“運(yùn)算律”單元教學(xué)的思考與實(shí)踐

文|牛獻(xiàn)禮（特級(jí)教師）王俊燕 張雅昕 陳加會(huì)

計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，計(jì)算教學(xué)的主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理意識(shí)、模型意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”（《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）。運(yùn)算能力的結(jié)構(gòu)主要包括基本口算、算理理解、算法掌握、算律運(yùn)用等四個(gè)方面。算法的基礎(chǔ)是算理，會(huì)使用算法是一種技能，但只是一種工具性理解（即知道“應(yīng)該怎么做這件事”），而明白其中的算理才能達(dá)到關(guān)系性理解（即明白“為什么應(yīng)當(dāng)這么做”）。運(yùn)算律源于算法的靈活運(yùn)用，是對(duì)算法的“熟能生巧”，也就是算法的“竅門”。因此，在計(jì)算教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)在算理理解的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法，在熟練運(yùn)用算法的基礎(chǔ)上掌握運(yùn)算律，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題，三者相輔相成，不可偏廢。

學(xué)生需要在小學(xué)階段學(xué)習(xí)加法的交換律、結(jié)合律以及乘法的交換律、結(jié)合律和分配律這五個(gè)運(yùn)算律。在實(shí)際教學(xué)中，這幾個(gè)看似簡單的運(yùn)算律，卻讓教師們異常“頭疼”。學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法分配律之后更是錯(cuò)誤百出，原本是減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)的運(yùn)算律為何卻成為學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)？分析學(xué)生的錯(cuò)題，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用運(yùn)算律感到困難，主要有兩個(gè)原因：一是對(duì)于運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)模糊；二是對(duì)于運(yùn)算律的數(shù)據(jù)特征缺乏關(guān)注。為此，筆者認(rèn)為，運(yùn)算律的教學(xué)要根據(jù)課程內(nèi)容的主線整體把握教學(xué)內(nèi)容，要結(jié)合具體的運(yùn)算律內(nèi)容，將每節(jié)課的知識(shí)置于整體的知識(shí)體系中，建構(gòu)起“運(yùn)算律”主題統(tǒng)整下脈絡(luò)清晰、條理分明、相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)運(yùn)算律的整體性，在對(duì)比中深刻理解運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)據(jù)特征。

一、立足算法，突出算法與運(yùn)算律的聯(lián)系

縱覽各個(gè)版本的現(xiàn)行教材，“運(yùn)算定律”單元的編排一般是：解決現(xiàn)實(shí)情境中的問題——個(gè)例分析——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——驗(yàn)證規(guī)律——概括規(guī)律——運(yùn)用規(guī)律。這種編排是把運(yùn)算律作為一個(gè)獨(dú)立于算法的規(guī)律，突出了“探究規(guī)律”的過程，相應(yīng)淡化了算法與運(yùn)算律之間的聯(lián)系。事實(shí)上，運(yùn)算律是計(jì)算本身發(fā)展的必然需要，是基本運(yùn)算在算法執(zhí)行中產(chǎn)生的簡約規(guī)則。為此，筆者認(rèn)為，運(yùn)算律的教學(xué)需要在運(yùn)算意義的支持下基于算法去建立認(rèn)知，在與算法的溝通聯(lián)系中逐步建立對(duì)運(yùn)算律的認(rèn)知，而不是僅僅從情境出發(fā)，只關(guān)注運(yùn)算律的外在形式。

比如，筆者將“加法結(jié)合律”與“乘法結(jié)合律”兩個(gè)內(nèi)容整合為“結(jié)合律”一課，課始，先進(jìn)行計(jì)算比賽。

比一比誰算得又對(duì)又快？

1.19+24+6。

2.39+115+85。

3.45+127+173。

由計(jì)算情境引入，學(xué)生的思維與已有的加法意義的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)被激活且都指向運(yùn)算方法。“又對(duì)又快”的挑戰(zhàn)讓學(xué)生主動(dòng)去觀察算式的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)據(jù)特征并調(diào)取運(yùn)算意義知識(shí)，嘗試對(duì)算式進(jìn)行處理而達(dá)到這一要求。實(shí)際教學(xué)中絕大多數(shù)學(xué)生都是按“先把后兩個(gè)數(shù)相加湊整”的方法計(jì)算的，產(chǎn)生了19+24+6=19+（24+6）這樣的新形態(tài)算式，這就是加法結(jié)合律的模型，說明學(xué)生已經(jīng)在“不自覺”地運(yùn)用加法結(jié)合律了。

