大長細(xì)比伸縮臂的非線性位移相似關(guān)系研究

曹旭陽，董 想，顧振華

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

1 引言

伸縮臂是一種被廣泛使用的起重機(jī)臂架形式，具有較為顯著的優(yōu)點(diǎn)，主要體現(xiàn)在當(dāng)作業(yè)幅度相對較小時能夠獲得更高的起重能力，而在相同的起重性能的條件下又能實(shí)現(xiàn)更大的作業(yè)范圍和高度。隨著整體起重能力的不斷升級，伸縮臂為滿足高承載、大作業(yè)高度和輕量化等要求，逐漸朝著大長細(xì)比結(jié)構(gòu)發(fā)展。

伸縮臂變形的位移，或稱屈曲，是其力學(xué)性能的重要考量因素。大長細(xì)比的結(jié)構(gòu)使得其位移分析呈現(xiàn)顯著的非線性特征[1]，這極大地增加了伸縮臂分析和設(shè)計(jì)工作的難度。有限單元法是一種有效的力學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法，應(yīng)用有限單元法進(jìn)行伸縮臂的位移分析[2-6]有助于解決復(fù)雜的臂架受力問題。近年來，眾多學(xué)者的相關(guān)研究使得伸縮臂的屈曲位移分析方法日益成熟。文獻(xiàn)[7]以非線性屈曲分析的弧長法來研究伸縮起重臂在實(shí)際工況下的非線性局部屈曲問題，并對ANSYS軟件進(jìn)行重新開發(fā)，得到了懸臂非線性局部屈曲的臨界應(yīng)力解。文獻(xiàn)[8]使用Riks方法進(jìn)行非線性屈曲分析，采用擾動有限元模型來研究由復(fù)合制造過程產(chǎn)生的實(shí)腹結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性行為的影響。文獻(xiàn)[9]引入邊界條件和變形協(xié)調(diào)方程，通過建立不穩(wěn)定臨界狀態(tài)下懸臂和支柱的彎扭變形微分方程，得到平面外屈曲特征方程的解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[10]建立了橫力作業(yè)下伸縮起重臂模型的撓度微分方程，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，給出了屈曲特征方程的遞推公式。文獻(xiàn)[11]考慮到與弦連接的腹板構(gòu)件的約束效應(yīng)，在分析中將十字型桁架結(jié)構(gòu)合理地簡化以獲得單個弦的屈曲載荷，通過梁柱理論建立了相應(yīng)的簡化力學(xué)模型。文獻(xiàn)[12]基于縱橫彎曲理論，建立了彈性支撐條件下變截面階梯柱撓曲微分平衡方程，結(jié)合邊界條件，得到了任意階變截面階梯柱端部撓度及結(jié)構(gòu)失穩(wěn)特征方程的精確遞推表達(dá)式。文獻(xiàn)[13]為研究影響伸縮臂起重能力的不同因素的作用機(jī)理和水平，基于非線性有限元方法建立了多組伸縮臂模型，采用弧長法分析整體過程中的結(jié)構(gòu)非線性變形。文獻(xiàn)[14]提出了一種應(yīng)用臨時約束的方法來防止由于大臂傾斜而引起的非收斂問題，應(yīng)用增量載荷法、增量位移法和牛頓拉夫遜法來評估完整的載荷與撓度響應(yīng)和準(zhǔn)確的臨界載荷。文獻(xiàn)[15]基于同向旋轉(zhuǎn)方法，定義嵌入坐標(biāo)系，并給出了子結(jié)構(gòu)單元的節(jié)點(diǎn)力平衡方程和切向剛度矩陣。文獻(xiàn)[16]運(yùn)用相似理論對液壓機(jī)機(jī)身結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，簡歷相似關(guān)系，準(zhǔn)確預(yù)測了液壓機(jī)原型的變形量及應(yīng)力值。文獻(xiàn)[17]對伸縮臂進(jìn)行有限元分析和優(yōu)化，對原有結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)，在減輕重量的同時，使伸縮臂各構(gòu)件的受力更加均勻。

