帶有強阻尼項的擬線性拋物方程整體解的存在性與指數增長

吳嬌，楊晗

(西南交通大學數學學院，四川成都611756)

1.引言

本文將考慮以下具有強阻尼項的擬線性拋物方程的初邊值問題

這里m≥2，p＞2，Ω是Rn(n≥1)中具有光滑邊界?Ω的有界區域.g代表記憶項的核，滿足g:R+→R+正的非增函數.該類方程可用于刻畫具有記憶功能的熱傳導材料的數學模型.

當方程(1.1)記憶項缺失時，XU和SU[1]考慮了以下非線性偽拋物方程的初邊值問題

得出了整體解的存在性與解在有限時間內的爆破.以上方程整體解的存在性與非存在性主要取決于非線性源項f(u)的增長性，空間維數n，以及初始條件三者之間的相互作用.

當考慮記憶項g0時，問題變得更加復雜，MESSAOUDI[2]研究了如下方程的初邊值問題

證明了初始能量為正時解的爆破.并且同作者在文[3]中考慮了含非線性阻尼項的波動方程

指出當r≤m時，初始值的弱解是整體存在的.當和E(0)＜0時，解在有限時間內發生爆破.而且在06年延伸了E(0)＞0條件下解的爆破結論.LIU等[4]考慮了初邊值問題

得出了整體解的存在性和初始值為次能量條件以及任意初始能量條件下解的爆破，并得出了解的生命跨度的上界估計.

對于擬線性情況，PUCCI和SERRIN[5]研究了以下系統

其中m＞1，u∈RN，N≥1.A∈C(J→RN×N)，f∈C(Ω×RN→RN)滿足(f(x，u)，u)≥0.當t→∞時證明了強解趨于基態解，無衰減速率.TELLAB和MESSAOUDI[6]考慮了以下方程組

其中m≥2，g滿足一般的衰減條件:g′(t)≤-ξ(t)g(t)，建立了解的一般衰減包括指數衰減與多項式衰減.LIU和CHEN[7]證明了帶非線性源項的初邊值問題

整體解的存在性、衰減估計以及初始能量為正或為負條件下解在有限時刻爆破.

基于以上結論，本文擬研究帶強阻尼項的初邊值問題(1.1)弱解的存在性、能量衰減和解的指數增長.困難之處在于記憶項、強阻尼項和非線性源項的相互影響.在本文最后一節將看到正是由于強阻尼項的存在，我們無法得到爆破的結論，從而只能得到較弱的一個結果，即解的Lp范數在時間t趨于無窮時至少以指數形式增長.

本文安排如下，在第二部分將提出一些假設與記號，在第三部分利用Galerkin方法得到局部解的存在性.第四部分得整體解的存在性與能量衰減估計，最后證明解的指數增長.

2.準備工作

首先給出證明過程中的所需假設、記號和引理.對松弛函數g和非線性項指數m，p假設如下

(G1)函數g:R+→R+是可微函數滿足

(G2)存在非增可微函數ξ:R+→R+滿足

(G3)假設

注2.1有很多滿足假設(G1)和(G2)的函數，對于合適的a，b＞0，

擬引入以下的能量泛函:

其中

為了敘述主要的結論，我們給出方程(1.1)弱解的定義.

定義2.1方程(1.1)的弱解是函數

滿足

以上式中t∈[0，T]和(Ω).

引理2.1設u(t)是方程(1.1)的解，則E(t)在[0，T]中是非增函數且滿足

對幾乎處處的t∈[0，T]成立.

證在方程(1.1)兩邊乘ut并在Ω上積分，由(G2)和分部積分得形如(2.2)在中的正則解.再由函數空間在的稠密性得上述結論.

在正式給出結論之前，借助文[7]，首先給出以下的記號

其中C*是(Ω)(Ω)的最佳Sobolev嵌入常數.定義函數γ(t)為

從E(t)的定義和得

由微積分知識得G在0≤λ＜λ1上單調遞增，在λ＞λ1上單調遞減.當λ→+∞時，G(λ)→-∞并且

其中λ1和E1在(2.3)中已給出.

引理2.2[7]假設0≤E(0)＜E1.

(i)如果‖?u0‖2＜λ1，則存在使得t∈[0，T);

(ii)如果‖?u0‖2＞λ1，則存在λ2∈(λ1，+∞)使得t∈[0，T)且有‖u‖p≥Bλ2.

引理2.2在本文證明解的指數增長中起著重要的作用.

3.局部解的存在性

首先給出局部弱解的存在性的定理.

定理3.1假設(G1)，(G2)和u0∈成立，2＜m滿足(G3)，則方程(1.1)存在弱解u(x，t)滿足u(x，0)=u0和

證將利用Galerkin方法證明，證明過程分為三步.

定義有限空間Vl=span{ω1，ω2，...，ωl}，固定正整數l.記u0l是Vl的元素，使得當l→∞時

記問題(1.1)的近似解為ul(x，t)且

這里的系數αlj(1≤j≤l)滿足常微分方程

其中j∈{1，2，...，l}和初始條件

由常微分方程的理論知存在正數T1使得αlj∈C1[0，T1)，所以

步2先驗估計.在方程(3.3)兩邊乘αlj(t)，并對j=1，...，l求和得

則

方程兩邊對時間t在[0，t]上積分，令

則

利用G-N不等式，Young不等式，嵌入定理和(3.5)，估計(3.6)右邊第三項得

其中ε∈(0，1)和

這里C1和C2均為獨立于l的正常數.由Gronwall-Bellman-Bihari的積分類型不等式知，存在正的常數使得

最后對任意的l，(3.3)式的解在[0，T]上存在.

