一類加權(quán)Kirchhoff方程非線性Liouville定理

曹悅璠，方鐘波

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100)

1.引言

本文中，我們考慮一類具有加權(quán)函數(shù)的Kirchhoff方程

其中N≥1，a，b∈R，加權(quán)函數(shù)ω1和ω2均為滿足適當(dāng)條件的正函數(shù)且可能為Hardy勢(shì)函數(shù)，非線性項(xiàng)f為非負(fù)函數(shù)且可取為Gelfand(或Liouville)項(xiàng)eu.一般地，具有Hardy勢(shì)函數(shù)的橢圓方程(1.1)的解可能具有奇性，故很自然需要在一個(gè)適當(dāng)?shù)募訖?quán)Sobolev空間中研究(1.1)的弱解.類似于文[1]，對(duì)我們定義

眾所周知，方程(1.1)可理解為粘彈性振動(dòng)理論中Kirchhoff型波動(dòng)方程及達(dá)朗貝爾波動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題.從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，方程(1.1)不是逐點(diǎn)恒等式，因此方程(1.1)是非局部問(wèn)題且與局部問(wèn)題相比有著較大的難度.迄今為止，許多學(xué)者致力于橢圓型方程穩(wěn)定解的存在性與非存在性及正則性的研究并取得了許多進(jìn)展.我們注意到，在這些進(jìn)展中人們對(duì)有限Morse指數(shù)解或者在緊集外穩(wěn)定解感興趣.大部分學(xué)者對(duì)這些解的Liouville型定理感興趣的原因在于有界區(qū)域中穩(wěn)定解的非存在性與對(duì)應(yīng)方程穩(wěn)定解的先驗(yàn)估計(jì)有十分緊密的聯(lián)系.其中，關(guān)于局部方程-Δu=f(u)的研究方面見專著[2]及相關(guān)文獻(xiàn);關(guān)于具有加權(quán)函數(shù)的局部方程研究方面，我們參考了文[3-7].比如，Cowan和Fazly[7]研究了加權(quán)半線性橢圓方程Liouville型定理

其中非線性項(xiàng)f(u)=eu，up(p＞1)，-u－p(p＞0).他們得到了穩(wěn)定上解和下解的存在性與非存在性結(jié)論且其依賴于維數(shù)、指數(shù)以及權(quán)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為.在有些結(jié)論中，給ω1適當(dāng)?shù)膯握{(diào)性假設(shè)，也能得到相同的結(jié)果.此外，具有加權(quán)指數(shù)源項(xiàng)的p-Laplacian方程柯西問(wèn)題穩(wěn)定解的Liouville定理的研究方面，我們重點(diǎn)參考了文[1].

本文中，我們的目的在于建立具有加權(quán)函數(shù)的Kirchhoff方程新的Liouville型定理.實(shí)際上，Lions在文[8]中首次在泛函分析框架下研究Kirchhoff模型，之后，Kirchhoff型方程受到了廣泛的關(guān)注且已有很好的成果，讀者可以參看關(guān)于Kirchhoff問(wèn)題可解性的文[9-13](具有乘冪型源項(xiàng))及文[14-16](具有指數(shù)型源項(xiàng)).最近，Le等[16]考慮了Hardy-Henon型Kirchhoff方程

其中常數(shù)a，b≥0，a+b＞0.他們?cè)谶m當(dāng)?shù)臈l件下證明了方程不存在非平凡穩(wěn)定解的結(jié)論.Huynh等[17]考慮如下Henon型的Kirchhoff方程:

其中a∈R，b∈R{0}.他們利用試驗(yàn)函數(shù)法得到了在適當(dāng)?shù)臈l件下問(wèn)題弱解的非存在性及具有指數(shù)型源項(xiàng)問(wèn)題穩(wěn)定解的非存在性.

綜上所述，具有加權(quán)函數(shù)的Kirchhoff方程(1.1)弱解與穩(wěn)定解的非存在性(Liouville型定理)研究還未十分完整.其主要難點(diǎn)在于找到空間的維數(shù)、加權(quán)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為或單調(diào)性、非線性項(xiàng)f(u)及Kirchhoff算子對(duì)問(wèn)題解的非存在性的影響.由此啟發(fā)，我們利用構(gòu)造試驗(yàn)函數(shù)技巧，建立方程(1.1)新的Liouville定理.

