兩列同向共線縱波混疊的數(shù)值研究

孫征昊， 李鴻光， 李富才， 孟 光，3， 孫 暉

(1.上海衛(wèi)星裝備研究所，上海 200240； 2. 上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240；3. 上海航天技術(shù)研究院，上海 201109)

基于線性理論的超聲檢測技術(shù)在微小損傷和早期損傷檢測的敏感度等方面存在許多不足，而近年發(fā)展起來的非線性超聲檢測方法能利用超聲波在結(jié)構(gòu)中傳播時產(chǎn)生的非線性效應(yīng)，進而通過輸出信號在頻率上的改變對微小和早期損傷做出評價。具體說來，介質(zhì)內(nèi)存在的不連續(xù)與有限振幅超聲波之間的相互作用會造成聲波波形的畸變，進而會使頻域內(nèi)出現(xiàn)不同于入射聲波的頻率成分。非線性超聲檢測方法可以深入到微觀層面識別材料的性能退化，對損傷早期微觀結(jié)構(gòu)的改變具有很高的檢測靈敏度，因而具有廣泛而重要的應(yīng)用前景。

基于不同的非線性效應(yīng)衍生出若干種非線性超聲檢測方法，主要包括二次諧波生成法、接觸聲學非線性法、分頻諧波生成法、諧振超聲譜法、波束混疊法等。

波束混疊法是使兩只換能器產(chǎn)生的激勵信號在材料內(nèi)部待測處交匯，通過觀測第三列波、即諧振波的響應(yīng)來判斷指定位置的材料性質(zhì)。由于具有空間、模式、頻率和方向選擇性等諸多優(yōu)點，近年來波束混疊法進入研究者的視野，出現(xiàn)了針對該方法的一些理論和實驗研究。 如下：Jones等[1]最早觀察到在滿足諧振條件的交互作用情形下能夠產(chǎn)生諧振波，Zarembo和Krasilnikov[2]，Taylor和Rollins[3-4]，Childress和Hambrick[5]等也給出了關(guān)于諧振波產(chǎn)生條件的討論。Korneev等[6]對非線性超聲波束混疊現(xiàn)象進行了更深入的研究，推導(dǎo)出所有可能存在的交互作用情形下的一般非線性諧振波幅值的解析表達式。Sun等[7-8]對兩列反向共線縱波和兩列非共線波的混疊情況進行了數(shù)值研究。Sun等[9]研究了聲學非線性系數(shù)與兩列發(fā)生非線性相互作用的入射剪切波的夾角之間的關(guān)系。

Croxford等[10]提出了利用非共線波束混疊方法對材料退化進行探測，將這種方法應(yīng)用在了鋁制試件在疲勞損傷和塑形變形下的性質(zhì)檢測。Lin等[11-12]利用一列縱波與另一列剪切波共線混疊的方法監(jiān)測了金屬中的局部塑形變形和疲勞。Demenko等[13-14]以非共線波束混疊方法對PVC和熱材料的物理老化狀態(tài)進行估計，檢測了環(huán)氧樹脂的硬化。

關(guān)于兩列同向縱波混疊的情形，近年來在解析解的推導(dǎo)方面涌現(xiàn)出一些理論成果，Kuvshinov等[15]對巖石中彈性波的非線性相互作用的若干種情形的解析解做以總結(jié)，Korneev等在歸納各種混疊情形的討論中給出了散射系數(shù)的表達式，Wang等[16]分析了材料非線性影響下兩列平面彈性縱波發(fā)生混疊后產(chǎn)生的非線性響應(yīng)。然而，關(guān)于兩列波在混疊過程中發(fā)生相互作用的機理尚不清楚，在微觀結(jié)構(gòu)與所生成的諧振波之間的影響機制上也缺乏認識，亟待通過某種數(shù)值分析的方法對這些問題開展研究，加深對波束混疊物理過程和諧振波傳播特性的認識，從而更好地為這一非線性檢測手段的實踐應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)和方法支撐。

1 材料非線性固體介質(zhì)中波的傳播模型

這里應(yīng)用一對耦合的雙曲型偏微分方程來對具有平方非線性的彈性半空間內(nèi)的聲波進行描述。在彈性板空間內(nèi)建立笛卡爾坐標系，在邊界上施加兩列與時間相關(guān)的線性載荷(如圖1所示)。二維運動控制方程可寫成以下二階雙曲型偏微分方程組的形式：

圖1 非線性固體中兩列波混疊的物理模型

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：δ(x)是表示z=0處的線性載荷的delta函數(shù)，F(xiàn)(t)是輸入信號函數(shù)，Q是F(t)的幅值，F(xiàn)(t)的表達式為

(6)

