小學數學深度學習中

黃小宇

摘 ?要：“大情景、真問題”“深度學習、高階思維”是這兩年聽得最多的關鍵詞。深度學習的本質在于深度思考，而“教”建立在“學”的基礎上。在深度學習指導下學生是學習的主人，培養學生提問題的能力，發展創造性思維和探究精神，培養創新意識和應用意識。在此，文章以發現的“巴普斯定理”為視角，談一談引領學生深度學習的思考與實踐。

關鍵詞：深度學習;巴普斯定理;面動成體;線動成面

【中圖分類號】G623.5 ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ? 【文章編號】1005-8877（2021）13-0011-02

【Abstract】“big situation，real problem”，“deep learning，high-level thinking” are the key words I have heard most in the past two years. The essence of deep learning lies in deep thinking，and “teaching” is based on “learning”. Under the guidance of deep learning，students are the masters of learning，cultivate their ability to ask questions，develop their creative thinking and spirit of inquiry，and cultivate their consciousness of innovation and application. Here，the article takes the discovered “Baps theorem”as the Angle of view，talks about the thinking and practice that leads the student to study deeply.

【Key words】Deep learning;Baps theorem;Plane dynamic adult;Line dynamic plane.

深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學習。——黎加厚。

“巴普斯定理 ”是高中數學才學習的內容，然而在小學數學的課堂上卻真實的發現了，教師在深度學習理論的指導下，帶領學生一起探究各幾何圖形的體積和面積各自之間的內在聯系，學生們經歷猜測、探索、驗證、應用等一系列的數學學習過程，自行發現體積、面積的通用計算方法。感受到數學知識內在統一的魅力，提高了學生發現問題、提出問題、解決問題的能力，提升了學生的數學素養。

1.“面動成體”。從“旋轉門”打開的奇妙探索之旅

在教學圓柱體體積時，我問：“你猜測一下圓柱體的體積應該是怎樣計算的？”學生A說：“根據“面動成體”，可以把圓柱體看著是一片片的薯片疊加而成的，這樣自然就是一片圓形薯片的底面積乘以高就是圓柱體的體積。”這想法和我們將圓柱體經過切割轉化為等底、等高、等體積的長方體的推導過程還是有所不同。經過圓柱體體積的推導學習后學生們發現得到的公式：圓柱體體積=底面積×高。驗證了學生A的猜想。這時，學生B說道：“那酒店門口的旋轉門，也可以看成是一個長方形玻璃門繞中軸旋轉一周得到的圓柱體，這也是“面動成體”啊？是否圓柱體的體積也可以是一個長方形的面積乘以這個長方形旋轉一周后圓的周長呢？”或許是受到學生A“面動成體”的影響，學生的思路一下被打開了。確實這種“面動成體”形成的圓柱體也是通過圖形運動完整得到的圓柱體，學生的直覺激發了我，或許這里隱藏著圓柱體體積推導的另外一種思路？我大肆贊賞學生B創造性思維的同時，也抱著嚴謹的態度對學生們說：“大家可以按照學生B的思路回去后好好研究一下是否也可以得到圓柱體的公式呢？不過一切還是要以事實來驗證。”第二天，課上很多孩子研究后反饋出來的結果居然是：圓柱體的體積=底面積×高×2！理由是：長方形的面積是S=rh，底面周長是C=2πr。因此：圓柱體體積V=2πr2h。這結果顯然是錯的！那問題出在哪里呢？這時，有學生回答道圓柱體如果是像薯片一樣一片片疊加得到的，這樣底面積是做平移運動，上面的每一個點走過的路程是一樣長的，也就是高。而旋轉門是一個長方形繞中軸旋轉得到，這個長方形上的每一個點走過的路程是不一樣的，最外面那條邊走過的路程是圓的底面周長C=2πr，可是里面那條邊也就是中軸只是在原地旋轉根本都沒有動啊！也就是說這個長方形上的每一個點在旋轉時走過的路程是不一樣的，所以推導出來的體積擴大2倍了！確實學生的話語切中要害！那究竟該用長方形的哪個點來代表這個長方形走過的路程才最公平呢？經過討論大家一致同意應該用長方形的中間一點也就是兩條對角線的交點來代表長方形上的每一個點最公平，它到中軸的距離也就是整個長方形每個點到中軸距離的平均值！因此這樣它的半徑就是以原來底面半徑的一半，所以推導出圓柱體的體積就是長方形的面積乘以底面半徑一半旋轉一周的周長得到V=πr2h！換個思路一樣可以推導出圓柱體的體積，確實很巧妙！也有學生覺得這樣推導不是很麻煩嗎？為何要研究這種方法呢？這時又有學生問到這樣的思路是否可以推導出圓錐的體積公式呢？根據“面動成體”圓錐又是由什么圖形運動產生的呢？一石激起千層浪，這一系列的問題，激發了孩子們強烈的探索新知的欲望，確實圓錐的體積公式我們是通過實驗法得到的，如果能夠用這種方法推導出圓錐的體積公式，那豈不是一件振奮人心的事情？經過討論，大家一致認為圓錐是通過一個直角三角形繞一條直角邊也就是圓錐的高旋轉一周得到的。關鍵是要以三角形的哪個點來代表整個三角形所有點繞中軸旋轉一圈的走過的路程才公平？才是它們的平均值？受圓柱體長方形的中點啟發，大家一致認為要以三角形三邊中線的交點也就是三角形的重心為代表最合理。通過老師的引導和分析這個交點到中軸的距離可以證明出正好是底面半徑的三分之一！因此可以得到圓錐的體積就是這個三角形的面積乘以三角形重心旋轉一周的周長。也就得到了圓錐的體積公式：V=πr2h/3。根據“面動成體”這一看似簡單的一句話，居然可以不需要通過微積分及高等數學的方法來得到圓錐的體積公式，對孩子們而言帶來了強大的成就感！這巧妙的思路同樣的也激發起孩子們強大的求知欲，那怎樣求球的體積呢？學生發現球也是由一個半圓繞中軸旋轉一周得到的，半圓的面積我們已經會求了，關鍵是這個半圓上的哪一個點來代表這個半圓旋轉一周的路程最合理呢？雖然孩子們根據現在的知識還是無法探索出這個點到中軸的距離和半圓半徑之間的關系，但是這種“面動成體”通過旋轉的方法得到的三維物體的體積公式推導居然可以適用于圓柱體、長方體、圓錐體、甚至球體。學生們感到非常的驚訝！對“面動成體”有了更深刻的認識。

