基于插值的二維位置敏感探測器非線性校正算法研究

李 穗，李 毅

(安徽文達信息工程學院 電子與電氣工程學院，安徽 合肥 231201)

光電位置敏感器件(Position Sensitive Device，PSD)是一種利用橫向光電效應進行位置檢測的器件，可以直接將投射在PSD表面的光轉化成與光斑位置變化對應的電流信號，從而實現(xiàn)對入射光光斑位置的檢測。PSD電路結構簡單、響應速度快，且分辨率高、光譜范圍寬，利用PSD器件可測出目標位置和動態(tài)位移，特別適用于實時性要求高、需要快速結果反饋的測量場合[1]。

PSD目前發(fā)展較快，測量精度已經達到0.1%～0.2%。其中基于二維改進表面的分離型PSD精度更高，例如S2044的位置分辨率已經達到2.5μm。但是PSD器件存在非線性畸變會導致系統(tǒng)測量精度降低，如何有效消除非線性帶來的影響是測量領域重點關注的問題。

1 二維PSD的工作原理

PSD是一種基于橫向光電效應的光電位置傳感器，分為一維、二維兩類。二維 PSD的其結構原理如圖1所示，光敏面常為正方形，有兩對電極，圖中陰影部分為有效工作區(qū)域。

圖1 二維PSD的結構原理圖

以最常用的枕形PSD為例，PSD一般由P層、I層(高阻層)和N 層構成，兩對輸出電流電極從PSD光表面四個對角引出，如圖2所示。當PSD光敏面有激光照射時，在光點位置會產生光電荷，電荷量與光能量成正比。如果在N層引出的公共端加反偏電壓，光電荷則會通過P層電阻擴散到4個電極[2]。

圖2 二維PSD的斷面結構

4個電極輸出電流大小與入射光點位置對應，其大小與光點到各電極的距離成反比，如圖3所示。

圖3 二維PSD的工作原理

以電極1和4的交點為坐標原點，光斑中心點的坐標(x，y)可根據(jù)式(1)求得：

(1)

如果光敏面為坐標原點，光斑中心點的坐標(x，y)可根據(jù)式(2)求得：

(2)

式中：l為相鄰電極間的距離；I1、I2、I3、I4為每個電極的輸出光電流。

PSD會產生非線性誤差，PSD的邊緣效應、N區(qū)材料不均勻等因素都會導致PSD非線性特性。因此通常把PSD的光敏面劃分為中央區(qū)域和邊緣區(qū)域，中央區(qū)域也稱為A區(qū)，邊緣區(qū)域也稱為B區(qū)，A區(qū)的線性度要優(yōu)于B區(qū)，如圖4所示。

圖4 二維PSD的A區(qū)、B區(qū)

為了擴大PSD使用范圍和測量準確性，簡化PSD測量數(shù)據(jù)解算，需要對PSD標定和解算進行線性化處理。

2 插值算法分析

文獻[3]對雙一次線性插值和雙二次線性插值方法進行了介紹，論證了雙二次線性插值算法優(yōu)于雙一次線性插值算法。對于雙二次線性插值，給定任意一個測量點p(x,y)，其補償值可用包含該點的一個田字補償網格上的9個頂點補償值Ex(x,y)、Ey(x,y)的線性組合來表示，如式(3)所示。

(3)

稱

(4)

為系數(shù)函數(shù)。

若實測網格均勻，可以用x=[x1,x2,x3]，y=[y1,y2,y3]兩個一維矩陣表示補償網格的9個頂點坐標。系數(shù)函數(shù)φ(p,q,k,l)由這6個坐標值x1、x2、x3、y1、y2、y3確定。以上方法當插值節(jié)點增減時，系數(shù)函數(shù)要全部重新進行。

牛頓插值算法是根據(jù)函數(shù)f(x)在某區(qū)間中若干點的函數(shù)值，構造出特定多項式函數(shù)，從而獲得函數(shù)f(x)的近似值[4]。基于差商的牛頓插值多項式，在本質上與雙一次線性插值、雙二次線性插值算法相同，只是表現(xiàn)形式不同[5]。但其計算簡便，當節(jié)點增加時，只要增加一項即可，極大地降低了運算量[6]。

對于具有n+1個節(jié)點xi(i=0,1,2,…,n)的牛頓插值多項式如式(5)所示。

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)

+…+f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

(5)

Nn(x)是f(x)的n次插值多項式，稱為牛頓插值多項式，又可寫為

(6)

一階差商如式(7)所示：

(7)

二階差商如式(8)所示：

(8)

N階差商如式(9)所示：

(9)

3 實驗與仿真

根據(jù)文獻[7]，如圖3所示，如果面電阻分布均勻，有效光敏面為l×l的二維PSD，當理想光點照在PSD上XO′Y坐標系中的(X,Y)，即xoy坐標系中的(x,y)處時(X與x，Y與y之間的關系是X=x+l/2及Y=y+l/2)，若負載為零，穩(wěn)態(tài)情況下，從四個電極輸出的電流分別如式(10)所示。

(10)

式中，X、Y分別為PSD感光面的橫、縱坐標，不失一般性，令0≤X≤1，0≤Y≤1。

利用MATLAB可得PSD的模型如圖5所示，在PSD中心區(qū)光生電流與光斑中心位置線性度較好，而在中心區(qū)以外，特別是越靠近邊緣，線性度越差，這就為利用PSD光敏特性求光斑位置帶來了誤差，計算復雜，限制了PSD有效應用范圍。

圖5 二維PSD的畸變圖

為此，將PSD光敏面上的位置誤差函數(shù)E(x,y)離散化，得到網格點陣上的誤差函數(shù)值，利用前述改進的雙三次插值算法對于非網格點上的誤差進行函數(shù)逼近，這樣便可得到待校正點的逼近值，如圖6所示。

圖6 二維PSD的校正圖

4 結論

本文通過對雙三次插值算法的原理分析，提出了適用于PSD非線性畸變校正的改進雙三次插值算法，仿真表明該算法能有效地減少二維PSD非線性的影響，且精度較高，收斂速度快，提高了測量數(shù)據(jù)的準確性。在不改變現(xiàn)有設備復雜度和成本的基礎上，使得PSD光敏面B區(qū)部分的位置坐標也呈線性輸出，擴大了PSD的有效使用范圍，提高了PSD的利用價值。