基于總體經驗模態分解的橋梁動態位移重構?

劉 鵬，陳云鵬，鄒應全，2

（1.西南交通大學信息科學與技術學院 成都，611756）（2.中鐵第一勘察設計院軌道交通工程信息化國家重點實驗室 西安，710043）

引言

加速度傳感器憑借較寬的頻帶響應、體積小、便于安裝和低成本等特點，在橋梁動態位移測量方面得到了廣泛應用［1］。加速度傳感器采集橋梁結構的加速度信號，通過對加速度幅值二次積分計算位移。積分計算位移的方法主要分為頻域積分和時域積分兩種。頻域積分首先將加速度時域信號通過快速傅里葉變換（fast Fourier transform，簡稱FFT）變換到頻域，利用頻域中的積分性質進行二次積分計算，通過對位移頻域信號快速傅里葉逆變換得到位移時域信號。為了消除低頻趨勢項和高頻噪聲對積分過程的影響，通常會在頻域中進行濾波處理。但是頻域濾波存在截止頻率選擇和截斷誤差問題，在原始信號頻譜未知情況下易產生較大位移計算誤差［2］。時域積分避免了截止頻率選擇等問題，但采用MEMS技術的加速度傳感器在時域進行二次積分后，位移信號會嚴重偏移甚至得到錯誤的結果。因為MEMS 加速度傳感器的輸出信號缺乏初始條件，且存在直流分量、零點漂移、長周期干擾和溫漂等，這些因素所造成的誤差會隨積分放大［3‐4］。因此，研究如何有效地濾除加速度信號中的這些趨勢項以及確定邊界值是時域積分的重要環節。

Kandula 等［5］提出了一種加速度信號模型，它是指數阻尼正弦信號的和，通過對無噪聲加速度進行建模，然后二次積分得到振動位移，這種方法可以忽略初始加速度與初始速度邊界條件，并且計算精度較高；然而該方法涉及到較大數據集的矩陣逆運算，復雜度高，計算時間過長。文獻［6］利用結構的振動規律，在穩態振動階段尋找速度和位移的零點，解決了積分邊界值問題，最后利用趨勢項處理消除了積分漂移的影響；但該方法的缺點在于要先識別穩態振動階段，如果結構復雜，則識別準確度較差，甚至無法識別。文獻［7］提出了基于FFT 時頻轉換和經驗模態分解（empirical mode decomposition，簡稱EMD）自適應濾波相結合的積分變換方法，該方法為獲取位移信號提供了新的途徑，但是積分過程是在頻域中進行的，存在頻率截斷誤差和截止頻率的選取問題，而且EMD 分解會產生模態混疊現象和端點效應。文獻［8］采用總體經驗模態分解方法（ensemble empirical mode decomposition，簡 稱EEMD）和EMD 方法對液壓泵泵殼振動數據進行分解重構，結合短時最大熵譜分析選取對故障最為敏感的固有模態函數（intrinsic mode function，簡稱IMF）分量，采用模糊C 均值聚類算法進行故障模式識別，識別結果表明，EEMD 相比較于EMD，迭代次數大幅減小，故障識別率也有顯著提高。

筆者采用EEMD 方法對橋梁振動加速度信號、速度信號及位移信號逐次分解重構，有效地消除了積分計算過程中高頻噪聲和低頻趨勢對積分過程造成的干擾，獲得了滿足計算精度的動態位移信號。

1 加速度積分與EEMD 算法

1.1 加速度積分原理

速度是加速度的一次積分

位移是速度的一次積分

將式（1）代入式（2）得到位移積分計算公式

為了方便在計算機中處理計算，加速度積分離散形式（梯形積分公式）為

速度與初始速度以及加速度的離散關系式為

位移與初始位移以及速度的關系式為

將式（5）代入式（6）得位移積分離散關系式為

式（4）～（7）中Δt是計算位移的一個重要參數，它代表加速度采樣時間間隔，與采樣頻率互為倒數。當Δt越小時，采樣頻率越高，式（4）積分運算結果與數值運算結果越近似。在實際中設置采樣頻率為文獻［1］的2～5 倍，本試驗中采樣頻率為1 kHz，保證精度要求。

如式（7）所示，位移與初始位移以及初始速度有關。其中初始位移是以常量疊加的形式影響最終位移結果，而初始速度是與時間作為一次函數的關系影響最終位移結果。隨著時間的增加，累計誤差也越大。另外，由于MEMS 加速度傳感器自身因素和采集系統的零點漂移造成的低頻干擾會經積分放大，因此通常采用低通濾波、平滑濾波等濾波處理來減小以上現象造成的影響。但是濾波處理局限性太大，截止頻率選取困難，因此需要一種自適應處理方法，而總體經驗模態分解正是一種基于經驗的數據分析方法。該方法依據信號自身的時間特征尺度進行分解，每個IMF 分量都有不同的時間特征尺度，可以根據不同的時間特征尺度來篩選，從而篩除不需要的分量，達到自適應濾波的目的。