接著，組織學(xué)生討論：“我們能改變運(yùn)算順序先算后兩個(gè)數(shù)的和嗎？這樣做的道理是什么？”引導(dǎo)學(xué)生基于加法的意義去解讀算法：“三個(gè)數(shù)相加，就是把它們合并起來，只要這三個(gè)數(shù)不變，先加誰、后加誰都沒有關(guān)系。所以，可以先把后兩個(gè)能湊整的數(shù)相加，再加第一個(gè)數(shù)，和不變。”這樣的運(yùn)算律教學(xué)有運(yùn)算意義作支撐，將運(yùn)算律與算法有機(jī)結(jié)合，更好地觸發(fā)學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用運(yùn)算律簡便計(jì)算的意識(shí)，增強(qiáng)了對(duì)運(yùn)算律的意義感知。

再如，乘法分配律的教學(xué)，同樣將算法的應(yīng)用與運(yùn)算律有機(jī)結(jié)合，由計(jì)算比賽引入新課。

出示：看誰算得又對(duì)又快。

1.7×9+3×9。

2.14×6+6×6。

3.78×14+22×14。

“又對(duì)又快”的挑戰(zhàn)自然地催生了“7×9+3×9=10×9”這樣的新形態(tài)算式，也自然產(chǎn)生了新的問題：“為什么可以這樣變化？”，課堂順利進(jìn)入基于乘法意義去解讀算法的思考中。同時(shí)，及時(shí)觸發(fā)學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)，如實(shí)際情境、面積模型等方法，讓學(xué)生借助實(shí)際情境和幾何直觀來驗(yàn)證這種變換的合理性。歸納推理（發(fā)現(xiàn)）與演繹推理（驗(yàn)證）的緊密結(jié)合，促成了學(xué)生對(duì)乘法分配律的深刻理解，使學(xué)生的思維由表及里、不斷深入。

二、結(jié)構(gòu)入手，突出運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)特征

在“運(yùn)算律”的教學(xué)中，教師和學(xué)生的目光一般都聚焦在數(shù)據(jù)上，教師從數(shù)據(jù)入手教學(xué)，學(xué)生從數(shù)據(jù)特征發(fā)現(xiàn)規(guī)律。對(duì)數(shù)據(jù)的片面關(guān)注使得學(xué)生在一開始接觸運(yùn)算律的時(shí)候就缺乏研究算式結(jié)構(gòu)的意識(shí)。對(duì)算式的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)模糊，導(dǎo)致運(yùn)算律的認(rèn)識(shí)難以清晰，無法構(gòu)建運(yùn)算律的模型。從注意力的角度看，結(jié)構(gòu)相比數(shù)據(jù)，較為隱蔽，不容易引起學(xué)生的重視。因此，就需要教師有意識(shí)地引導(dǎo)，并以此入手，將學(xué)生的視線引向?qū)λ闶浇Y(jié)構(gòu)的觀察，深刻理解算式結(jié)構(gòu)的“內(nèi)在本質(zhì)”。

以“乘法分配律”為例，乘法分配律溝通了乘法與加減法的聯(lián)系，是一種重要的數(shù)學(xué)模型，也是學(xué)生最難理解和掌握的運(yùn)算律。教學(xué)中的主要問題是不少學(xué)生始終弄不明白乘法分配律為什么會(huì)有這種形式上的變化，還有些學(xué)生雖然在初學(xué)時(shí)會(huì)機(jī)械地模仿，但很快就遺忘了，更談不上自覺、靈活地運(yùn)用……筆者分析，其中的重要原因是教師在教學(xué)時(shí)，只重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)規(guī)律的“外形”進(jìn)行研究，忽視了對(duì)規(guī)律“內(nèi)在”的本質(zhì)進(jìn)行探究；只是借助不完全歸納法“發(fā)現(xiàn)”它“是什么”，至于“為什么”卻懸而未決。導(dǎo)致學(xué)生對(duì)乘法分配律的意義和結(jié)構(gòu)特征體驗(yàn)得不夠，領(lǐng)悟得不深。乘法分配律的實(shí)質(zhì)是“c組（a+b）分成c個(gè)a加c個(gè)b”和“c個(gè)a加c個(gè)b配成c組（a+b）”，要讓學(xué)生充分感知和深入理解，必須始終抓住內(nèi)在不變的“理”來理解外在變化的“形”。