伸縮臂的位移分析是大型臂架類起重機(jī)設(shè)計(jì)工作的重要指標(biāo)，直接影響到起重機(jī)的工作性能及工作安全性。針對大型起重機(jī)設(shè)計(jì)周期長且缺乏系統(tǒng)的產(chǎn)品型譜規(guī)劃及系列化設(shè)計(jì)方法和理論基礎(chǔ)的現(xiàn)狀，應(yīng)用相似理論，分析起重機(jī)伸縮臂的屈曲位移，通過研究伸縮臂位移的相似關(guān)系，實(shí)現(xiàn)大長細(xì)比伸縮臂的非線性位移的快速求解，并以此指導(dǎo)伸縮臂的設(shè)計(jì)，提高伸縮臂的位移分析和設(shè)計(jì)工作的效率。

2 伸縮臂屈曲計(jì)算的力學(xué)基礎(chǔ)

2.1 伸縮臂的受力模型

伸縮起重臂的結(jié)構(gòu)形式為嵌套式連接的箱形臂結(jié)構(gòu)。以一個包含3個節(jié)臂的伸縮起重臂為例，其結(jié)構(gòu)簡圖，如圖1所示。從基本臂(底節(jié)臂)到頂節(jié)臂層層嵌套，各節(jié)臂的截面形狀基本保持不變，隨著越靠近頂節(jié)截面尺寸逐漸減小，臂節(jié)的長度也相應(yīng)縮短，因而基本臂截面最大，長度也最大。

圖1 伸縮起重臂結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure of the Telescopic Toom

伸縮起重臂主要的受力來源有四個，分別是底節(jié)臂上兩個鉸支點(diǎn)處的力，頂部吊點(diǎn)位置的力和臂架自身所受的重力。在做受力分析計(jì)算時，將臂架分別落到變幅平面和回轉(zhuǎn)平面內(nèi)研究是一種可行而有效的做法。在變幅平面內(nèi)分析時，可將伸縮臂簡化成一個變截面外伸梁模型，底節(jié)臂上的支點(diǎn)簡化成鉸支點(diǎn)；在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)分析時，可將伸縮臂簡化成一個變截面懸臂梁模型。

伸縮臂在變幅平面內(nèi)的受力簡圖，如圖2所示。在變幅平面內(nèi)，定義臂架底部的鉸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，臂架軸線方向向上為x軸正方向，垂直于x軸并向下的方向?yàn)閥軸正方向。伸縮起重臂受到臂端的軸向力T，橫向力P和彎矩Mf，除此之外還受到整體臂架自身重力的影響。

圖2 伸縮臂變幅平面受力簡圖Fig.2 Schematic Diagram of the Deflection Plane of the Telescopic Arm

伸縮臂在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)的受力簡圖，如圖3所示。在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)，定義臂架底部的鉸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，臂架軸線方向從臂架底部到臂架頂部的方向?yàn)閤軸正方向，垂直于x軸并向下的方向?yàn)閦軸正方向。伸縮起重臂僅受到臂端的側(cè)向力P，軸向力T和彎矩Mh。由于重力方向并不在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)，因而臂架自重的影響只在變幅平面內(nèi)考慮。

圖3 伸縮臂回轉(zhuǎn)平面受力簡圖Fig.3 Force Diagram of the Rotating Plane of the Telescopic Arm

2.2 伸縮臂在大位移理論下的描述

傳統(tǒng)的線性梁的模型屬于小變形小位移情況，即一階理論的應(yīng)用范疇。一階理論相較于二階理論主要的區(qū)別是沒有考慮軸向力的影響。對于一般的梁模型，若其只受到軸向力作用而不受到任何的橫向力的影響的話，則是一個典型的壓桿穩(wěn)定的問題；若其只受到橫向力的影響而沒有軸向力存在的話，則是純彎曲問題，不涉及二階理論。若梁模型同時受到橫向力和軸向力的作用，二者均不能忽略，則會產(chǎn)生二階效應(yīng)，其計(jì)算需要依據(jù)二階理論進(jìn)行。二階梁模型受力簡圖，如圖4所示。

圖4 二階梁模型受力簡圖Fig.4 Force Diagram of the Second-Order Beam Model

一階理論下彎矩和撓度的計(jì)算公式：

二階理論下彎矩和撓度的計(jì)算公式：

式中：M0—一階理論下梁內(nèi)部彎矩；Δ0—一階理論下梁端點(diǎn)撓度；l—梁的總長；E—彈性模量；I—梁身截面的慣性矩；M—二階理論下梁內(nèi)部彎矩；Δ—二階理論下梁端點(diǎn)撓度；K——中間變量，；Tcr——臨界軸向力，也稱為臨界壓力，基于壓桿穩(wěn)定理論，Tcr=

