交換還是結合，需要審慎對待

倪銀萍

[摘 要]教學加法和乘法交換律時，教師極易混淆分不清，究其原因是沒有區分“廣義的交換律”與“狹義的交換律”，同時講深了怕學生接受不了，講淺了又怕講不透徹，這就需要教師在顧及數學嚴謹性的同時，還要兼顧學生的接受能力。

[關鍵詞]交換律;結合律;廣義; 狹義

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0035-02

對于加法（乘法）交換律，筆者一直認為就是交換幾個加數（因數）的位置，只要結果不變，就是加法（乘法）交換律。但其實沒有這么簡單。“a+b+c=a+c+b”應用了哪種運算律？對于小學數學教師而言，這個問題不值一提，而恰恰就是這樣一個小問題卻引發了筆者的深思。

一、從唇舌之爭到網絡論戰，莫衷一是

在集體備課人教版教材第八冊第三章“運算定律與簡便運算”時，一教師突然詢問：“a+b+c=a+c+b運用了哪種運算律？”當時筆者脫口而出：“只是調換了后兩個加數的位置，當然是加法交換律。”筆者年紀輕見識淺，認為這個問題根本就是麻繩穿豆腐——不值一提，何況，打從讀書起一代代都是這么教的，而自己從教十數年，也覺得這么教沒有什么不妥。“通過位置和順序的改變來辨別采用的是交換律還是結合律。如果只有位置發生顛倒，運算順序維持原樣，則屬于交換律范疇;如果各數字的位置維持不變，但是運算順序卻發生改變，則屬于結合律范疇;如果數字位置和運算順序同時改變，則兩種運算律兼而有之。”筆者直抒胸臆。不料這卻引起了軒然大波，不少教師提出異議，多數人支持兩種運算律并用的觀點，他們的論據是交換位置就是為了促成運算順序的改變，終極目標是為了結合，因此結合律必然在內，交換位置后，就勢必要先算前兩個加數的和，這就是運用結合律的明證。而筆者則認為該理由不夠充足。交換了位置后，先算前兩個加數的和實屬順理成章，沒有刻意為改變運算順序做調整，也就是沒有結合律參與其中。筆者認為，只有當三個或三個以上的數相加，在不改變加數位置而又改變運算順序時，才能算得上運用了加法結合律。于是筆者反問：“交換律難道就只能存在于兩個加數的加法里？”他們避而不答。對于這個問題，同年級組的教師迅速分成兩派：一是只運用了加法交換律，二是加法交換律和結合律兼有。雙方各執一詞，不肯相讓，最后這個問題一直懸而未決。于是，我們求助于無所不知的互聯網，但各種回帖眾說紛紜，沒有足以采信的權威結論。后來雙方各退一步，取得最大“公約數”：只要學生會用運算律簡算，不必拘泥于用的是什么定律，再說這不是考點，不必自尋煩惱。但筆者就是蠻勁發作，想一探乾坤。

二、多方求教，拜讀教參，幡然醒悟

為了釋疑，筆者求教一位有著30年教齡的資深特級教師。他的答復是兩種運算律都用了，理由是加法交換律只存在于兩個數相加的加法中。要想單獨交換a+b+c中后兩個加數的位置，只能將后兩個加數先行結合起來，再交換位置。對于前輩的解釋，筆者還是將信將疑、持保留意見。帶著種種猜疑，筆者再次研讀了教參有關例3的詳解：

“必須指出的是，在例3的計算過程中：115+132+118+85=115+85+132+118，把加數85挪至加數132的前面，嚴格說來，交換律和結合律都有用到。因為這里將132+118視為一個整體，之所以可以把85與（132+118）作整體交換，是因為有加法結合律做后盾。即115+132+118+85=115+[（132+118）+85]重復使用了加法結合律，“=115+[85+（132+118）]”則用了加法交換律。”