教學(xué)中，當(dāng)揭示“乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c”之后，組織學(xué)生聯(lián)系前面出現(xiàn)的幾道算式展開討論：這幾道算式有什么共同特點(diǎn)？

通過師生交流，歸納出乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)據(jù)特征。

結(jié)構(gòu)特征：乘加乘a×b+c×b。

數(shù)據(jù)特征：1.有一個(gè)相同因數(shù)b。

2.a和c這兩個(gè)數(shù)可以“湊整”。

當(dāng)滿足這兩個(gè)特征時(shí)，就可以“先加后乘”。這樣就把應(yīng)用乘法分配律的前提條件明確了。

三、注重說理，給找到的規(guī)律尋找可以解釋的依據(jù)

運(yùn)算律的教學(xué)不能局限于“規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和檢驗(yàn)”，而應(yīng)注重科學(xué)探究方法的指導(dǎo)，促成學(xué)生由原先對(duì)于相關(guān)規(guī)律的不自覺認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)向更為自覺的狀態(tài)。

一方面，鼓勵(lì)學(xué)生采用不完全歸納法去“舉例驗(yàn)證”，通過多個(gè)算式發(fā)現(xiàn)存在的共同規(guī)律，并學(xué)會(huì)用自己的語言清楚地表述規(guī)律，包括以數(shù)學(xué)式子進(jìn)行個(gè)性化表征。需要注意的是，“舉例驗(yàn)證”絕不是簡單地讓學(xué)生隨意地舉幾個(gè)例子。教學(xué)中，既要注重引導(dǎo)學(xué)生正確地舉例，即舉的例子要符合運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)特征，又要強(qiáng)調(diào)結(jié)論的得出必須通過列舉大量的例子，只有找不到反例，才能進(jìn)行歸納，獲得結(jié)論。當(dāng)舉例驗(yàn)證不能窮盡所有的例子時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生不僅僅關(guān)注例子的“量”的增加，還應(yīng)注意所舉例子的典型性和代表性，適時(shí)滲透“分類舉例驗(yàn)證”的思想，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)的驗(yàn)證過程，使學(xué)生舉例驗(yàn)證的過程更符合數(shù)學(xué)思維的要求，也為今后探索運(yùn)算定律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)范疇內(nèi)是否成立留下思考的空間。

另一方面，引導(dǎo)學(xué)生通過演繹推理、數(shù)形結(jié)合、實(shí)際情境等進(jìn)行“說理”，給發(fā)現(xiàn)的規(guī)律尋找可以解釋的依據(jù)，促進(jìn)學(xué)生理性思維的發(fā)展。在學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”后，可以設(shè)計(jì)這樣的問題引發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步思考：“這樣的現(xiàn)象是巧合，還是客觀存在的規(guī)律？你能想辦法解釋這樣的現(xiàn)象嗎？”……從表面上看，這一環(huán)節(jié)似乎不影響學(xué)生對(duì)規(guī)律的掌握。但筆者認(rèn)為，這絕非是可有可無的教學(xué)設(shè)計(jì)。給規(guī)律科學(xué)合理的解釋，是研究所應(yīng)持的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，也是讓學(xué)生感受有理有據(jù)思考問題的契機(jī)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的理性精神、創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度大有裨益。同時(shí)，這一環(huán)節(jié)，也是幫助學(xué)生理解規(guī)律的重要舉措，是對(duì)“不完全歸納法”的一種必要補(bǔ)充。