對比式(1)和式(2)可知，二階理論相比于一階理論最大的不同在于考慮了軸向力產(chǎn)生的彎矩，而這一彎矩的產(chǎn)生與變形有關(guān)，變形的增加會加劇二階效應(yīng)的影響。相比較而言，顯然二階理論提供的計(jì)算方法所能實(shí)現(xiàn)的計(jì)算精度比一階理論要高出很多，但是在大位移的情況下，二階理論也會出現(xiàn)不適用的情況，而此時就需要涉及大位移理論。大位移梁模型受力簡圖，如圖5所示。

圖5 大位移梁模型受力簡圖Fig.5 Stress Diagram of Large Displacement Beam Model

大位移理論下彎矩的計(jì)算：

對比圖4和圖5可知，大位移理論考慮了臂端在x軸方向的位移，而二階理論沒有考慮，這就是這兩者最大的區(qū)別，這一點(diǎn)也同樣體現(xiàn)在兩種理論下彎矩的計(jì)算公式上。

3 伸縮臂的相似關(guān)系建立

3.1 方程分析法推導(dǎo)相似約束關(guān)系

應(yīng)用方程分析法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則是一種比較有效的方法，此方法使用的前提是列出一個或一組能夠用來有效描述物理現(xiàn)象的方程(通常是微分方程)?，F(xiàn)有的研究手段僅能就線性的微分方程應(yīng)用方程分析法推導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，研究范疇內(nèi)僅能將方程分析法作為一種輔助手段，推導(dǎo)出一些相似約束關(guān)系。

純彎曲理論的精確的撓度微分方程：

基于大位移理論的臂架內(nèi)部彎矩的計(jì)算：

結(jié)合式(4)和式(5)，得：

原型的撓度微分方程形，如式(6)所示。對于模型的各項(xiàng)物理量以上標(biāo)“＇”表出，得模型的撓度微分方程：

通過相似比將模型中的物理量轉(zhuǎn)換成原型中相應(yīng)的物理量，則式(7)可改寫成：

式中：C1—慣性矩相似比，其數(shù)值等于原型產(chǎn)品的慣性矩與模型產(chǎn)品的慣性矩相除之商。其他相似比類似。

假定在臂架設(shè)計(jì)的過程中選用相同的材料，則關(guān)于材料屬性的相似比均為1，即：

結(jié)合式(6)、式(8)和式(9)，得：

從式(10)還無法總結(jié)具體的相似關(guān)系，而對于此式，若不補(bǔ)充具體的相似比條件，則已經(jīng)是最簡形式，因此有必要在此處補(bǔ)充新的相似比條件。假定撓度與水平軸位置的相似比是相等的，其實(shí)際含義為撓度的大小變化倍數(shù)與水平軸變化的倍數(shù)相同，其數(shù)學(xué)描述式如下：

水平軸位置的變化包含了初始狀態(tài)下臂長的數(shù)值，因而有：

將式(12)代入到式(10)，得：

對上式進(jìn)行一些變化，可得：

對于伸縮臂臂端受到的橫向力和軸向力，有：

根據(jù)載荷相似的單值條件，模型與原型臂架的仰角被假定成是不變的。結(jié)合式(14)和式(15)，得：

值得注意的是，式(16)中非相似比的各變量都是原型系統(tǒng)中的物理量，這也符合以分析原型為基礎(chǔ)的相似關(guān)系研究思路。

3.2 量綱分析法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則

量綱分析法是基于量綱齊次原則發(fā)展而成的，作為一種推導(dǎo)相似準(zhǔn)則的方法操作最為方便，也比較有效，只需選擇好能夠表征相應(yīng)現(xiàn)象的合適的物理量就能快速獲得其相似準(zhǔn)則，并不需要列舉任何物理方程，對于那些內(nèi)部機(jī)理尚不清晰，運(yùn)動規(guī)律并未掌握的現(xiàn)象尤為有效。

研究選取在力系統(tǒng)的基本量綱下進(jìn)行。盡管牽涉到運(yùn)動分析，但由于臂架系統(tǒng)的各項(xiàng)特性不受時間參數(shù)影響，不涉及時間量綱S。完整的反映系統(tǒng)的各物理量及其量綱形式，如表1所示。

表1 伸縮臂模型各物理量及其量綱Tab.1 Physical Quantities of the Telescopic Arm Model and Their Dimensions

