例談如何讓“數學廣角”教學更有數學味

裴奎英

[摘 要]“數學廣角”是人教版教材在課程改革后新開設的板塊，內容新穎有趣，多數是以高度還原的生活事例為情境，因此，操作性和實踐性非常強，但也因為如此，其數學味較淡，綜合實踐的味道較濃。以“烙餅問題”為例，挖掘其背后蘊含的數學思想方法，從而提高“數學廣角”教學的數學味。

[關鍵詞]數學廣角;烙餅問題;數學味

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0025-02

學校開展了一次以四年級“烙餅問題”為主題的同課異構活動，并將對這一課程的不同施教觀點、觀念沖突訴諸文字，達到藝術爭鳴的效果。雖說同課異構的主題是“數學廣角”，誰料有四位教師不謀而合，都選擇了烙餅問題來“開路”。雖說是同課異構，但大同小異，均設有創設情境、自主探究、合作交流、展示匯報等環節。

一、教學烙餅問題的基本流程

1.創設情境，談話導入。四位教師的新課引入都是從拉家常開始。其中一位從早餐聊起，談到當地的特色小吃，一步步將話題引到“烙餅問題”上，再通過展示課件（如圖1），設計系列問題，慢慢轉入正題。

“觀察圖1，你從中讀取了哪些信息？‘每次最多只能烙2張餅說明什么？有何深意？‘兩面都要烙，每面3分鐘又隱含著什么信息？你能用肢體語言演示一下嗎？”這位教師接連提問。

2.自主探究，學具輔助。對烙1張、2張、3張餅的過程進行操作演示，使學生直觀感知。教師在課前準備了3張圓片充當烙餅，學生操作探究。思考烙熟1張、2張餅的最少用時，這對學生來說是小菜一碟，獨自操作即可推出結論。本課的重點在于烙熟3張餅的用時探究。多數教師采用合作探究的方法，交流展示、歸納總結，得出最優方案。為凸顯最優方案，有的教師將其命名為“交錯烙法”。

3.歸納總結，問題解決。對烙餅張數分別為4、5、6時的烙法展開探究，以虛擬推導為主。隨著餅的數量越增越多，操作法越來越力不從心，抽象的虛擬推導法就越來越受歡迎。最后，教師整理總結出烙餅張數與最少用時的統計表。

通過觀察、分析統計表中的數據，總結出兩個規律。（1）烙餅最少用時=烙餅張數×3（烙餅張數>1）。（2）最優化方案分為奇數和偶數兩類來討論。烙餅張數為奇數時，前面的每次烙熟2張餅，剩下3張餅時，采用“交錯烙法”。烙餅張數為偶數時，就直接每次烙熟2張餅，直至烙完。規律（1）是從前后數據的相關性中直接推斷出來的，或者說是憑借直覺和數感猜想出來的，沒有經過嚴密的理論論證，這時需要教師幫助揭示其中的數學原理，這是從數學模型中總結出數學理論的關鍵一步，也是真正體現數學味和挖掘數學本質的破局之舉。教師應該引導學生觀察并推理出：無論是烙多少張餅，要使用時最少，就必須滿足這樣一條準則，那就是每次烙2個面，不讓鍋有空置的情況。如果烙偶數張餅，那么直接每次烙熟2張就可以達到這個效果;如果是烙奇數張餅，最后3張就要采用“交錯烙法”?？偯鏀?烙餅張數×2，又因為每次能夠烙2個面，所以烙餅總次數=總面數÷2=烙餅張數×2÷2=烙餅張數。也就是說，有多少張餅就要烙多少次。再根據每面3分鐘，得出結論：最少用時=烙餅張數×3（烙餅張數>1）。這樣的分析與推導，不但將奇數張餅與偶數張餅的不同烙法化歸一同，而且超越直觀演示層面，直抵數學理論驗證層級。

二、求取各方意見的最大公因數

本次研討活動的一大亮點是邀請了語文教師來客串，順應了課程改革中的“開放性”和“綜合性”兩大要求?？鐚W科的融合，文理兼容的教學理念，注定此次教研活動將不同凡響。

為何“數學廣角”的教學內容數學味逐漸流失？在“烙餅問題”的試教中，語文教師和數學教師的差別主要體現在開頭。語文教師舍棄創設情境這一環，取而代之的是閱讀理解、識字斷句、概括題目大意等考查語文素養的環節。大家認為，語文教師的教學體現了語文味，數學教師的教學則相形見絀，缺少數學味。何以至此？眾人以為是執教教師曲解了教材編寫意圖。