1.2 總體經驗模態分解

EEMD 是在EMD 算法上發展而來的，EMD 是希爾伯特‐黃變換（Hilbert‐Huang transform，簡稱HHT）的核心算法［9］。EMD 算法的目的在于將非平穩、非線性的信號分解為一組穩態和線性的IMF，且IMF 滿足以下性質：

1）信號的極值點Ne和過零點NZ數目相等或最多相差一個

2）任意一點，由局部極大值定義的包絡Smax(t)和由局部極小值定義的包絡Smin(t)的均值為0

但是EMD 也存在不足，用EMD 分解得到的IMF 分量存在模態混疊現象與端點效應。模態混疊體現在不同的IMF 分量出現相同的尺度信息，此時低頻分量可能與有效信息混疊在一起，造成IMF分量選取困難，積分放大后造成嚴重偏移。端點效應伴隨每一次篩選過程，會在運算過程中逐漸放大，因此會對整個數據序列產生影響。為了克服這些問題，WU 等［10］提出了EEMD 方法：將頻率不同的白噪聲序列添加到目標數據中，當附加的白噪聲均勻分布在整個時頻空間時，該時頻空間就由濾波器分割成的不同尺度成分組成。不同尺度的信號會自動投影到由白噪聲建立的合適的參考尺度上，可以有效地解決模態混疊現象與端點效應。雖然每個試驗可能產生非常嘈雜的結果，但在試驗樣本足夠大的情況下，平均后的噪聲將基本消失［11］。EEMD 作為EMD 算法的改進，包括以下幾個步驟：

1）添加一個白噪聲序列到目標數據中

2）把添加白噪聲的數據分解成多個IMF 分量

3）重復步驟1 和2，目標數據中加入與步驟1 不同的白噪聲序列

4）獲得分解的對應多個IMF 的（總體）均值作為最終結果

其中：N為總體個數；K為IMF 分量個數。

通過EEMD 將原始信號分解成多個IMF 分量，每個IMF 代表原始信號的一種內部模態，因此可以選取試驗所需要的模態分量進行分析處理，從而達到自適應數據處理的目的。

2 橋梁模擬信號仿真試驗

2.1 Matlab 仿真模擬橋梁振動加速度信號

通常橋梁動態響應振動信號的頻率為1～10 Hz，所以本研究構造理想位移信號為

根據加速度a是位移s的二次微分關系可得，理想加速度信號為

通過Matlab 構建理想的加速度信號，并在此基礎上添加高斯分布的隨機白噪聲，如圖1 所示。

圖1 加速度信號圖Fig.1 Acceleration signal diagram

分別用基于頻域帶通濾波處理方法［12］、EMD自適應濾波方法［13］、基于FFT+EMD 濾波處理方法［7］和EEMD 自適應濾波方法，對加入噪聲的加速度信號進行處理，以求得到理想的位移信號。

2.2 基于頻域帶通濾波處理

圖2 為基于頻域帶通濾波處理的方法流程圖，首先對加速度時域信號進行FFT 處理，轉換成對應的頻域信號，然后在頻域設置理想的帶通濾波器H(f)對加速度頻域信號進行濾波處理

圖2 基于頻域帶通濾波處理流程圖Fig.2 Flow field based on frequency domain bandpass pro‐cess

由于橋梁振動模擬信號頻率為2.5 Hz，設置f1=1 Hz，f2=10 Hz。對濾波處理后的加速度頻域信號進行頻域內的二次積分，得到位移頻域信號，然后對位移頻域信號進行快速傅里葉逆變換（invert fast Fourier transform，簡稱IFFT）處理得到位移時域信號。從圖3 可看出，基于頻域濾波的處理方法沒有相移現象，但由于頻率截斷誤差等原因，在信號的0～2 s 和8～10 s 與理想信號存在一定的誤差。

圖3 頻域濾波處理后的位移信號和理想位移信號Fig.3 Displacement signal after frequency domain filtering and ideal displacement signal

2.3 基于EMD 自適應濾波處理

圖4 為基于EMD 自適應濾波處理方法的流程圖，其中：a為采樣到的原始加速度信號；a'為經過分解重構處理后的加速度信號；v為積分得到的速度信號；v'為經過分解重構處理后的速度信號；s為積分得到的位移信號；s'為經過分解重構處理后的位移信號。

