一道高考題目的解答與評析

重慶市酉陽第一中學(xué)校 曹珍玉

本文選擇的是2014年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第12題，是一道選擇題。題目如下：“已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（ ）。A. （2，+∞）；B. （1，+∞）；C. （-∞，-2）；D. （-∞，-1）?！北疚尼槍υ擃}進(jìn)行一些研究。

一、問題的解答

解法1

思路分析：這是一個包含參數(shù)的函數(shù)，且參數(shù)a在未知數(shù)最高次項之前，所以a的數(shù)值是一個值得討論的重點。當(dāng)a=0時，f（x）=-3x2+1；當(dāng)a≠0時，f（x）=ax3-3x2+1。但是a取值正負(fù)并未交代，所以題目可分為a=0、a＞0和a＜0這三種情況進(jìn)行討論。

x （-∞，0） 0images/BZ_47_1084_1991_1101_2008.pngf '（x） + 0 - 0 +f（x） 單調(diào)遞增 極大值點 單調(diào)遞減 極小值點 單調(diào)遞增

∵a＞0，∴當(dāng)x→-∞時，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴當(dāng)x∈（-∞，0）時，必存在一點p，使得f（p）=0成立。結(jié)論與題干矛盾，故舍棄。

0 （0，+∞）f '（x） - 0 + 0 -f（x） 單調(diào)遞減 極小值點 單調(diào)遞增 極大值點 單調(diào)遞減x

由于f（0）=1＞0，而x→+∞時，f（x）→-∞，

故存在一點x0＞0，使得f（x0）=0。

∵f（x）存在唯一零點x0，且x0＞0成立，

又∵a＜0，∴a∈（-∞，-2）。成立，即

所以，題目的正確答案為C項。

解法2

思路分析：上述解法工作量大，對于一個選擇題而言有些大材小用的意味。由于此題為選擇題，4個選項給出的都是參數(shù)a的取值區(qū)間，也就是說，在正確答案給出的區(qū)間內(nèi)，我們隨意取值都能使得題目條件成立。所以，采用特殊值驗證法進(jìn)行逆向推理，從而排除錯誤選項也能得到正確答案。

x （-∞，0） 0images/BZ_47_2152_1501_2168_1518.pngf＇（x） + 0 - 0 +f（x） 單調(diào)遞增 極大值點 單調(diào)遞減 極小值點 單調(diào)遞增

假設(shè)D項為正確答案，從其區(qū)間內(nèi)取a=-2，則f（x）=-2x3-3x2+1，f'（x）=-6x2-6x。令f'（x）=0，得x1=0，x2=-1，而后制作表格如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，0） 0 （0，+∞）f '（x） - 0 + 0 -f （x） 單調(diào)遞減 極小值點 單調(diào)遞增 極大值點 單調(diào)遞減

由上表可知，f（-1）是函數(shù)f（x）的極小值點，且f（-1）=0，所以-1是函數(shù)的一個零點，故D選項排除。經(jīng)過一系列逆向推理，三個選項都已被排除，那么正確答案也就顯而易見了。

二、評析

綜合來看這兩種解題方法，雖然整體的工作量都不小，但是排除法的邏輯思維復(fù)雜程度明顯更低。根據(jù)選項表述將參數(shù)具體化，這一步有效降低了題目難度，而后通過反證法，應(yīng)用逆向推理的思維找出矛盾，進(jìn)而排除選項，得到最終答案。

但是第二種解法的適用范圍較窄，因為解題過程中做出的每一種假設(shè)都要有一個支持其立足的基本點，所以該方式多用于選擇題的分析和解答。若題目是以解答題形式出現(xiàn)，例如同類型例題：“已知函數(shù)f（x）=4x3+3tx2-6tx+t-1（x∈R，t∈R）。（1）當(dāng)t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）當(dāng)t≠0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點?！贝说李}目的解答就要使用第一種方法，因為該方法更常規(guī)，更具有普適性。