其中

由函數E(t)的連續性和(3.1)知存在正的常數C(獨立于n和T)使得

所以由(3.11)知

從(3.5)和(3.10)得

步3取極限.結合(3.11)-(3.14)知，存在函數u和的子序列仍記為使得

下面證明非線性項的收斂性.從(3.15)，(3.16)和Aubin-Lions-Simon引理知

所以ul→ua.e.(x，t)∈Ω×(0，T).這表明

另一方面，由(3.14)和Sobolev不等式得

因此通過Lions引理和(3.18)有

對|ut|m－2ut利用Sobolev緊嵌入定理并結合(G3)同理知

以及

因此

即方程(1.1)的解u存在且在中滿足初始條件u(x，0)=u0(x)和

對任意的ω和幾乎所有的t∈[0，T]成立.所以方程(1.1)存在局部解.

4.整體解的存在性和能量衰減估計

引入以下函數:

定理4.1假設0＜‖?u0‖2＜λ1，0＜E(0)＜E1和(G1)-(G3)成立，則方程(1.1)的弱解u(x，t)整體存在，且有如下的衰減估計

其中K和ω為正的常數.

借助文[7]的方法，首先證明整體解的存在性.

證定義修正的能量泛函

由(G1)，(G2)和引理2.2知

所以

而且由(2.1)，(4.1)得

由引理2.1知E(t)≤E(0).另一方面由(G1)，(G2)知

由引理2.2和上式得

由E(t)的定義得

由?(t)的定義和(4.2)-(4.4)知

即

其中Γ只與p有關.由以上估計和連續性原理可知全局解存在.

在證明衰減估計之前，首先給出相應的引理.

引理4.1[8]令E:R+→R+是非增函數，φ:R+→R+是二階連續可導的單調遞增函數滿足φ(0)=0和假設存在常數c＞0使得

則

其中λ和ω為不依賴于E(0)的正常數.

定理4.1的證明在方程(1.1)兩邊乘ξ(t)u并且在Ω×(S，T)上積分得

估計等式左邊的最后一項

從(2.1)和(4.6)得

結合(2.1)，(2.2)，(4.2)和(G3)得

由Young不等式，(2.2)，(4.2)得

結合(G2)和(2.2)知

因此由(4.3)，(4.9)-(4.12)得

由整體解的證明知α＜1，選取δ足夠小使得

即存在正常數δ＞0使得

在不等式左邊通過令T→∞，當ds時滿足(4.5)，所以結論成立.在定理4.1的證明中，我們沒有限制非線性項指數m，p的大小關系，但要求初始條件u0滿足0＜‖?u0‖2＜λ1，0＜E(0)＜E1.下面我們將去掉這一限制條件，在m≥p這一條件下，證明如下的整體解存在的結論，即表明阻尼強于源時，整體解一定存在.

定理4.2假設和m≥p成立.則對任意T＞0，方程(1.1)存在弱解.

證定義修正的能量泛函

通過方程(1.1)和(2.2)得

由Young不等式和m≥p可知

此時存在兩種情況：當‖ut‖m＞1時，選取ε足夠小使得

即

從以上估計和連續性原理知定理成立.

5.指數增長

擬證明問題(1.1)的能量是無界的.事實上，將證明問題(1.1)在初始能量為負或初始能量有一臨界的正的下界，且時間趨于無窮時，解的Lp范數將以指數函數增長趨于無窮.

定理5.1假設成立且滿足下列條件之一

(i)E(0)＜0;

(ii)‖?u0‖2＞λ1，0＜E(0)＜E2=其中2＜q＜p，u(x，t)是方程(1.1)-(1.3)的局部解.而且假設

則該方程解的Lp范數將以指數形式增長.

證令

結合(2.2)和(5.2)得

所以

且

在方程(1.1)兩邊乘u，在Ω上積分并對(?ut，?u)使用Young不等式得

對某些δ使得其中

由引理2.2(ii)和E2的定義知

所以從上式和(5.4)得微分不等式

對(5.10)在0和t之間積分得H的以下估計

另一方面，又由H的定義知

結合(5.10)，(5.11)得解的Lp范數將以指數形式增長.

對于E(0)＜0，在(5.2)中令H(t)=-E(t)，證明過程大致同上，在此省略.

注5.1提出證明方程(1.1)在有限時間內爆破的困難之處:1)添加了強阻尼項Δut后，在方程中乘u并對此項利用Young不等式放縮時，關于H函數(同定理5.1)得H′≤H1+θ，θ＞0;2)定義輔助函數且由方程中指數決定.在對估計時，因無法用L′(t)中函數控制，所以不成立;3)利用微分不等式技巧建立兩個輔助函數間的關系(類似文[1]利用凸方法構造輔助函數M(t))證明在負初始條件下解的爆破時，不能建立M(t)M′′(t)與M′(t)的關系;4)若已知E(0)＜0下解的爆破，且設初始條件滿足M與m，p有關，可證明在任意初始能量下解在有限時間內爆破.

注5.2DI[9]證明有限時間內的爆破中通過對高階項利用格林公式去掉了文中(5.5)的項(本文證明有限時刻內爆破困難的主要影響項)，并利用不等式放縮得到關于H(t)的微分不等式H′(t)≥ξH(t)1+α對某些α＞0，進而得到解的爆破，而本文只能得到估計H′(t)≥ξH(t)，從而得到解的Lp范數以指數函數增長.