圖4 基于EMD 自適應濾波處理流程圖Fig.4 Flow field based on EMD adaptive filtering process

如圖5 所示，EMD 自適應濾波處理方法得到的位移結果，在1.5～7 s 與理想信號幾乎重合；但是其他時間段由于模態混疊現象和端點效應，與理想位移信號相差較大，總體效果不理想。

圖5 EMD 濾波處理后的位移信號和理想位移信號Fig.5 Displacement signal after EMD adaptive filtering andideal displacement signal

2.4 基于FFT+EMD 濾波處理

從圖6 可以看出，基于FFT+EMD 濾波處理方法原理和基于頻域濾波處理的方法類似，只是對IF‐FT 得到的位移時域信號進行了一次EMD 自適應濾波處理。

圖6 基于FFT+EMD 濾波處理流程圖Fig.6 Flow field based on FFT+EMD adaptive filtering proces

如圖7 所示，相比較于基于頻域濾波處理和基于EMD 自適應濾波的方法，基于FFT+EMD 濾波處理方法得到的位移信號和理想位移信號重合時間更長。雖然0～1s 和9～10s 的波形存在一定失真，但整體效果比前面2 種方法都要好。

圖7 基于FFT+EMD 濾波處理后的位移信號和理想位移信號Fig.7 Displacement signal after FFT+EMD adaptive filter‐ing and ideal displacement signal

2.5 基于EEMD 自適應濾波處理

基于EEMD 自適應濾波方法原理與基于EMD自適應濾波方法類似，只是用EEMD 替代EMD，流程圖如圖8 所示。

圖8 基于EEMD 自適應濾波處理流程圖Fig.8 Flow field based on EEMD adaptive filtering process

如圖9 所示，在整個時間段內EEMD 濾波處理后的位移信號和理想位移信號都高度重合，整體效果比前面3 種方法都要好，體現了基于EEMD 自適應濾波方法的有效性。

圖9 EEMD 自適應濾波處理后的位移信號和理想位移信號Fig.9 Displacement signal after EEMD adaptive filtering and ideal displacement signal

2.6 積分結果誤差分析

分別計算頻域帶通濾波、基于EMD 自適應濾波、基于FFT+EMD 濾波、基于EEMD 自適應濾波相對于理想信號均方根誤差、峭度誤差及相位誤差，見表1，其中1～4 依次對應上述4 種方法。EEMD自適應濾波方法均方根誤差和峭度誤差都在2%以下，相位誤差小于2.1°，滿足計算精度。這說明對于低頻加速度信號的積分處理問題，較之其他3 種方法，EEMD 自適應濾波方法所得的結果精度更高。

表1 積分結果誤差分析表Tab.1 Analysis table of integral result error

3 振動臺數據采集試驗

采用多通道振動數據同步采集系統對振動臺振動加速度信號進行采集，分別用基于頻域帶通濾波、基于EMD 自適應濾波、基于FFT+EMD 濾波和基于EEMD 自適應濾波處理4 種方法進行振動動態位移重構，將得到的位移信號與振動臺給出的參考位移進行對比，來檢驗基于EEMD 自適應濾波方法位移重構的有效性。

3.1 基于振動臺的數據采集及算法驗證試驗

圖10為振動臺實物圖，從圖中可以看出，基于振動臺的數據采集及算法驗證試驗主要設備有：雙軸振動臺；三軸MEMS加速度傳感器；振動臺變頻控制器；多通道加速度采集系統；以太網線連接的上位機。

圖10 振動臺實物圖Fig.10 Vibration table physical map

振動加速度信號由振動臺給出，通過振動臺變頻控制器控制一對偏心輪實現垂直與水平二維變頻振動控制，以此來產生不同維數與幅度的振動模擬量。在試驗中設置振動頻率為9 Hz，根據振動臺手冊得知振幅為1 mm。三軸MEMS 加速度傳感器采集振動臺振動的加速度，通過多通道加速度采集系統將加速度信號傳輸到上位機。在上位機平臺上用上述4 種方法實現振動臺位移重構，并對不同方法進行比較分析。

圖11 為振動臺加速度信號及頻譜圖。圖中顯示了振動采集系統以1 kHz 的采樣頻率持續采樣10 s 的波形數據，頻譜顯示振動臺信號的頻率主要集中在9 Hz，與振動臺設置的振動頻率參數一致。從加速度信號的頻譜中可以直觀地看到，存在幅度較大的低頻分量。為了更好地過濾干擾因素，頻域濾波處理過程中通帶頻率設置為5～30 Hz。