比如，在加法交換律中，“兩個(gè)加數(shù)的位置發(fā)生變化，和不變”這一規(guī)律，可以用加法的意義去揭示。出示下圖：左邊有3根小棒，右邊有5根小棒，先從左邊往右邊數(shù)，是3+5=8；再從右邊往左邊數(shù)，是5+3=8，兩個(gè)數(shù)的位置發(fā)生變化，但算式表示的依然是把兩個(gè)數(shù)合并起來，所以3+5=5+3。

乘法交換律（如下圖）：橫著數(shù)，每行5個(gè)方格，有3行，總數(shù)是5×3=15；豎著數(shù)，每列3個(gè)方格，有5列，總數(shù)是3×5=15，二者是相等的，所以5×3=3×5，從而理解乘法交換律。

乘法結(jié)合律是三個(gè)數(shù)連乘，相對(duì)復(fù)雜，可以結(jié)合連乘的實(shí)際問題來理解。例如，文具店賣了5盒鉛筆，每盒裝12支，每支8元。一共賣了多少錢？此題可以有兩種解答方法：一是先求出每盒賣了多少錢，再求5盒一共賣了多少錢，列式為8×12×5；二是先求出5盒一共有多少支鉛筆，再求出這些鉛筆一共賣了多少錢，列式為8×（12×5）。兩種方法答案相同，這樣就體現(xiàn)了乘法結(jié)合律。

乘法對(duì)加法的分配律，除了用乘法的意義或者現(xiàn)實(shí)情境來解釋之外，還可以引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)過的加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行演繹推理，或者借助幾何直觀來幫助理解乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征。感悟從未知到已知的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯推理能力。

四、注重遷移，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待具體運(yùn)算律的學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)課程中的知識(shí)、技能、方法等都是有內(nèi)在聯(lián)系的，并總是相互作用、彼此影響的。教師要根據(jù)課程內(nèi)容的主線整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性。引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)原理、概念之間組織起有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感受數(shù)學(xué)的整體性，使學(xué)生形成簡化的、本質(zhì)的、對(duì)未來學(xué)習(xí)更有支持意義、內(nèi)在邏輯性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣。

比如，加法交換律是第一個(gè)學(xué)習(xí)的運(yùn)算律，加法交換律的探究方法是研究其他運(yùn)算律的支撐，是學(xué)生形成模型意識(shí)類比遷移、拓展應(yīng)用的關(guān)鍵。為此，加法交換律的教學(xué)從一開始就應(yīng)確定研究問題的視角，將學(xué)生的注意力引向以下研究方向：從眾多例子中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找反例或者生活中的事例去驗(yàn)證規(guī)律，用自己個(gè)性化的方法表述規(guī)律，思考能否推廣到其他運(yùn)算中等，并適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧反思、共同歸納、總結(jié)研究方法，形成方法結(jié)構(gòu)。一旦這些共識(shí)形成以后，剩余的工作就十分簡單了，只需要讓學(xué)生借助經(jīng)驗(yàn)展開數(shù)學(xué)的想象，就能夠遷移到后續(xù)更多運(yùn)算律的學(xué)習(xí)當(dāng)中去了。

下面是“加法交換律”的一個(gè)教學(xué)片斷。

師：今天學(xué)習(xí)了“加法交換律”，你還能提出什么猜想嗎？

生：有沒有減法交換律、乘法交換律、除法交換律？

（學(xué)生獨(dú)立思考、舉例驗(yàn)證后，全班交流）

生：減法和除法里沒有交換律，比如5－3不能寫成3－5，2÷1不能寫成1÷2。（板書：5－3≠3－5，2÷1≠1÷2）

生：乘法里有交換律。比如1×2=2×1、5×10=10×5……

生：還可以畫圖驗(yàn)證。（在實(shí)物投影上展示下圖）

師：你能仿照加法交換律的文字表述，總結(jié)一下乘法交換律嗎？

生：交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積不變，這叫做乘法交換律。

師：怎樣用字母形式表示乘法交換律？

生：a×b=b×a。

……

上述教學(xué)中，借助前面加法交換律的建模經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷類比遷移的過程，學(xué)生觸類旁通，推理出乘法也有交換律，但減法和除法沒有；再引導(dǎo)學(xué)生通過舉例子、畫圖等方法驗(yàn)證自己的猜想，促進(jìn)了學(xué)生推理意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。這節(jié)課學(xué)習(xí)積累的研究問題的方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)后續(xù)運(yùn)算律的學(xué)習(xí)具有示范和借鑒意義。