2.“線動成面”喚起三維和二維之間的聯系和統一

回到半年前在一次課堂上出現的“插曲”。記得在教學《圓》這單元，求環形面積：“一個環形，內圓半徑是1cm，外圓半徑是3 cm，求環形面積是多少？”有部分學生會出現典型的錯法：3.14×（3-1）×（3-1）。所以我在教學時便反復強調計算環形面積時一定要用大圓的面積減去小圓的面積，千萬不能第一步就用大圓的半徑去減小圓的半徑，如果出現這步，那么后面就絕對錯。因為環形的面積不等于以他們半徑差的結果為新半徑的圓的面積！其實我的分析沒有錯，強化正確的做法，確實能提高解題的正確率。當自己還在為幫學生“明辨是非”的解析感到自豪時，有位學生對我說：“老師，我覺得環形面積的求法可以用大圓半徑減去小圓半徑的方法來計算，你看環形的這一圈寬也就是半徑差都一樣，這一圈面積不是也可以拼成一個長方形嗎？所以我就是用半徑差去乘外圓的周長來求環形的面積。”聽了他的分析，我眼前一亮，覺得他的思維很獨特，學生的直覺思維往往有他的道理，但我又感覺他的想法似乎有點問題。因此我在肯定他獨特的想法的同時也對他說：“你的想法很好，老師很欣賞，但你說的用半徑差去乘外圓的周長來求環形的面積，我有不同的想法，為什么不行用半徑差去乘內圓的周長來求環形的面積呢？這樣兩個答案不就不一樣了嗎？看來我們需要靜下來用計算來進行驗證。”于是課堂上孩子們興趣盎然和我共同的計算研究，終于我們發現用半徑差去乘內、外圓周長的平均數來求環形的面積和正常解法求環形面積的結果一樣！

常規解法：3.14×3×3—3.14×1×1=28.26—3.14=25.12（平方厘米）

特殊解法：（3.14×3×2+3.14×1×2）÷2=12.56（厘米）

12.56×2=25.12（平方厘米）

這個案例是在學圓柱體積之前六年級上學期《圓》這單元中偶然發生的一次插曲，當時沒有深入研究只是淺談輒止。這次學生經歷了圓柱體、圓錐體體積奇特的推導過程后恍然大悟，根據“面動成體”自然聯想到“線動成面”。這個環形面積不也可以看成半徑差為2厘米的線段繞圓心O走一圈所圍合而成的圖形嗎？那這條線段以哪個點走過的路程為標準才公平呢？自然是這半徑差的中點！因此這個環形的面積就是：半徑差的中點走一圈的路程乘以半徑差2厘米。列式：3.14×2×2×2=25.12（平方厘米），看來三維圖形的“面動成體”一樣可以運用在二維圖形的“線動成面”這里。大家為自行發現的這個原理歡聲雀躍，這是否是自己的獨創呢？后來上網一查才知道原來這叫巴普斯定理：在一平面上取任一閉合區域，其面積為S，使它沿垂直于該區域的平面運動形成一個體積為V的立體，那么這個立體圖形的體積就等于質心所經路程 r 乘以區域面積。表達式為V=S·r。如果令某一長為L的曲線段，其長度為L，使它沿著垂直于它所在平面的方向掃過一個面積S，那么這個面積的大小就等于線段的質心移動的距離r乘以線段的長度。表達式為S=L·r。學生們雖然有些遺憾前人已經早于我們發現了這定理，但是通過探索能夠深刻感受到這個定理能將所有幾何里的面積和體積的計算方法統一了起來，包括長方形等圖形面積都可以用這定理來解釋，充分感受到數學的魅力以及探索數學的樂趣。

布魯納曾說過學習的實質是一個人把同類事物聯系起來，學習就是認知結構的組織和重新組織。而深度學習是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。學生們經歷了這次圓柱體、圓錐體的體積、環形面積奇特的推導過程，激發了學生探索數學的熱情，這也給孩子們埋下一顆探索未知的種子，培養了學生的創新意識和應用意識。

參考文獻

[1]孫雙金.深度學習與批判性思維的研究[J].江蘇教育，2019（01）

[2]馬麗云.巴普斯定理及其應用[J].中學理科.綜合，2018（01）