本文的剩余部分結(jié)構(gòu)如下:在第2節(jié)中，我們引入一些記號(hào)，方程(1.1)弱解和穩(wěn)定解的定義及引理.第3，4節(jié)中，我們陳述主要結(jié)論，并利用構(gòu)造試驗(yàn)函數(shù)的技巧，證明方程(1.1)弱解的非存在性及具有指數(shù)型源項(xiàng)的方程(1.1)穩(wěn)定解的非存在性.

2.準(zhǔn)備知識(shí)及主要結(jié)論

本節(jié)中，我們給出一些記號(hào)，問(wèn)題(1.1)弱解與穩(wěn)定解的定義、引理并陳述主要結(jié)論.

為了描述簡(jiǎn)便，我們用C表示一般的常數(shù)且每行的常數(shù)C可能表示不同的常數(shù);同時(shí)，當(dāng)某個(gè)常數(shù)依賴于ε時(shí)用Cε表示.BR表示以0∈RN為中心半徑為R的球.空間X的定義如下:若若.

由Hardy勢(shì)導(dǎo)致橢圓方程(1.1)解可能具有奇性，故一般考慮弱解.下面，我們給出問(wèn)題(1.1)弱解及穩(wěn)定解的定義.

定義2.1若函數(shù)u∈X滿足且對(duì)有

則稱函數(shù)u是方程(1.1)的弱解.

定義2.2若(1.1)的弱解u滿足：對(duì)有

則稱u是方程(1.1)的穩(wěn)定解.

注2.1由前述的定義知，函數(shù)u是方程(1.1)的弱解意味著u是能量泛函E(u)的臨界點(diǎn)，而穩(wěn)定解則表明能量泛函E(u)在u處的第二變分是非負(fù)的，即，對(duì)有E′′(u)[φ，φ]≥0.這里，問(wèn)題(1.1)對(duì)應(yīng)的能量泛函為

則我們有

于是

因此I′(0)=0等價(jià)于

即E(u)的臨界點(diǎn)u是問(wèn)題(1.1)的弱解.

其次，我們求I′′(0).

故有

且

因此，我們易知I′′(0)≥0等價(jià)于

即E(u)的極小值點(diǎn)u是問(wèn)題(1.1)的穩(wěn)定解.

緊接著，我們導(dǎo)出主要定理的證明所需的引理.

引理2.1若u是方程(1.1)的穩(wěn)定解，則對(duì)有

證利用加權(quán)的Hlder不等式，我們有

由穩(wěn)定解定義(2.2)及(2.4)，我們得到

引理2.1證畢.

注2.2由稠密性理論知，對(duì)前述的(2.1)，(2.2)及(2.3)式同樣成立.

注2.3如果ab≥0且a+b＞0，勢(shì)函數(shù)ω1(x)保證可積，非線性函數(shù)f是嚴(yán)格單調(diào)遞增的且u是方程(1.1)的穩(wěn)定解，則事實(shí)上，我們?nèi)≡囼?yàn)函數(shù)滿足:0≤φ≤1，且

其中常數(shù)C不依賴于R.

將φ代入到(2.3)中，并利用的φ性質(zhì)，我們導(dǎo)出

在上式中，兩邊取極限R→∞，即可得

RN ω2(x)f′(u)dx=0.

現(xiàn)在，我們?cè)敿?xì)陳述本文的主要結(jié)論.

定理2.1假設(shè)a∈R，b0，非線性函數(shù)f為一個(gè)非負(fù)函數(shù).若對(duì)于a.e.x∈RNBR0，有0≤ω1(x)≤A|x|p且ω2(x)≥B|x|q，其中A，B及R0為正常數(shù)，則方程(1.1)滿足

的弱解u∈X不存在.

推論2.1在定理2.1的條件下，則滿足下列條件之一的方程(1.1)不存在弱解:

1)p＜1，N≤1-p;

2)infRf＞0，q∈(-∞，-N]

推論2.2定理2.1的條件成立且若f非減(或非增)，則方程(1.1)不存在有下界(或上界)的弱解.

