厘清等量關(guān)系 直擊方程本質(zhì)

劉晶

[摘 要]“等式與方程”一課中學(xué)生初次經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，開始認(rèn)識方程。首先聯(lián)系舊知和天平圖，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“等式”“不等式”和“方程”;其次通過列方程，厘清等量關(guān)系;最后要知道不同的等量關(guān)系對應(yīng)不同的方程，因而方程具有多樣性，需要合理選擇。

[關(guān)鍵詞]等式與方程;等量關(guān)系;方程本質(zhì)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）17-0068-03

【教學(xué)內(nèi)容】蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級下冊第1、2頁，練習(xí)一第1、2題。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生在具體的情境中理解方程的含義，初步認(rèn)識等式與方程的關(guān)系。

2.使學(xué)生在觀察、描述、分類、抽象、概括的過程中，經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象成式子與方程的過程，能依據(jù)等量關(guān)系列方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，感悟方程思想。

3.使學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，感受探索樂趣，獲得成功體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

【教學(xué)重點(diǎn)】初步理解等式和方程的意義，能判斷哪些是等式，哪些是方程。

【教學(xué)難點(diǎn)】理解等式與方程之間的關(guān)系，能依據(jù)具體情境中的等量關(guān)系列方程，感受方程的多樣性，學(xué)會(huì)合理選擇。

【教學(xué)準(zhǔn)備】課件、探究單、學(xué)習(xí)單。

【教學(xué)過程】

一、依托情境——認(rèn)識等式與不等式

1.由天平圖列式子

師（出示天平）：生活中有這樣的測量工具，誰能說說對它的了解？

師：根據(jù)①號天平圖，你可以列什么式子？

生1：50=50。

師：②號天平圖呢？

生2：50+50=100。

師：③號天平圖呢？

生3：100+50<300。

生4：100+50+x=300。

師：仔細(xì)觀察，這幾幅圖有何不同？

師：拿出探究單，先自己寫一寫，再和同桌交流。

【設(shè)計(jì)意圖：課始，借助天平平衡、不平衡的直觀情境讓學(xué)生體會(huì)等式和不等式的含義，貼合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)對左右相等和等式的理解，為由算式思維過渡到代數(shù)思維做好鋪墊。】

2.給式子分類

師：我們?yōu)樘炱綀D列出了式子，接下來要干嗎？

生1：把這些式子分類整理。

師：既然要分類就要有標(biāo)準(zhǔn)。你們想按什么標(biāo)準(zhǔn)分類？

生2：按式子左右是否相等來分類。

師：像這些左右兩邊相等的式子，數(shù)學(xué)家給它們起了一個(gè)名字，叫等式。這些等式還能繼續(xù)分類嗎？

生3：還可分為含有未知數(shù)的等式及不含未知數(shù)的等式。

【設(shè)計(jì)意圖：最后一組天平圖的列式中出現(xiàn)了未知數(shù)，未知數(shù)是方程的基本要素，因?qū)W生學(xué)習(xí)過用字母表示未知數(shù)，這里選擇放手讓學(xué)生進(jìn)行研究，為學(xué)生直擊方程的本質(zhì)埋下了伏筆。】

二、主動(dòng)探究——直擊方程本質(zhì)

1.認(rèn)識方程

師：數(shù)學(xué)上，把含有未知數(shù)的等式叫作方程。方程到底長什么樣子呢？

生1：要有未知數(shù)，還要是等式。

師：方程就是將未知數(shù)和已知數(shù)聯(lián)系起來列出的等式。

2.辨一辨

師：①～⑥哪些是等式，哪些是方程？

① 135+65=200? ? ? ?② 2x+5=30? ? ? ③ 78-4a<10

④ n-136? ? ? ? ? ? ? ? ?⑤ x-y=50? ? ? ? ?⑥ 6+（? ?）=14

師：“6+（? ?）=14”是不是方程呢？（? ?）表示什么？

生1：是。表示未知數(shù)。

師：（? ?）可以表示未知數(shù)。還可以用什么來表示這個(gè)未知數(shù)？

生2：6+？=14， 6+□=14 ，6+x=14……

師：無論用哪種形式來表示，它都是代表未知數(shù)。

師：你覺得哪種表示形式更簡潔方便呢？

【設(shè)計(jì)意圖：增加含有兩個(gè)未知數(shù)的式子，意在強(qiáng)調(diào)只要含有未知數(shù)，并且是等式的就是方程，不限于含有幾個(gè)未知數(shù);呈現(xiàn)學(xué)生在一年級接觸過的含有未知數(shù)的等式（那時(shí)未知數(shù)用（? ）表示），接著讓學(xué)生嘗試用自己喜歡的符號表示未知數(shù)，由此認(rèn)識到未知數(shù)可以有不同的表達(dá)形式，再次凸顯方程的本質(zhì)，有利于學(xué)生內(nèi)化方程的概念。】

3.等式與方程的關(guān)系

師：如果用一個(gè)圈表示方程，用另一個(gè)圈表示等式，這兩個(gè)圈有什么關(guān)系？

（讓學(xué)生圈一圈）

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生嘗試畫集合圈，展示等式與方程之間的關(guān)系。學(xué)生完成得很好。形象的結(jié)構(gòu)化板書，加深了學(xué)生對等式與方程二者關(guān)系的理解?！?/p>