對于10個完整構(gòu)成物理系統(tǒng)的物理量，每個物理量有各自的量綱組成。給這些量綱各自一個指數(shù)再以乘積的形式組合到一起：

將上式進(jìn)行變換，得：

相似準(zhǔn)則的推導(dǎo)實(shí)際上就是對式(18)求解，由于式(18)的解不唯一，任何一組能滿足其關(guān)系式的解都可以構(gòu)成一組相似準(zhǔn)則。但實(shí)際操作中，選取合適的相似準(zhǔn)則形式可以極大地簡化后續(xù)推導(dǎo)和試驗(yàn)的難度。

將式(18)轉(zhuǎn)換成矩陣形式：

求上式通解，得：

上式中的每個特解各對應(yīng)一個相似準(zhǔn)則，由此可得8個相似準(zhǔn)則：

由式(15)，可得：

由于相似準(zhǔn)則為不變量，則上式中的角度量θ在相似關(guān)系中需保持恒定，即在相似關(guān)系研究范圍內(nèi)，原型臂架與模型臂架工作狀況下的仰角恒定。這就是載荷相似單值條件中給出仰角相似比等于1的原因。

由式(12)，可知形如∏5和∏6的單項(xiàng)式在原型和模型之間保持不變，這也符合相似準(zhǔn)則為不變量的原則。

量綱分析法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則，簡單易操作，以相似準(zhǔn)則為不變量的原則可進(jìn)而推導(dǎo)的一套完整的相似關(guān)系。但是量綱分析法所得的相似關(guān)系是線性的，是一種近似關(guān)系，因相似準(zhǔn)則都是單項(xiàng)式的形式，與之對應(yīng)的相似比關(guān)系是線性的。這種線性的相似關(guān)系并不是本課題研究所希望得到的結(jié)果。

式(21)所列出的8個相似準(zhǔn)則中，∏4已由載荷相似單值條件定義其不變量特性成立，此外∏5和∏6已由補(bǔ)充條件式(12)說明其不變量特性。

3.3 相似關(guān)系的建立

方程分析法和量綱分析法都是相似準(zhǔn)則的推導(dǎo)方法。若提供的方程為一線性方程，則應(yīng)用方程分析法可以得到和量綱分析法同等的結(jié)果。若提供的方程為非線性方程，則無法推導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，但能得到一組相似比之間的關(guān)系式，這是一種非線性的關(guān)系。

簡單來說，量綱分析法能夠推導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，但所得的相似關(guān)系是線性的；方程分析法不能推導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，但能得到非線性的相似關(guān)系，但是不能構(gòu)成完整的相似關(guān)系。以方程分析法推導(dǎo)所得的相似比關(guān)系式為核心，從量綱分析法所得的相似準(zhǔn)則中選擇部分具有明顯線性關(guān)系的作為相似關(guān)系的補(bǔ)充，以此構(gòu)成完整的同時具有非線性特性的相似關(guān)系。

形如式(4)的二階非線性微分方程的解是三次函數(shù)形式，因而δ和l的相似比間存在的函數(shù)關(guān)系式最多是三階的，即：

式中：ξ1,ξ2,ξ3,ξ4——待定系數(shù)。

將原型的δ和l參數(shù)的數(shù)值作歸零化處理，則：

結(jié)合式(23)和式(24)，可得：

將式(23)等式兩邊對C1求導(dǎo)，得：

將原型的δ和l參數(shù)的數(shù)值作歸零化處理，由式(23)可知Cδ是Cl的高階無窮小值，可推得：

同上理，進(jìn)而可得：

至此式(23)可改寫為：

將式(29)代入式(16)，得：

假定Cw=Cl=CF=CI=1，即模型與原型完全相同的情況，代入式(30)，可得：

則式(30)可改寫成：

上式即為變幅平面內(nèi)伸縮起重臂單元的位移相似關(guān)系表達(dá)式，也是其相似設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。此處需要注意，此前所得的局部相似關(guān)系式，如式(12)和式(23)，為理論計(jì)算過程中給定的初始關(guān)系，不應(yīng)作為應(yīng)用的依據(jù)。而式(32)為最終所得單元位移相似關(guān)系表達(dá)式，對于具體伸縮臂間相似關(guān)系的計(jì)算僅以此式為基準(zhǔn)。

由于這里的一些推導(dǎo)過程中不可避免地使用了近似替代，所得的相似關(guān)系并不是完全精確的理論公式，因而當(dāng)原型與模型的某項(xiàng)參數(shù)的相似比較大時，結(jié)果會產(chǎn)生較大偏差。

