具有密度制約捕食者-食餌系統周期解的全局存在性

魏寧，占萌穎，鄭立飛，萬阿英

(1.西北農林科技大學理學院，陜西楊凌712100;2.西北工業大學計算機學院，陜西西安710000;3.呼倫貝爾學院數學與統計學院，內蒙古海拉爾021008)

1.引言

種群的持續生存是數學生態學中捕食理論的一個重要而廣泛的問題.對于捕食者-食餌系統，很多學者已有大量的研究工作[1－10].同時，越來越多的生物學和生理學證據表明，在許多情況下，特別是當捕食者不得不搜尋食物，因此不得不分享或競爭食物時，一個更切合實際并且更一般的捕食者-食餌系統模型應該是：捕食者的捕食率除了和食餌種群的種群密度有關外，還受到捕食者種群自身的密度影響.因此一般的捕食者-食餌系統模型可描述為

其中ai，bi，ci(i=1，2)均為正常數.采用Holling第二型功能反應項，該模型可以改進為

其中ai，bi(i=1，2)，α，k，m均為正常數.

然而，人們發現在現實問題當中，一個系統將來的狀態不僅僅只是和當前的狀態有關同時它也與過去的某一時間段有緊密的聯系．所以，近年來具有時滯的捕食者-食餌系統模型倍受廣泛關注.在模型(1)和(2)的基礎上，本文主要考慮如下時滯系統

其中，N1(t)，N2(t)分別是食餌和捕食者的種群密度，bi:R→R，ai，τi，σi，α:R→[0，+∞)，β:R→[0，+∞)是連續的ω周期函數且α/0.m≥0，當m=0時系統(3)是經典的Lotka-Volterra捕食者-食餌模型.

本文的目的是利用Mawhin重合度理論中的延拓定理來研究系統(3)正ω周期解的全局存在性.

2.預備知識

本文利用Gaines和Mawhin重合度理論中的延拓定理證明系統(3)周期解的存在性.

設X，Z是兩個Banach空間，L:DomL?X→Z為線性映射，N:X→Z為連續映射.如果dim KerL=co dim ImL＜+∞且ImL為Z中的閉子集，則稱映射L是指標為0的Fredholm映射.若L指標為0的Fredholm映射存在連續投影

使得

則L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL可逆，并設其逆影射為KP.

設Ω為X中的有界開集，若QN()有界且KP(I-Q)N:→X是緊的，則稱N在上是L-緊的.由于ImQ和KerL是同構的，因而存在同構影射J:ImQ→KerL.

引理1[11](延拓定理)設X，Z是Banach空間，L指標為0的Fredholm映射，N:X→Z在上是L-緊的，其中Ω為X中的有界開集，且滿足：

1)?λ∈(0，1)，方程Lx=λNx的解滿足;

2)?x∈Ker0;

3)deg{JQN，Ω∩KerL，00.

則方程Lx=Nx在DomL∩內至少存在一個解.

引理2關于系統(3)是正向不變的.

證因為

顯然引理的結論成立.

結合系統(3)的實際生物學意義，取如下初值

且假設種群密度有界，即

其中，τ=max{τ1(t)，τ2(t)，σ1(t)，σ2(t)}.本文采用如下的記號:

3.主要結果及證明

本文主要結果為如下的定理.

定理1如果則系統(3)至少存在一個正ω周期解.

證首先作變換

則系統(3)可變形為

則X，Z在范數‖·‖下為Banach空間，令

則

為Z中的閉子集，且dim KerL=2=co dim ImL.因此，L是指標為0的Fredholm映射.容易證明，P，Q是連續的投影算子且使得ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q)，故L的逆映射Kp:ImL→KerP∩DomL存在，且

從而

顯然，由以上兩式可知QN及Kp(I-Q)N也連續，因為Ω為X中的有界開集，則QN()有界，利用Ascoli-Arzela定理，容易證明是緊致的，因此N在上是L-緊的.

對應于算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)，有

設x(t)∈X是系統(6)對應于某個λ∈(0，1)的解，對系統(5)兩端由0到ω積分得

即

由(6)-(8)知

因為x(t)=(x1(t)，x2(t))T∈X，所以存在ξi，ηi∈[0，ω]，i=1，2，使得

由(4)，(7)及(11)，有

且

即

于是

另外，由(7)及(10)還可以得到

即

于是

由(12)，(13)，有

由(7)式有

所以

則

由(7)，(10)及(12)可得

所以

則

由(15)，(16)可知

由式(13)-(16)，可以看出Hi(i=1，2，3，4)與λ的選取無關，由定理的已知條件容易證明代數方程組

令

則Ω滿足引理1中的條件，當x∈?Ω∩KerL=?Ω∩R2時，x是R2中的常值向量且‖x‖=H，于是

又式（16）存在唯一解，由已知條件可直接計算得到

此式中同構映射J可取為恒同構映射，因為KerL=ImQ.由于已經證明Ω滿足引理1的全部條件，由引理1，方程Lx=Nx在DomL∩中至少存在一個解，即系統(3)在中至少存在一個ω周期解令則由(4)可知是系統(3)的一個ω周期解.

注1系統(3)中τ1(t)，τ2(t)，σ1(t)，σ2(t)不必恒為正數.

注2此結論對食物鏈系統模型仍然成立.

注3當m=0時，系統(3)的周期解仍然存在.