從整體性認識走向結構化教學

趙一峰

[摘 要]數學知識是有結構的，知識的相互聯系首先體現在整體性。教學“數的認識”時，教師對自然數、分數、小數采用整體性認識和結構化教學策略，可避免單課教學帶來的知識碎片化的現象，讓學生學會在整體的數學樣貌下，通過學習和思考發(fā)現知識的聯系，促進認知結構的整體化，讓思維走向自主建構的結構化，為終身發(fā)展奠定基礎。

[關鍵詞]數的認識;整體性;結構化

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0021-02

小學數學教學是根據教材的內容分課時進行的，使得學生接受的知識孤立又零碎，具有很大的離散性，學生難以形成完整的知識結構。教師應該在對數學知識的整體性認識的基礎上，構建結構化的教學策略，讓學生通過學習、認識和思考，發(fā)現知識的聯系，對數學知識形成整體的把握，既見樹木又見森林，促進認知結構的整體化，讓思維走向自主建構的結構化。“數的認識”中蘊含豐富的數學思想，比如有序、守恒、集合、模型、對應等，其中的許多思想都可以體現數學的本質。因此，我以“數的認識”為例，討論“從整體性認識走向結構化教學”這一話題所具有的現實意義。

一、加強對“數的認識”的整體性認識

從數系的角度看，數的概念包括自然數、整數、有理數、實數和復數。自然數的概念是人類積累數學知識的開端，也是一切數的基礎。按照皮亞杰的觀點，學習自然數的概念的基礎是數守恒，即數的相互性、同一性和逆反性。

分數由于其表征形式不同，可以有以下幾種理解。

（1）部分與整體的關系：將分數表征成一個整體等分成若干份，其中的幾份與整體相比較的結果。

（2）子集與母集的關系：當全體為離散量，分數的意義為子集與母集的關系，此時將分數表征成一個集合等分后，將其中的幾組與該集合相比較產生的結果。

（3）除法中等分除的商：除法中的等分除明顯與分數相吻合，分數在等分除中的意義是單位量等分的過程與結果。從數學的角度來看，這一定義體現了分數的本質，符合數系擴張的數學思想。

（4）比（比值）：將分數表征成兩數相比的比值、兩個量相比的結果，這里不同于前面的部分與整體的關系。部分與整體是在同一量中的比較，而比是兩個不同量之間的關系，比值是一個數值化的結果。

（5）數軸上的一點：分數是一個數，在數軸上可以找到表示這個數的一個點，這個點和原點的距離與單位長的相對關系形成分數的數值。把分數看作數軸上的一個點，有利于建立數集的序關系和有理數的稠密性概念。

小數概念的形成則有通過分數的“部分與整體”關系或者利用整數的位值概念這兩條基本路徑。

（1）部分與整體的關系。將一個整體等分后，分數是表示其中被指定的部分與整體的關系，當分母為十的冪數，如10、100、1000等，分數就有了另外的表示方法：1/10可寫成0.1，1/100可寫成0.01……因此，有限小數可看成是分數的特例。一位小數是記錄十分之幾的分量，兩位小數是記錄百分之幾的分量……從分數的角度切入，了解到有限小數是由“十等分”分割產生的。一百分之一的分量可從十分之一的分量再“十等分”產生，而一千分之一的分量可從一百分之一分量再“十等分”產生……以此類推，“十等分”的活動可無限地繼續(xù)下去，而此無限分割的觀念正符合了小數稠密性。

（2）利用整數位值概念。在記數系統(tǒng)中，用0～9這10個數字及其被置放的相對位置，來表征全部的非負整數，任何非負整數都可以用展開式表示。例如3456=3×1000+4×100+5×10+6×1，而此展開式可視為以10為基底的多項式。在這樣的記數系統(tǒng)下，個位是記錄幾個一的位置，其位值是1，以它為基點，向左一位是十位，是記錄幾個十的位置，其位值是10;再向左一位是百位，它的位值是100……可以無限地向左延伸下去。為了使得個位也能無限地往右延伸下去，可將10的指數擴充至負整數，往左擴展一位是乘10的結果，那么往右擴展一位便是除以10的結果。利用位值往右擴展的結果，就有了新符號和新位名的產生。

這樣，通過記數系統(tǒng)也可以幫助學生掌握小數的意義。例如，因為0.34=3×0.1+4×0.01，所以小數0.34可看成3個“0.1”和4個“0.01”合成的結果。

由此看來，一些小數可以轉化成分數形式，在這種情況下，小數為分數的子集。但分數的分母并不都以10的乘冪的形式出現，分子除以分母會出現兩種情況，一種是除得盡，這些小數被稱為有限小數;一種是除不盡，這些小數包括循環(huán)小數和無限不循環(huán)小數。

二、構建“數的認識”的結構化教學策略

1.梳理內容，合理排序

無論是自然數、分數，還是小數的產生和發(fā)展，都是人類生產生活的總結。教材根據數的產生與發(fā)展特點，注重創(chuàng)設現實情境，引導學生經歷從具體情境抽象出數的過程，逐步體會數的含義，形成數的概念。

