植樹問題中的模型建立與方法指導

馮行順

[摘 要]“植樹問題”的核心思想是歸納法（即從特殊情況推廣到一般情況的合情推理）和分類討論的思想方法（如兩端都栽、兩端不栽、封閉路線），以及由此衍生出來的方陣隊列問題等。其傳達的學科核心素養是一一化歸思想，同時使學生體會到建模帶來的便捷。

[關鍵詞]植樹問題;模型建立;方法指導

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0062-02

“植樹問題”一課的教學重點是植樹時分隔的段數與植樹株數之間的關系，教學難點是將解決植樹問題的方法抽象成一個模型去解決類似問題。教學中，解題不是重點，重點是讓學生體驗并感知復雜問題可以從簡單問題入手，也就是從特殊到一般的合情推理，歸納出數學公式和定理，將數形結合、對應、化歸等數學思想方法囊括其中，經歷探究發現數學規律和概括形成數學理論的過程，落實知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三維目標，提高學生的學科素養。

一、探究新知，建立模型

出示例題：市政局綠化隊在全長100 米的柏油馬路的一邊栽行道樹，一共需要多少株樹苗？

1.補充信息

師：如果請你來當規劃師，還需要路政部門提供什么數據？（株距5米）

2.理解信息

師：株距5米，是什么意思？

3.提出研究策略

師：你準備采取什么策略解決這個問題？

（指點學生遇到較復雜問題時，先進行簡化處理，如將柏油馬路的長改為“20米”去研究）

4.自主探究

給學生提供學具“一段20厘米長的黑膠帶（模擬柏油馬路），一段長5厘米的木方（當作間隔）”，讓學生邊分段邊將小樹畫在黑膠帶上。

學生自主探究：（1）用擺放、圖示的方法去研究，并完成表格。

[柏油馬路長20米（總長） 每隔5米栽一棵（間隔） 有幾個間隔（分隔的段數） 栽了幾株樹（株數） ]

（2）組內分享展示。

5.小組匯報

方法一：用學具演示并輔助說明。

方法二：圖示法演示。

6.比較發現：不論何種方法，都指向一個結果，那就是20米被等分成4小段，種下5株樹。

師：你對分隔的段數和株數有什么發現？

動畫演示：在20米長的柏油馬路上種行道樹，一株樹緊隨一段間隔（一株樹和一段間隔黏在一起），輪到第五株樹時，后面沒有續接間隔，直觀演示株數比分隔的段數多1。

師：根據剛才畫的線段圖和多媒體演示，列出算式。

板書：20÷5=4（段） 4+1=5（株）

【設計意圖：如此教學淺顯易懂，通過商討栽行道樹問題，引導學生認識什么是間隔的段數，同時縮減間距，化繁為簡，將學習難度降級，目的在于讓學生在開放情境中回歸初始狀態，用木方度量間隔段數的方法推算出株數和分隔的段數。在學生匯報時，由學生操作轉入教師繪圖，同時配合動畫模擬演示植樹情境，巧用一一對應的數學思想，揭示“多1”的原因，最后讓學生列出算式，從而幫助學生建立全面清晰的表象，初步建立植樹問題的模型。】

二、合作研究，驗證模型

1.小組學習指導

（1）每人隨機挑選一組數據，自選方法驗證栽行道樹問題的數學運算規律。

（2）組內交流栽行道樹問題的數學運算規律。

2.小組合作探究

分別分析10米、15米、25米、30米柏油馬路上種行道樹的情況。

3.匯報交流，發現并檢驗規律的真實性

板書：全程÷每段間距=分隔的段數;分隔的段數+1=株數。

4.數形結合，解釋模型

師：綜合分析多組數據總結出“株數=分隔的段數+1”。為什么“兩端都栽”的情形下，株數是“分隔的段數+1”呢？多的1株樹是從哪里冒出來的？

【設計意圖：有了夯實的基礎，教師放權讓學生自由研究后合作交流，再給不同數組配圖，幫助學生證實之前的推斷，發現兩端都栽的數學規律。在這個過程中，學生對化繁為簡的數學思想有了深切體會，并通過反復證明，最終確信：分隔段數+1=株數。學生依仗線段圖，利用數形結合、圖文配合，讓思維發展有了肥沃的土壤，并感受到數學思想方法的魅力。】

模型的建立不能完全由教師牽著學生進行，而應該由學生合力創建，在建立模型的過程中落實合作研究、交流展示等學習方法。教師要做的只是提供技術指導，做出戰略部署，而一磚一瓦都要由學生拼搭。如教師只是提供幾組數據作為素材，由學生自由選擇一組數據作為“全程”和“間距”來構建模型，進行栽樹操作。學生可以自由發揮，大膽創新。學生拿著選好的數據進行小組合作，自創模型：可以是在公路上栽樹，可以是在圍墻上插紅旗，可以是汽車長途行駛的途中每隔一段距離加油一次，形形色色，不一而足。最后發現，無論是在哪種情境下建立的模型，最后兩端都栽樹（起止兩處端點都各進行一次獨立試驗），那么試驗次數就比間隔段數多1，這個試驗可以是栽樹間隔也可以是鋸木頭，甚至是敲鐘，間隔數可以是距離間隔，也可以是時間間隔。所有模型都指向一個規律（也是模型的主要性質和課程重點），那就是兩端都栽的情況下，“栽樹株數=間隔數+1”。

三、教學反思

1.線索流暢、簡明易懂，歸功于不斷改進

新課伊始，引出例題，迅速確立課程內容，緊接著將植樹問題中的數據改小。教師在學生自主探究時指導有方，點到為止，讓學生利用學具擺放或者自主畫出線段圖，解析問題后列式。學生在手腦并用中初步建立了植樹問題的模型。一開始，讓學生自主探索20米柏油馬路上種行道樹的規律時，學生在畫線段圖的過程中感到阻礙重重，不知從何下手。此時，教師引導學生用黑膠帶代替柏油馬路，用木方代替5米的間隔，邊度量邊標記行道樹，最終推算出行道樹株數和間隔數的關系。

在學生匯報操作結果后，教師指示學生繪制線段圖，其用意在于給學生搭建研究方法的臺階，由粗笨的黑膠帶操作升級到靈巧的畫線段圖、列算式，從而厘清間距、分隔的段數、株數三者之間的數量關系，一舉攻克重點和難點。經過一番探究，學生對栽行道樹問題中間距、分隔的段數、株數的數量關系已初步建立了模型，為后續的檢驗埋下伏筆。這也反映教師對學生的方法指導嚴謹有序，循序漸進。

2.注重實踐、體驗，探究隱藏的數學思想方法

教師的指導給學生創造了更多體驗的機會，借助圖示和動畫揭示問題本質，能使學生清醒地認識到株數并不是簡單等于分隔的段數。學生在首次探究后，教師趁機追問“你能找出什么規律”，啟發學生透過現象發現規律。這樣將解決問題的經過原原本本地展現出來，可讓學生縱觀全局，形成謀略。在探究栽行道樹問題的數學運算規律的本質時，教師動畫演示“20米的柏油馬路上一株樹緊隨一段間隔，第五株樹身后沒有跟隨一段間隔”，有助于學生直觀發現株數比分隔的段數多1。這里，動畫演示巧用一一對應的思想方法揭示多1的真相，幫助學生建立起全面穩定的表象，進而建立數學模型，為后續研究一端栽樹和兩端都不栽樹的情形打下了堅實的基礎。

（責編 羅 艷）