筆者認真拜讀，并反復推敲第一個算式，何以是重復使用結合律呢？苦思良久，終于開悟：a+b+c+d=a+[（b+c）+d]，先要將b、c結合起來，用到了一次加法結合律，而要想交換已經成為結合體的（b+c）與加數d的位置，必須要將這兩部分外層結合，才能為交換位置做好準備，即二次使用了加法結合律。這就明明白白告訴我們：要想交換第二和第三個加數的位置，就一定要先將它們結合起來，進行“組團”，然后才能團體交換。如此看來，所謂的加法交換律確實是兩個加數加法的專利。筆者多年來竟然一直犯錯而不自知，而從教以來又沒有真正沉下心去精研這個問題，通過再讀教參，才幡然醒悟。

三、再讀資料，溫故知新，有了新方向

前輩治學極為嚴謹，他向我推介一篇文章，文中對“交換律和結合律”進行了鞭辟入里的分析，筆者認真拜讀后如醍醐灌頂。

文章高屋建瓴，深入剖析了這個問題。“事實上，乘法交換律針對兩個數求積，兩個以上的數相乘要使用交換律，它的依據是‘廣義的乘法交換律。在《近世代數基礎》中對于‘廣義的乘法交換律的解釋是：如果集合A的代數運算‘·兼備結合律與交換律，那么在[a1]·[a2]·[a3]·[a4]·[a5]·[an]…中乘數的順序可以隨意調換，而乘積不變。例如，假設a、b、c是集合A的三個元素，因集合兼具交換、結合律，所以，六個表達式a·b·c，a·c·b，b·a·c，b·c·a，c·a·b，c·b·a的值都是唯一確定的。我們舉證其一來理解。求證：a·b·c=a·c·b。證明：a·b·c=a·（b·c）用了乘法結合律（加括號改變運算順序），‘=a·（c·b）用了乘法交換律（括號內部兩個交換），‘=（a·c）b再次運用乘法結合律（換括號改變運算順序），‘=a·c·b運用了括號的用途和性質。”研讀以上論述后，回答“125×17×8=125×8×17運用了什么定律”時，就可以確信交換律和結合律兼而有之，即廣義的乘法交換定律。當然，加法的交換律和結合律一脈相承、同根同源，而小學教科書中沒有涉及“廣義的乘法交換定律”這一概念，因此，教師將“廣義的乘法交換定律”與“乘法交換律”混為一談實屬正常。

這個問題解決了，筆者又想起另一個“陳年舊案”。對“a+b+c=a+c+b”這種變形，前輩認定只用到加法交換律。筆者也這樣教了十來年，未覺有異。出現這次爭端后，許多教師仍是沒有徹底改變觀點，網上回帖也是各執一詞。這究竟是為什么？帶著這些疑問，筆者再次參詳了教參57頁有關例3教學的文字，頗感慶幸，雖然筆者沒有接觸什么高深莫測的“廣義的交換律”，但筆者卻陰差陽錯地得到了“交換律只屬于兩個數的加法”這一結論。與筆者犯下同樣錯誤的教師，也沒有能將“廣義的交換律”與“狹義的交換律”區別開來。這件事也警示我們，數學教學，在力求嚴謹的同時，也應當考慮學生的可接受性。所有的嚴謹，都不能與結論的正確性相沖突，其嚴謹性應當以學生的接受能力為上限。作為一名小學數學教師，既要弄清所教知識的背景和理論來源，還要明確所教知識在小學學科教學中的深度定位。只有這樣，才能做到高瞻遠矚、深入淺出;既保證所教知識的正確性，又不揠苗助長。

看來在日后的教學中，再簡單的問題都不能輕易放過，這樣才能把握問題本質，提升教學水平。只有不回避，不搪塞，不盲從，直面問題、迎難而上，將解決疑難當成進步的踏腳石，絕不留下“后患”，才能實現教學相長。

（責編 黃春香）