圖11 采集到的振動臺振動加速度及頻譜Fig.11 Collected vibration table vibration acceleration and spectrum

3.2 振動臺動態位移重構

圖12 為分別采用前述的4 種方法對采樣到的振動臺加速度信號進行處理后得到的振動臺動態位移信號的結果圖。從頻域圖中可以看出，基于頻域帶通濾波處理、基于FFT+EMD 濾波處理和基于EEMD濾波處理這3 種方法都有效地濾除了小于1 Hz 的低頻分量。但是由于模態混疊和端點效應，基于EMD濾波得到結果首尾兩端有大幅度的失真，尤其是尾部失真后的幅值達到了有效信號的40倍以上。

圖12 振動臺動態位移重構的結果Fig.12 Reconstruction result of dynamic displacement of shaking table

為了對基于EMD 濾波處理的失真原因進行分析，圖13 展示了加速度信號EMD 分解得到的IMF分量及頻譜圖。從圖中可以看到，IMF3與IMF4的頻段為9 Hz，與振動臺振動頻率相符。但是IMF3與IMF4出現了模態混合現象與端點效應，尤其是IMF4端點處的失真達到了有效信號的1.5 倍以上。誤差經過積分后放大，這使得誤差積分放大后造成嚴重偏移，直接影響經驗模態分析的效果。

圖13 加速度信號EMD 分解得到的部分IMF 分量Fig.13 Partial IMF component decomposed by acceleration signal EMD

圖14 為基于EMD 濾波處理得到的速度信號。該信號是將圖13 中的IMF3和IMF4重構，得到濾波后的加速度信號a′，然后對a′進行積分得到的速度信號v。從圖14 中可以看出，對于加速度信號的濾波處理沒有有效地濾除低頻分量。

圖14 基于EMD 濾波處理得到的速度信號Fig.14 Speed signal based on EMD filtering

對積分得到的速度信號EMD 進行分解，如圖15所示。從圖15 可以看出，IMF1為需要提取出的重構速度信號v′，但是由于端點效應，在信號的末尾處有大幅度的失真。從IMF1的頻譜圖可以看出，在EMD分解過程中發生了模態混疊，除了頻率為9 Hz 的有效信號外，IMF1中混疊了一部分低頻分量。端點效應和模態混疊想象所造成的誤差會隨著積分而放大。

圖15 速度信號EMD 分解得到的部分IMF 分量Fig.15 Partial IMF component decomposed by speed signal EMD

對重構速度信號v′積分后得到位移信號s，如圖16 所示。對圖16 的位移信號進行EMD 分解，得到重構后的位移信號如圖12（b）所示?？梢钥闯鲭S著積分的進行，EMD 端點效應和模態混疊所造成的誤差在累計增大，基于EMD 濾波方法對實測振動信號進行處理效果并不理想。

圖16 基于EMD 濾波處理得到的位移信號Fig.16 Displacement signal based on EMD filtering

圖17 為基于頻域濾波處理的振動臺位移信號EMD 分解得到的部分IMF 分量及頻譜。該方法是想通過EMD 分解，濾除頻域濾波過程中所產生的截斷誤差等干擾項，但是在EMD 分解的過程中發生了模態混疊，反而加大了誤差。從圖中可以看出，IMF1為重構后的位移信號。

圖17 基于頻域濾波處理的振動臺位移信號EMD 分解部分IMF 分量Fig.17 Partial IMF component of vibration table displacement signal EMD based on frequency domain filtering

綜合來看，基于EEMD 自適應濾波處理方法得到的位移信號精度更高。通過對加速度信號、速度信號和位移信號采用EEMD 依次分解，剔除高頻噪聲和低頻趨勢項并進行重構，基本消除了原始振動臺加速度信號中的高頻噪聲、低頻趨勢項以及直流分量的影響。從數據結果圖可以看出，振動臺以9 Hz 頻率振動時的動態位移峰峰值為2 mm，與振動臺手冊給出的一致，驗證了此算法重構位移的有效性。

4 橋梁實地試驗結果分析

4.1 公路高架橋梁的數據采集及算法驗證試驗

試驗測試場地選用一座高約15 m 的公路高架橋梁。通過對橋梁結構分析，當車輛通過時，橋梁跨中振動幅度最大。因此，本次試驗選擇在橋梁跨中安裝三軸MEMS 加速度傳感器。試驗中，結合視頻錄像分析不同類型車輛經過時產生的不同橋梁動態響應。

