由單調函數y=f(x)確定的數列x n+1=f(x n)收斂性

張友梅，吳邦昆

（合肥職業技術學院基礎教育學院，合肥 238000）

若數列{xn}是由函數y=f(x)所確定的遞推數列xn+1=f(xn)，n=0，1，2，…的形式給出，如果這類數列通項公式又不易求出，討論它的收斂性，用傳統的方法常常比較困難，甚至無從下手〔1-3〕。比如：

討論這幾個數列的收斂性用傳統的方法就比較困難，研究發現如果函數y=f(x)是單調函數，這種由xn+1=f(xn)生成的遞推數列{ }xn，它的收斂性在不求通項公式情況下就可以判別，且判別方法具有一定的規律性，容易理解，使用方便，不難掌握。

1 預備知識

定義1 方程f(x)=x的任一解稱為函數y=f(x)的不動點〔4〕。

定義2 設函數y=f(x)在區間I上有定義，如果x0∈I，則xn+1=f(xn)∈I,n=0,1,2,…，則稱函數y=f(x)在初值x0處可迭代，數列{}xn稱為函數y=f(x)的迭代數列。如果對?x∈I，函數y=f(x)在x處可迭代，則稱函數y=f(x)在區間I上可迭代〔5〕。

以下給出幾個基本事實〔6〕。

（1）以函數f(x)的不動點為初值產生的迭代數列{xn}是常數數列。

（2）在區間I上單調下降的函數f(x)至多有一個不動點，在(-∞,+∞)上連續下降的函數有且只有一個不動點。

（3）若數列{xn}為連續函數y=f(x)的迭代數列，則nli→m∞xn=A的必要條件是A為f(x)的不動點。

（4）若函數y=f(x)在區間I上單調上升，則迭代數列{xn}一定單調，其增減性由數列{xn}的前二項x0，x1即可確定。

（5）若函數y=f(x)在區間I上單調下降，函數f[f(x)]單調上升，這時數列{x2n}和{x2n+1}分別看成依初值x0，f(x0)通過f[f(x)]產生的迭代數列，則數列{x2n}和{x2n+1}一定都是單調數列。

2 研究結果

這里主要討論由單調函數y=f(x)產生的迭代數列{}

xn收斂性的判別方法。

2.1 判界法

命題1 若函數y=f(x)在區間I上單調上升、有界且可迭代，則對任何初值x0∈I，f(x)的迭代數列均收斂。

證明：因為所設的條件是函數y=f(x)在區間I上單調上升、有界且可迭代，所以f(x)的迭代數列{xn}為單調有界數列，根據單調有界原理可知數列{xn}收斂。

2.2 不動點法 如果y=f(x)在區間I上單調上升或單調下降，但無法確定其是否有界，這種情況應該使用不動點法判別。

命題2 若連續函數f(x)在(-∞,+∞)單調上升且有唯一不動點a，數列{}xn是函數f(x)依初值x0生成的迭代數列，x1=f(x0)，那么

（1）當x0＜a時，若x0≤x1＜a，則數列{}xn收斂于a；若x1＜x0＜a，則數列{xn}發散。

（2）當x0＞a時，若a＜x1≤x0，則數列{}xn收斂于a；若a＜x0＜x1，則數列{xn}發散。分析：對單調上升函數f(x)，其迭代數列一定是單調數列。數列{xn}收斂性判別主要是通過比較x0與不動點a的大小。分兩種情況：一種是數列{xn}在不動點a的左側變化，另一種是數列{xn}在不動點a的右側變化，再根據{xn}的單調性，若xn變化逐漸靠近a，則{xn}收斂于a，若xn變化逐漸遠離a，則{xn}發散。

證明：（1）設數列xn+1=f(xn)，n=0，1，2，…。由于f(x)是單調上升函數，所以其迭代數列{xn}一定是單調數列，并且a是其唯一不動點。當x0＜a且x0≤x1＜a時，就有x1=f(x0)＜f(x1)=x2，用數學歸納法可知，數列{xn}是單調上升且以a為上界的，所以數列{xn}收斂于這唯一不動點a。當x0＜a且x1＜x0＜a，數列{xn}是單調下降不能收斂于a，而f(x)在(-∞,x0)上無其他不動點，所以數列{xn}發散。

對于（2）的證明與（1）相似，在此省略。

命題3 若連續函數f(x)在(-∞,+∞)單調下降且有唯一不動點a，函數f(x)依初值x0生成的迭代數列{xn}，那么

（1）不論x0＞a或x0＜a，當x0位于x2=f[f(x0)]與a之間時，則數列{xn}發散。

（2）如果a也為f[f(x)]的唯一不動點，不論x0＞a或x0＜a，當x2=f[f(x0)]位于x0與a之間時，則數列{xn}收斂。

分析：這種類型是針對連續函數f(x)在(-∞,+∞)單調下降且有唯一不動點a的情形。通過比較x0，x2=f[f(x0)]，a之間的大小，分兩種情況：當x0位于x2與a之間和x2位于x0與a之間進行考慮。

證明：（1）當a＜x0＜x2=f[f(x0)]時，則數列{xn}滿足：

…≤x2k+1≤…≤x3≤x1≤a＜x0＜x2≤x4≤…≤時，則數列{xn}與上述情況類似，因此數列{xn}發散。

（2）當a＜x2=f[f(x0)]＜x0時，則數列{xn}滿足：則數列{x2n+1}單調上升有上界，數列{x2n}單調下降有下界，所以均收斂。

注1：命題2、命題3結論對在一般區間上也是成立的。

2.3 初始值法

命題4 若連續函數f(x)在(-∞,+∞)單調下降且f[f(x)]有唯一不動點a，則當且僅當

（1）x2=f[f(x0)]位于x0與x1之間時，迭代數列{xn}收斂。

（2）x0位于x1與x2=f[f(x0)]之間時，迭代數列{xn}發散。

注2：命題4的證明方法與命題3類似，不再重復。

3 具體應用

4 結論

有些數列是以函數y=f(x)所確定的遞推數列x n+1=f(x n)，n=0,1,2,…的形式給出的，其通項公式一般不易求出，但當函數y=f(x)滿足單調性條件時，即使沒有通項公式，其數列{}x n的收斂性也可判別，本文深入探討了這類函數對應的遞推數列的通項公式的求法，總結了判別方法的一般規律，對該類問題的研究有一定的實際意義。