再如，教學(xué)乘法分配律，在引導(dǎo)學(xué)生由“（a+b）×c=a×c+b×c”猜想到“（a－b）×c=a×c-b×c”后，適時(shí)啟發(fā)學(xué)生：“這樣的猜想究竟對(duì)不對(duì)？你能用剛才我們研究乘法分配律的方法，嘗試著自己來研究嗎？”讓學(xué)生把學(xué)到的研究方法自覺進(jìn)行遷移應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

五、精確分化，理清運(yùn)算律之間的區(qū)別

學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法結(jié)合律、乘法分配律后，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這類錯(cuò)誤：（25+7）×4=25×4×7，（125×7）×8=125×8×7×8，這是將乘法結(jié)合律與分配律混淆的表現(xiàn)，而導(dǎo)致這種現(xiàn)象的最主要原因是學(xué)習(xí)材料的相似性。那么，怎么針對(duì)性地解決問題呢？

我們不妨整體觀察五條運(yùn)算定律——

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交換律：a×b=b×a

乘法結(jié)合律：（a×b）×c=a×（b×c）

乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c

從幾個(gè)運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)特征看，區(qū)別十分明顯：先學(xué)的四條運(yùn)算律，都只針對(duì)一種運(yùn)算，只有最后學(xué)的分配律涉及兩種運(yùn)算。乘法分配律溝通了乘法與加法的聯(lián)系，所以又叫做乘法對(duì)加法的分配律。

綜上可見，導(dǎo)致上述常見錯(cuò)誤的主要教學(xué)原因是：運(yùn)算定律的教學(xué)，沒有實(shí)現(xiàn)易混知識(shí)的精確分化，學(xué)生不知道乘法分配律與其他運(yùn)算定律在結(jié)構(gòu)上的本質(zhì)區(qū)別。而在簡便運(yùn)算教學(xué)時(shí)，審題習(xí)慣的培養(yǎng)上也存在偏差，過分強(qiáng)調(diào)觀察算式的數(shù)據(jù)特點(diǎn)而忽視觀察算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。事實(shí)上，只有看清了算式是何種運(yùn)算，數(shù)據(jù)特點(diǎn)才有意義。

因此，在教學(xué)乘法分配律時(shí)，對(duì)五個(gè)運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)進(jìn)行一次整體的梳理和辨別，幫助學(xué)生建立清晰的認(rèn)知是很有必要的。不僅便于學(xué)生感悟運(yùn)算律之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，而且有利于學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律有一個(gè)比較完整的認(rèn)識(shí)，從而構(gòu)建起系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

以下是筆者的一個(gè)教學(xué)片斷。

師：仔細(xì)觀察，乘法分配律與以前學(xué)過的幾個(gè)運(yùn)算定律比較，有什么不同點(diǎn)？

生：我發(fā)現(xiàn)其他運(yùn)算律的等號(hào)兩邊的數(shù)都一樣多，而乘法分配律等號(hào)左邊是3個(gè)數(shù)，右邊卻是4個(gè)數(shù)。

師：還真是這樣！那同學(xué)們知道為什么乘法分配律等號(hào)左右兩邊的數(shù)不一樣多嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)了！乘法分配律里的“c”乘了2次，一次與a相乘，一次與b相乘，a×c、b×c，有兩個(gè)c，所以等號(hào)右邊就是4個(gè)數(shù)了。

生：我還發(fā)現(xiàn)加法交換律和加法結(jié)合律里只有加法運(yùn)算，乘法交換律和結(jié)合律里只有乘法運(yùn)算，它們都是只有一種運(yùn)算，但是乘法分配律里卻有乘法和加法兩種運(yùn)算。

師：真棒！包含乘法和加法兩種運(yùn)算是乘法分配律的一個(gè)重要特征！所以乘法分配律又叫做乘法對(duì)加法的分配律。

……