4.由線段圖列式子

師：請根據(jù)下列線段圖列方程。

[ ][x][22][84]

生1：x+22=84。

生2：84-x=22。

生3：84-22=x。

師：有什么想說的嗎？

生4：“84-22”可以通過計(jì)算知道答案，不需要用未知數(shù)來表示。

師：一幅圖為什么可以列出幾個(gè)不同的方程呢？

師：依據(jù)題中的等量關(guān)系列方程，可以列出幾個(gè)不同的方程，但并不是每個(gè)都是合適的，還要進(jìn)行合理選擇。

【設(shè)計(jì)意圖：適時(shí)追問有助于激發(fā)學(xué)生的潛能，激活學(xué)生的思維，使思考更深入。教師不回避“84-22=x”這樣的式子，而是讓學(xué)生知道可以用算術(shù)的方法算出“84-22”的答案，因此不必用未知數(shù)來代表已知數(shù)。可見，需要對方程進(jìn)行合理選擇。如此，層層鋪墊，環(huán)環(huán)相扣，原本很難解釋清楚的內(nèi)容清晰剖開了。】

三、聯(lián)系生活——感受方程價(jià)值

1.基于情境，列出方程

師：列方程要依據(jù)等量關(guān)系。下列情境圖中，有哪些等量關(guān)系？

優(yōu)惠：112元

現(xiàn)價(jià)：988元][爸爸比小明高21厘米。][x cm][175 cm][21 cm]

師：請選擇合適的等量關(guān)系列方程。

【設(shè)計(jì)意圖：對教材練習(xí)一的第2題進(jìn)行適當(dāng)改編，選取學(xué)生更熟悉的生活情境，讓他們從中找等量關(guān)系，列出合理的方程。這里學(xué)生深刻地體會(huì)到列方程的依據(jù)及合理的含義，體會(huì)到方程的價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)模型思想。】

2.自選形式，表達(dá)方程

師：現(xiàn)在給你一個(gè)方程，你能圍繞它自創(chuàng)形式，豐富這個(gè)方程嗎？

師：雖然表達(dá)形式不同，但只要等量關(guān)系相同，就可以用同一個(gè)方程來表示。

【設(shè)計(jì)意圖：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)“模型思想”，指出模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。在學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)情境圖列出方程后，教師給出一個(gè)方程，鼓勵(lì)學(xué)生用多種形式去表達(dá)，盡量直觀呈現(xiàn)每個(gè)人對方程的理解。個(gè)性化且多元化的教學(xué)方式，讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)模型思想的深刻感悟。】

四、總結(jié)延伸——梳理知識框架

[等式與方程][未知數(shù)][已知數(shù)][已知數(shù)][等量關(guān)系][合理選擇][多樣][依據(jù)][方程][不等式][等式][不含未知數(shù)][含有未知數(shù)][左右相等][左右不等][式子][50=50

50+50=100

…][x+50=150

2x=200

…][100+50<300

x+50>100

x+50<200

…

]

師：等式和不等式又統(tǒng)稱為式子，而方程是這個(gè)大家族中的一部分，是將未知數(shù)和已知數(shù)聯(lián)系起來的等式。

師：隨著學(xué)習(xí)的深入，大家今后還會(huì)見到這樣的方程：A=X+Y+Z，這個(gè)方程是什么意思呢？（成功=勤奮工作+正確方法+少說空話）

【設(shè)計(jì)意圖：備課時(shí)，了解初一數(shù)學(xué)教材中方程部分的內(nèi)容，提前做好小學(xué)和初中數(shù)學(xué)的知識銜接，并借助愛因斯坦提出的“方程”進(jìn)行拓展，以免學(xué)生形成思維定式，認(rèn)為方程必須要含有已知數(shù)和未知數(shù)。這里展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系性。教師關(guān)聯(lián)地教，學(xué)生互動(dòng)地學(xué)，教學(xué)相長，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。】

【教學(xué)反思】

數(shù)學(xué)知識之間有千絲萬縷的聯(lián)系，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入了解每個(gè)知識點(diǎn)的定位，了解其“源”與“流”，在發(fā)現(xiàn)中不斷思考，讓思維向更深處漫溯。

分類是重要的數(shù)學(xué)思想。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“教學(xué)活動(dòng)中，要使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)?！苯虒W(xué)活動(dòng)中，學(xué)生結(jié)合天平的兩種狀態(tài)，很自然地想到按照左右相等與左右不等這一分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步將等式按含有未知數(shù)和不含未知數(shù)進(jìn)行分類。學(xué)會(huì)分類，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)新知，提高分析和解決問題的能力，為下一步的歸納做好準(zhǔn)備。

可見，方程是一種關(guān)系，它的特征是等式關(guān)系，即根據(jù)已知條件和所要求的問題建立等式關(guān)系。張奠宙教授認(rèn)為，方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)而在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系。教學(xué)中要緊扣兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即“已知數(shù)和未知數(shù)”和“等式關(guān)系”，揭示方程定義，讓學(xué)生的思維從算式思維上升到代數(shù)思維，加深學(xué)生對方程意義的理解。

（責(zé)編 羅 艷）