對(duì)非線性項(xiàng)f(u)為指數(shù)函數(shù)情形，我們得到了如下穩(wěn)定解的非存在性結(jié)論.為了描述方便，我們簡(jiǎn)記如下表達(dá)式:

定理2.2假設(shè)ab≥0且a+b＞0，f(u)=eu.如果存在當(dāng)R→∞時(shí)滿足J→0且K→0，則方程(1.1)不存在穩(wěn)定解.

推論2.3假設(shè)ab≥0且a+b＞0，對(duì)于a.e.x∈RNBR0有0≤ω1(x)≤A|x|p，ω2(x)≥B|x|q，其中A，B及R0為正常數(shù)，若則方程(1.1)不存在穩(wěn)定解.

注2.4由定理2.2的證明過(guò)程易知，對(duì)ω1給定適當(dāng)?shù)膯握{(diào)性假設(shè)也可得到方程(1.1)穩(wěn)定解不存在性結(jié)論.

定理2.3假設(shè)ab≥0且a+b＞0，f(u)=eu.且對(duì)充分大的|x|，ω1(x)滿足?ω1(x)·x≤0，如果存在當(dāng)R→∞時(shí)滿足J→0，則方程(1.1)不存在穩(wěn)定解.

推論2.4假設(shè)ab≥0且a+b＞0，f(u)=eu，ω2∈L∞，若對(duì)充分大的|x|有

推論2.5若在推論2.4中勢(shì)函數(shù)ω1的條件換成:對(duì)充分大的|x|有

3.弱解的非存在性

對(duì)?R＞R0，我們介紹滿足0≤φ≤1，且

其中常數(shù)C不依賴于R.

定理2.1的證明假設(shè)方程(1.1)存在滿足(2.5)式的弱解u∈X.選取試驗(yàn)函數(shù)φ，我們有

結(jié)合(3.1)及(3.2)，我們導(dǎo)出

再由條件(2.5)知，存在R′∈N，R′＞R0使得當(dāng)R＞R′時(shí)滿足

結(jié)合(3.3)及(3.4)易知，當(dāng)R＞R′時(shí)，我們有

其中C不依賴于R.

取R=R′，R′+1，R′+2，···且對(duì)(3.5)式左右兩邊關(guān)于R求和，我們得到

推論2.1的證明利用反證技巧.假設(shè)方程(1.1)存在弱解u.顯然，當(dāng)p＜1，N≤1-p時(shí)，弱解u滿足(2.5)式.與定理2.1的結(jié)論矛盾.

又有

且若q∈(-∞，-N]，則積分發(fā)散.因此，由(3.6)知(2.5)式成立且與定理2.1矛盾.

且將上式代入(3.6)中，我們得到

對(duì)(3.7)式兩邊取R→∞極限，易知(2.5)式成立且與定理2.1的結(jié)論導(dǎo)致矛盾.推論2.1證畢.

推論2.2的證明利用反證法.若f非減且方程(1.1)存在有下界的弱解u.記u的下界為u1，則infRf=f(u1)且與推論2.1導(dǎo)致矛盾.關(guān)于f為非增情形類似，故此處省略.推論2.2證畢.

4.穩(wěn)定解的非存在性

由u∈X易知，u不一定是局部有界.因此，我們不能取φ=eαuψ為試驗(yàn)函數(shù).類似于文[1，17]，我們利用截?cái)嗉记蓙?lái)克服這個(gè)困難.對(duì)每個(gè)k∈N定義如下正函數(shù)ak(t)和bk(t)∈C1(R):

及

其中α＞0為待定常數(shù).同時(shí)，直接通過(guò)計(jì)算得到，對(duì)?t∈R，我們有

其中C僅依賴于α.此外，由知

定理2.2的證明利用反證技巧.假設(shè)方程(1.1)存在穩(wěn)定解u.

現(xiàn)在，基于ak(u)，bk(u)的定義，我們的證明將分為四個(gè)步驟展開.