在回轉(zhuǎn)平面內(nèi)，伸縮起重臂依然受到臂端軸向力T的作用，但橫向上受力變?yōu)閯虞d載荷和慣性力以及風(fēng)載的合力，以P表示這部分力。此時軸向力與橫向上的力依舊具有比例關(guān)系，則式(16)可改寫為：

將式(29)和式(32)代入上式，得：

經(jīng)典的有限單元法從位移方程出發(fā)計(jì)算整體位移，將位移相似比關(guān)系式代入有限單元法，以單元位移相似比關(guān)系替換原有的單元形函數(shù)，通過迭代計(jì)算可得整體臂架的位移相似關(guān)系，利用有限單元法的單元集結(jié)方法完成從單元的位移相似關(guān)系到整體臂架的位移相似關(guān)系的轉(zhuǎn)換。

4 伸縮臂相似關(guān)系驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

研究安排了實(shí)驗(yàn)對所得的位移相似關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)主要驗(yàn)證變幅平面內(nèi)臂架的撓度與各設(shè)計(jì)參數(shù)間的關(guān)系。設(shè)計(jì)并制造了4組實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停鶠橄湫伪鄣慕Y(jié)構(gòu)，主體結(jié)構(gòu)相似，臂長和截面尺寸參數(shù)不相同。一號實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)示意圖，如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵皇疽鈭DFig.6 Schematic Diagram of the Experimental Model

臂架的截面形狀為矩形，為四塊鋼板焊接而成，鋼板厚度均選為6毫米，材料為Q345B鋼。模型一由三節(jié)臂拼接而成，各節(jié)臂截面尺寸不同，相互嵌套，在連接處布置有尼龍墊板并以螺栓螺母連接，保證連接處傳力平穩(wěn)。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵痪唧w尺寸參數(shù)，如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵怀叽鐓?shù)Tab.2 Size Parameters of Experimental Model One

其余三組實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)相比于模型一取消了多節(jié)臂拼接的形式，而以恒截面臂形式替代，且后三組模型的臂長相同。這種多組不同截面尺寸的恒截面臂進(jìn)行對比的實(shí)驗(yàn)方案更便于總結(jié)截面尺寸變化對力學(xué)性能的影響。材料方面仍采用6mm厚的Q345B鋼板。其具體尺寸參數(shù)，如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ投?、三、四尺寸參?shù)Tab.3 Experimental Model Second,Third and Fourth Size Parameters

實(shí)驗(yàn)中被吊物質(zhì)量分別選取為1050kg和1680kg，每個實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ投夹璋从奢p到重的順序進(jìn)行兩種載荷的測試。臂架的自然狀態(tài)仰角選為20°和50°，每個實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ投夹璋从尚⊙鼋堑酱笱鼋堑捻樞蜻M(jìn)行測試。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)物圖，如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.7 Experimental Model

每個實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜕隙及才帕巳帨y量點(diǎn)以安裝傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)測量，測量點(diǎn)均布置在臂架的下表面，傳感器置于測量點(diǎn)豎直下方的水平地面上。一號測量點(diǎn)靠近臂架頂端，但仍保持一段距離；二號測量點(diǎn)布置在頂節(jié)臂與中間節(jié)臂連接的位置，三號測點(diǎn)布置在支撐桿與臂架鉸接位置處。傳感器將記錄下一段時間內(nèi)測量點(diǎn)到地面的距離，其中一、二號測點(diǎn)是為描述測點(diǎn)位移量，而三號測點(diǎn)進(jìn)行測距再以反三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算臂架變形后的仰角。以仰角、臂長和測點(diǎn)位置信息可推導(dǎo)出臂架的自然狀態(tài)位置，而一、二測點(diǎn)所測得的數(shù)據(jù)描述了變形后的位置，前后位置信息對比之下可得出一、二兩處測點(diǎn)位置的位移量。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵坏臏y量點(diǎn)位置，如圖8所示。

圖8 模型一測量點(diǎn)示意圖Fig.8 Schematic Diagram of the Measurement Point of Model One

設(shè)定工況一下吊物重量為1050kg，小仰角；工況二下吊物重量為1680kg，小仰角；工況三下吊物重量為1050kg，大仰角；工況四下吊物重量為1680kg，大仰角。各實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@得的仰角和兩處測點(diǎn)位置的位移數(shù)據(jù)，如表4～表6所示。