圖18 為橋梁現場數據采集環境搭建示意圖，圖19 為橋梁現場數據采集實物圖。橋梁現場數據采集環境搭建包括三軸MEMS 加速度傳感器、振動數據采集系統、鋰電池、工控機、4G 路由器和便攜式TFT 屏等。三軸MEMS 加速度傳感器將橋梁的振動加速度信號轉換成電壓信號，振動數據采集系統對電壓信號進行采樣，在內部實現A/D 轉換，并通過以太網將采樣數據傳輸至工控機中保存?，F場有便攜式TFT 屏可以實時查看系統運行狀態，工控機通過4G 路由器連接網絡，通過遠程電腦進行監控。

圖18 橋梁現場數據采集環境搭建示意圖Fig.18 Schematic diagram of bridge site data collection environment

圖19 橋梁現場數據采集實物圖Fig.19 Bridge site data collection physical map

結合攝像頭錄制的視頻，重點選取有重載貨車與大型運渣卡車經過時引起的橋梁動態振動位移，這時橋梁的動態位移較大，從中獲取的結構行為特征較為明顯。根據橋梁動態位移、車輛類型、行駛速度及道路粗糙條件等，可以建模獲得動態交通荷載下短跨、中跨橋梁疲勞應力，從而對橋梁的疲勞可靠性進行評估［14］。

圖20 為截取的一段時長為60 s 的橋梁振動加速度信號及頻譜。從圖中可以看出，橋梁振動加速度信號頻率為2.487 Hz，且存在幅值較高的低頻直流分量，所以本次試驗在頻域濾波處理過程中通帶頻率設置為1～30 Hz。

圖20 橋梁振動加速度信號及頻譜Fig.20 Bridge vibration acceleration signal and frequency do‐main spectrum

4.2 橋梁位移重構

分別用基于頻域帶通濾波、基于EMD 自適應濾波、基于FFT+EMD 濾波和基于EEMD 自適應濾波處理4 種方法實現橋梁動態位移重構。位移重構結果如圖21 所示。

圖21 中橋梁動態位移有2 個峰值，結合攝像頭所拍攝的錄像，第1 個峰值是由一輛小轎車引起的動態振動位移，峰值比較小，并且很快衰減到零；第2 個峰值則是一輛大型滿載卡車引起的，峰值較大，最高達到1.4 mm，并且自由衰減時間較長，衰減時間大概持續了35 s。利用這些數據可以做出橋梁預警并求出橋梁的部分結構特征，比如橋梁的固有頻率和阻尼比等。從圖21（b）可以看出，由于模態混疊現象和端點效應，基于EMD 自適應濾波方法重構的動態位移信號已經完全失真。

圖21 橋梁動態位移重構的結果Fig.21 Results of reconstruction of bridge dynamic displacement

圖22 為基于FFT+EMD 濾波處理后的位移信號和基于頻域濾波處理后的位移信號的對比圖。紅色信號線和藍色信號線分別表示基于頻域帶通濾波處理和基于FFT+EMD 濾波處理得到的位移信號，整體上兩者幾乎重合。但在0～0.5 s 內，由于EMD 分解產生的端點效應，基于FFT+EMD 濾波處理后的位移信號出現了小幅度的信號失真。上述仿真結果表明，在對這段信號處理的過程中，EMD分解起到的優化效果有限，反而由于EMD 分解過程中端點效應，加大了位移結果的誤差。

圖22 圖21(a)和圖21(c)位移信號對比圖Fig.22 Figure 21 (a) and figure 21 (c) displacement signal comparison chart

圖23 為基于頻域濾波處理和基于EEMD 自適應濾波處理得到的位移信號對比圖。紅色信號線和藍色信號線分別表示基于頻域帶通濾波處理和基于EEMD 濾波處理得到的位移信號。雖然從整體上來看兩者位移信號幾乎重合，但是在前8 s 沒有車輛經過，理論上位移信號應該為零的區間段內，基于EEMD 自適應濾波處理得到的位移信號濾波效果最好。

圖23 圖21(a)和圖21 (d)位移信號對比圖Fig.23 Figure 21 (a) and figure 21 (d) displacement signal comparison chart

5 結束語

本研究利用EEMD 算法從振動加速度信號到位移信號逐次分解重構，依次對振動加速度信號、速度信號以及位移信號進行修正，最終重構出滿足計算精度的位移信號。通過軟件仿真、振動測試臺驗證和現場試驗，與基于頻域濾波處理方法、基于EMD 自適應濾波處理方法、基于FFT+EMD 濾波處理方法進行比較，驗證了基于EEMD 自適應濾波算法重構橋梁動態位移的有效性。