盡管“數學廣角”是以生活情境為題材和敘事背景，但其卻蘊含著統籌方法、整體運算、不完全歸納法等數學思想方法的綜合運用，這才是“數學廣角”的數學成分?！袄语瀱栴}”其實涉及運籌學中的對策論。對運籌學的解析是分三個階段螺旋式上升的。小學階段是設計在簡單事例中，讓學生在解決問題中慢慢領悟，高中階段是通過線性規劃來研究類似研發投資、產業利潤等利益最大化問題來體現，真正對這一部分知識深入探究則要到大學以后。因此，小學階段的“烙餅問題”的教學，重點應該是讓學生學會在解決問題時講對策、講謀略。

制訂對策時，有三要素：策劃人、方案集和最優化方案?！安邉澣恕笔侵笇Σ咧械臎Q策者、掌權者。教學時，應該盡力讓學生成為策劃人。教師可以先列舉規劃旅游出行線路、快遞員送快遞等情境，說明制訂對策可以提高效率、節省成本，然后拋出“烙餅問題”讓學生自主決策，讓學生成為策劃人。如此導入比交談吃什么早餐更有意義?！胺桨讣笔侵缚晒┻x擇的對策的全集?！袄语瀱栴}”首要任務是弄清有多少種烙法，也就是烙法的所有對策，這是決策的前提。沒有全面弄清問題就直接拿出最優方案的做法是盲目沖動的。

以烙3張餅為例，可行方案有很多。如可以烙3次，每次烙1張，也可以烙2次，一次烙2張，另一次烙1張。即使用3張一起的“交錯烙法”，也有8種不同的具體烙法。如此，不但讓學生明白策略的多樣性以及優化的必要性，而且呈現了對策的全集，彰顯了運籌學的第二要素。“最優化方案”是指對各種決策進行考量權衡時，得出的盈虧值。在“烙餅問題”的教學中，對不同的對策方案進行量化評析，核算其盈虧值。以烙3張餅為例，教師可以提出條件，如限制用12或9分鐘烙熟所有餅，讓學生自行決策，并對決策方案做出盈虧分析。

三、怎樣提高數學味

“烙餅問題”的教學過程中存在諸多非數學因素。如3張餅的“交錯烙法”，一位教師先通過多媒體演示烙餅過程，然后讓學生模仿操作。對部分還沒有搞懂的學生，則通過傳、幫、帶的手段，畫出烙餅的方法，確保全員理解。如此煞費苦心，是在進行賣餅的職業培訓嗎？又比如對烙6張餅的分組，一位教師執著于是分成（2，2，2）三組還是分成（3，3）兩組，難道不同分組對最少用時有影響嗎？

出現這些現象，還得從“數學廣角”的目標定位找原因。人教版教材試圖通過“數學廣角”滲透基本的數學方法。因此，從日常生活事例中挖掘出數學思想方法是把握教學目標的關鍵，把握住這個關鍵，數學味自然就留住了。

在“烙餅問題”的探究中，要滲透運用標記符號的意識。以探究3張餅的烙法為例，為區分3張餅的正反面，有的教師涂色，有的貼標簽，多數是用1正、1反等字符表示第1張餅的2個面，其他的以此類推。這些都有標記作用，但是卻忽視了數學形式的要求。義教階段主要是培養和塑造學生的字符代數意識，基于這一理念，給餅的各面標記一個專業的數學符號效果更妙。

先說3張餅，首先分別用a、b、c表示。其次，考慮到每張餅有2個面，分別用下標1、2進行區分。如此一來，3個餅的6個面就有6個字符組合，于是最優方案就是將這6個字符組合分成3組，每組2個元素，其中（[a1]，[a2]），（[b1]，[b2]），（[c1]，[c2]）不能編為一組。這樣一來，問題就轉化為一個組合問題，有8種組合法。

教師要培養學生的歸納能力。從特殊到一般的合情推理，從一般到特殊的演繹推理，反復訓練，不斷歸納。探究烙10張餅的最少用時，可以從烙1張、2張餅逐步遞進，再從特殊的3張餅開始進行歸納并推廣到一般情況，接著從奇數張到偶數張進行演繹推理，綜合歸納，最后發現無論怎么烙餅，都是按照每次烙2面的規則進行。

總之，“數學廣角”的教學對傳統數學教學提出了挑戰，同時又注入活力。讓我們充分挖掘蘊含在生活情境中的深厚的數學思想方法，努力讓“數學廣角”更有數學味！

（責編 吳美玲）