梳理現行的各版本教材發(fā)現，關于“數的認識”的學習步驟都是自然數→分數→小數，其理由大概是人類先認識自然數，后認識分數，再認識小數。人類是先從數量的多少中抽象出了自然數，即用自然數定量刻畫了“有多少”“多多少”等，后來發(fā)現自然數不能描述更小的量，于是創(chuàng)造了分數。不過，通過自然數的學習，學生對于0～9這10個符號表征所有的自然數有了領悟，或者說學生覺得每一個數字通過占有位置，并且相鄰數位的進率為10的規(guī)則計數，是理想的模型。那么一旦出現小于1個、1只、1條……的量，學生便會自覺地應用這個理想中的模型，以10倍進率縮小的方法來計數，從而就有了現代意義上的小數（十進分數）。

由此探討可以發(fā)現，小數相對于自然數來說，更利于遷移，更利于學生理解數字擴張可以在數學內部完成。因此，我建議對“數的認識”的學習順序調整為“自然數→小數→分數”。

在小數之后學習分數，可以幫助學生更好地辨析分數與小數的關系，即理解緣何小數為分母是10的冪的分數;分數與整數的關系，即能整除的值為整數，不能整除的值為分數。這樣調整還有一個好處，就是所有的數都可以放在數軸上認識，有間隔的自然數間可以用分數去填充，使其密集，但是也填不滿，填不滿還可以用無限不循環(huán)小數去占位，從而實現數的密集。

2.加強感悟，培養(yǎng)數感

數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。“數的認識”是數學學習的重要內容，也是培養(yǎng)學生數感的重要載體。

（1）創(chuàng)設情境，在生活中體驗數感。學生對數的感悟離不開生活情境。在教學“數的認識”時，將數學知識與生活場景勾連，喚醒學生已有的生活經驗，引導學生在情境中學習交流，向學生展示數的概念的實質，有助于學生理解數的意義，在頭腦中沿著“具體—表象—抽象”的認識過程逐步建構數的概念。

（2）數形結合，在直觀中發(fā)展數感。數形結合是為了從形的角度來感知數，將抽象的數的含義形象化，為“數的認識”的教學搭建思維的橋梁，拓寬學生對數的理解，在直觀中內化數感。如在認識“百分數”時，教師讓學生從54%、55%和50%中任選一個百分數，用圖形來表示。學生發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，將抽象的百分數形象地轉化為圓點圖、百格圖、扇形圖、線段圖等。這樣一來，抽象知識與直觀形象有機融合，使學生對數的認識不斷加深，拓展了數感培養(yǎng)的空間。

（3）操作交流，在活動中發(fā)展數感。如在認識較小數時，可以通過操作實物的方法來幫助學生建立數感。如教師讓學生擺16根小棒，并提出要求：怎樣能讓別人快速看出你擺了幾根小棒？學生動手操作，有的把2根做1份，有的把5根做1份，還有的把10根扎成一捆，和剩下的放在一起。動手操作加深了學生對“16”這個數的感悟。又如在認數的過程中，可以借助推理估計深化學生對數的意義的理解，這樣能有效地提高學生的數感。如在教學“認識100以內的數”時，教師出示了一個裝滿黃豆的瓶子，讓學生猜約有多少粒。 學生亂猜一通。此時，教師數出30粒黃豆放入同樣大小的瓶子中。這時，學生有了對照，很快就估算出了裝滿黃豆的瓶子中約有多少粒黃豆。估測推理的方法讓學生的感知水平得到了提高，有效地發(fā)展了學生的數感。

3.結構一體，生長延伸

關于“數的認識”的教學，要注重知識點的生長與延伸，把每節(jié)課的知識內容放在整體的知識體系中，關注前后知識的聯系，注重知識的結構性，處理好部分與整體的關系，引導學生感受數學知識的整體性，體會數學知識可以從多角度加以分析、多層次進行理解。在教學安排上，可以對各個知識點采取由淺入深的關聯性的整體教學，并在此基礎上進行適度的延伸拓展，加強對學生數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。例如， 在小學高年級的數學探究活動中，可以利用計算“1+2+3+4+…+99+100=？”向學生滲透數列求和思想。教材中并沒有安排等差數列求和公式的內容，但在學習了“用字母表示數”后，完全可以就此進行知識和能力的延伸拓展，學生也比較容易理解等差數列的求和公式，學會用逐步推進的活動方式簡化抽象公式，不過教師不必做更深入的計算和理解的要求。

總之，教師應把握好數學知識的整體框架，運用有效的教學策略進行結構化的設計和教學，幫助學生在學習的過程中邊學邊建構知識體系。這樣學生得到的不僅是數學的“知識鏈”，更多的是數學思維能力、 學習能力的提升，從而提升數學核心素養(yǎng)，讓思維走向自主建構的結構化。

（責編 吳美玲）