表4 模型實(shí)測仰角Tab.4 The Measured Elevation Angle of the Model

表5 測點(diǎn)一位移Tab.5 Displacement of Point One

表6 測點(diǎn)二位移Tab.6 Displacement of Point Two

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比分析分為3組，依次分別是：模型實(shí)驗(yàn)二對比模型實(shí)驗(yàn)三，模型實(shí)驗(yàn)三對比模型實(shí)驗(yàn)四，模型實(shí)驗(yàn)一對比模型實(shí)驗(yàn)三。均采用較大載荷的工況進(jìn)行對比。每一對對比分析分為正向?qū)Ρ群头聪驅(qū)Ρ?，其區(qū)別在于對比實(shí)驗(yàn)中以何為原型，又以何為模型。取對比實(shí)驗(yàn)中的前者為原型稱為正向?qū)Ρ?，取后者為原型稱為反向?qū)Ρ?。每組對比皆包含兩種工況下的對比。具體的對比結(jié)果，如表7～表8所示?；诒?和表6，直接考量載荷相似因素對于位移相似關(guān)系的影響，選擇模型一和模型二的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行這方面的對比。此處規(guī)定以小載荷的工作情況為原型的對比稱作正向?qū)Ρ龋源筝d荷的工作情況為原型的對比稱作反向?qū)Ρ取Ρ戎卵芯克玫南嗨圃O(shè)計(jì)方法產(chǎn)生的誤差結(jié)果，如表9所示。

表7 測點(diǎn)一位移相似設(shè)計(jì)方法相對誤差Tab.7 Relative Error of Similar Design Method for Point 1 Displacement

表8 測點(diǎn)二位移相似設(shè)計(jì)方法相對誤差Tab.8 Relative Error of Similar Design Method for Point 2 Displacement

表9 相似設(shè)計(jì)方法關(guān)于載荷相似的相對誤差Tab.9 Similar Design Methods for Relative Errors of Load Similarity

分析表7～表9可知，相似關(guān)系計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比產(chǎn)生的誤差數(shù)據(jù)中，同一實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牟煌r的相似對比誤差接近，同組對比中的正向?qū)Ρ群头聪驅(qū)Ρ鹊玫降恼`差也很接近，而模型二與其他模型進(jìn)行的對比所得的誤差較大。由于實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹圃旌桶惭b過程中的不可控因素較多，而單純的不同工況的對比僅進(jìn)行不同載荷的實(shí)驗(yàn)，載荷數(shù)據(jù)可精確測得且基本無其他干擾因素，相同實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牟煌r的相似對比誤差接近，因而研究所得的相似關(guān)系式具有很高的一致性。同組對比中的正向?qū)Ρ群头聪驅(qū)Ρ然谙嗤膶?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，同樣有比較接近的誤差值，再次驗(yàn)證相似關(guān)系式的一致性，且說明這種相似關(guān)系是相互的。模型二與其他模型進(jìn)行的對比所得的誤差較大，但模型二的不同工況間對比所得誤差很低，推測模型二具有一定的制造或安裝誤差。研究所得的相似關(guān)系式具有較好的一致性，整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)的誤差符合預(yù)期。說明課題研究思路正確，所得的相似關(guān)系具有一定的可靠性。

5 結(jié)論

針對國內(nèi)伸縮臂設(shè)計(jì)領(lǐng)域的產(chǎn)品繼承性不足和缺乏有效的系列化設(shè)計(jì)方法的問題，從伸縮臂屈曲分析出發(fā)，利用大位移理論對伸縮臂問題進(jìn)行描述，將其力學(xué)描述式代入相似理論的方程分析法以推導(dǎo)相似約束關(guān)系，以量綱分析法推導(dǎo)所得的相似準(zhǔn)則作為補(bǔ)充推導(dǎo)伸縮臂位移的相似關(guān)系式。

以4組實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ透髯赃M(jìn)行4種工況下關(guān)鍵位置的位移測試，選取不同實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃筒煌d荷情況下實(shí)驗(yàn)所得的位移數(shù)據(jù)分別進(jìn)行共計(jì)40組的對比分析，通過研究所得的相似關(guān)系式預(yù)測各組對比模型的位移相似關(guān)系，并將其與實(shí)驗(yàn)測得的位移相似關(guān)系進(jìn)行對比。對比結(jié)果符合預(yù)期，表明研究所得的相似關(guān)系式具有一定的可靠性。