步1對(duì)任意的ε∈(0，1)任意的k∈N，及任意的非負(fù)函數(shù)存在一個(gè)常數(shù)Cε＞0使得

為了證明(4.2)，根據(jù)弱解定義，我們?nèi)≡囼?yàn)函數(shù)為φ=bk(u)ψ2代入(2.1)中并利用帶ε的Young不等式，我們導(dǎo)出

且整理后，我們得到

步2對(duì)任意的k∈N，及任意的非負(fù)函數(shù)有

為了證明(4.3)，我們?nèi)≡囼?yàn)函數(shù)φ=ak(u)ψ.直接計(jì)算，我們有

且根據(jù)穩(wěn)定解定義，及引理2.1，我們導(dǎo)出

對(duì)(4.4)最后一項(xiàng)，通過(guò)分部積分直接計(jì)算得到

整理后，我們有

將(4.5)代入(4.4)，我們得到

步3存在常數(shù)C=C(α)＞0使得對(duì)任意非負(fù)函數(shù)我們有

為了證明(4.6)，結(jié)合(4.2)，(4.3)，并利用(4.1)，我們可導(dǎo)出

并整理后，我們有

其中常數(shù)C僅依賴于α.

在(4.8)式中取k→∞極限并利用單調(diào)收斂定理，我們得到

步4當(dāng)R→∞時(shí)，J→0，K→0，則方程(1.1)不存在穩(wěn)定解.

為了證明上述結(jié)論，我們令R＞0且取ψ=ξm，其中m＞0待定，滿足0≤ξ≤1，且

其中常數(shù)C不依賴于R.

再由(4.6)式，我們有

其中常數(shù)C1，C2＞0僅依賴于α，m.

及

將(4.10)及(4.11)代入(4.9)中，再由ξ的性質(zhì)，我們導(dǎo)出

且有

對(duì)(4.13)式兩邊取R→∞極限并由條件:當(dāng)R→∞時(shí)，J，K→0易知

且導(dǎo)致矛盾.定理2.2證畢.

推論2.3的證明根據(jù)ω1(x)，ω2(x)的假設(shè)，我們?nèi)?R＞R0，有

和

其中常數(shù)C＞0均不依賴于R.

再由定理2.2得到方程(1.1)不存在穩(wěn)定解.推論2.3證畢.

下面，我們證明本文的第三個(gè)定理.

定理2.3的證明利用反證法.假設(shè)方程(1.1)存在穩(wěn)定解u并類似于定理2.2的證明，我們?nèi)∠嗤腶k(u)和bk(u)的函數(shù).下面的證明將分為四個(gè)步驟展開.實(shí)際上，第一步到第三步的證明過(guò)程與定理2.2的證明相同，因此只給第四步的證明過(guò)程.

步4當(dāng)|x|充分大，ω1(x)滿足?ω1(x)·x≤0，且對(duì)某個(gè)當(dāng)R→∞時(shí)，J→0.則方程(1.1)不存在穩(wěn)定解.

為了證明第四步，我們令R＞0且取ψ=ξm，其中m＞0待定，滿足0≤ξ≤1，且

其中常數(shù)C不依賴于R且函數(shù)c(x)≥0.

由(4.6)式，我們有

其中常數(shù)C1，C2＞0僅依賴于α，m.

下面，估計(jì)(4.14)式右邊兩個(gè)積分項(xiàng).對(duì)第一個(gè)積分，利用Hlder不等式，并取充分大的m滿足m≥α+1，則我們得到

由?(ω1(x))·x≤0且?ξ=-c(x)·x，其中c(x)≥0，我們有

將(4.15)及(4.16)式代入(4.14)中，并利用ξ的性質(zhì)，我們導(dǎo)出

且

利用條件:當(dāng)R→∞時(shí)，J→0并在(4.17)式兩邊取R→∞極限，我們易知

且導(dǎo)致矛盾.定理2.3證畢.

推論2.4的證明由假設(shè)ω2(x)∈L∞及當(dāng)|x|充分大，有ω1(x)≤Cω2(x)，|?ω1(x)|≤Cω2(x)知

知

推論2.5的證明由假設(shè)ω2(x)∈L∞及當(dāng)|x|充分大，有ω1(x)≤Cω2(x)且?ω1(x)·x≤0，我們得到