接觸理論解和有限元仿真計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析，得出以下結(jié)論：

（1）采用數(shù)值分析模擬手段及Hertz 彈性接觸理論計(jì)算方法分別對(duì)推力球軸承51410 進(jìn)行了接觸問題的分析計(jì)算，對(duì)比分析得出二者的計(jì)算結(jié)果誤差小，具有良好的一致性，因此采用數(shù)值模擬手段分析軸承在載荷作用下的接觸應(yīng)力是符合實(shí)際情況。

（2）有限元數(shù)值模擬手段對(duì)比Hertz 理論解優(yōu)點(diǎn)是：考慮了接觸處的摩擦，更符合軸承應(yīng)用的實(shí)際工況，并且可以直觀地查看各個(gè)部位的數(shù)據(jù)，因此仿真計(jì)算結(jié)果相對(duì)更具有工程實(shí)用價(jià)值。

（3）仿真計(jì)算結(jié)果為分析潛油螺桿泵采油系統(tǒng)中的推力球軸承的實(shí)際工況提供了一種方案，也為今后滾動(dòng)軸承的失效分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種有效的參考依據(jù)。

（4）滾動(dòng)軸承的有限元仿真分析本質(zhì)上是復(fù)雜多學(xué)科綜合應(yīng)用的工程，參數(shù)設(shè)置略有偏差導(dǎo)致所得的計(jì)算結(jié)果差異性很大，諸如網(wǎng)格劃分、邊界問題及約束等設(shè)置需反復(fù)驗(yàn)證，確保計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。