式中：ff表示激勵頻率，tf表示激勵頻率施加的截止時間。半空間內(nèi)的質(zhì)點位移和速度在初始時刻均設(shè)為零。選擇激勵頻率時，要保證設(shè)定下的差頻與和頻諧振波與基頻波及其二次諧波的頻率值之間保持充分的間隔，以使得頻域內(nèi)的不同頻率成分不會發(fā)生重疊而難以區(qū)別。本文選用的一組激勵頻率大小為2 MHz和7.6 MHz，此時差頻與和頻成分的頻率大小分別為5.6 MHz和9.6 MHz。

與標準非線性本構(gòu)關(guān)系相比，這里僅考慮小應(yīng)變，忽略掉與幾何非線性相關(guān)的項，將本構(gòu)關(guān)系式寫成

(7)

式中：λ和μ是二階彈性常數(shù)，l和m是三階彈性常數(shù)。

完整狀態(tài)下的材料通常被認為是線性介質(zhì)，而當材料包含諸如位錯、塑性變形、晶界、沉淀等一些微小損傷時，材料本構(gòu)關(guān)系中的非線性項會顯著增大[17]。這里選用了D54S鋁作為結(jié)構(gòu)所用的材料[18]，其材料參數(shù)列于表1中。數(shù)值計算過程中選取了五組非線性系數(shù)，分別表征完整材料和發(fā)生不同程度的疲勞損傷時的材料，其中m1和l1表征完整材料，而mk和lk表征發(fā)生不同程度損傷的材料，其數(shù)值分別為m1和l1的k倍。

表1 算例中所選用的材料參數(shù)

2 數(shù)值求解方案

這里探討的非線性問題可以通過二維平面上的雙曲型守恒律可表示成如下形式：

(8)

(9)

兩個通量矢量分別為

(10)

(11)

非線性本構(gòu)關(guān)系下可能存在一些具有虛數(shù)特征值的雅可比矩陣的區(qū)域，因而這里通過限制激勵信號的輸入振幅Q來使系統(tǒng)保持在雙曲區(qū)域內(nèi)，進而矩陣特征值為實數(shù)。本文采用Kurganov等[19]提出的一種具有高分辨率的二階中心差分方法進行數(shù)值求解，并通過對CENTPACK計算程序包[20]加以改進得以實現(xiàn)，利用ghost-cell方法來完成邊界條件的設(shè)置。為確保計算結(jié)果的收斂性，所選取的數(shù)值時間步長需要滿足CFL條件，從而保證了某一點的解析域的解完全包含在該點的差分方程的數(shù)值解內(nèi)。通過設(shè)定吸收邊界條件，避免造成邊界上的反射。

3 數(shù)值計算分析

3.1 正反相響應(yīng)疊加法

作為非線性超聲檢測技術(shù)的一種，波束混疊技術(shù)主要利用的是頻率成分的有關(guān)信息，這里對時域內(nèi)響應(yīng)進行了快速傅里葉變換(FFT)從而得到其在頻域中的響應(yīng)。

本文采用正反相響應(yīng)疊加法將基頻波從其他成分中分離出來。以兩個互為180°相反相位的信號作為輸入激勵，將其相應(yīng)的兩次響應(yīng)進行疊加后，可以將偶數(shù)階高次諧波提取出來。由于所生成的諧振波來自方程中的非線性項，通過線性疊加的方式不能除去，因而將正反相響應(yīng)疊加后，僅僅減去了基頻波成分和所有奇數(shù)階高次諧波成分，其他的各種頻率成分則被保留下來。計算結(jié)果表明，通過正反相響應(yīng)疊加的方式，不僅可以將諧振波從多種復(fù)雜成分中有效提取出來，并且頻譜中將主要只存留兩種頻率的諧振波與兩種頻率的二次諧波等四種成分，這對直觀高效地分析波與能量的消長具有積極意義。

3.2 質(zhì)點速度波前云圖

根據(jù)各時間步的計算結(jié)果，可以繪制出以質(zhì)點速度表征的各時刻的波前，在這里給出了四個不同時刻x-和y-兩個方向的波前圖，并分別列出通過單組激勵法(左列)和正反相響應(yīng)疊加法(右列)得到的兩種結(jié)果。從圖中可以看到，兩列不同頻率的波同時離開左側(cè)邊界，繼續(xù)向右擴展至右側(cè)邊界，由于被吸收而消失在計算域的過程。從圖2可見，x-方向上形成的主要是球面波，波前云圖關(guān)于水平中心線呈現(xiàn)軸向反對稱性。在波束混疊作用影響下，波前改變了寬度、間距和峰谷排列的式樣，條紋密度大致增倍，從而可見基頻波成分被削弱，并產(chǎn)生了包含二次諧波的高頻成分。從圖3可見，y-方向上形成的主要是平面波，波前云圖關(guān)于水平中心線呈現(xiàn)軸向正對稱性。同樣地，條紋密度基本上增大至原先的兩倍，可見響應(yīng)中存在著二次諧波等高頻成分。

圖2 不同時刻非線性介質(zhì)中分別對應(yīng)于原始響應(yīng)與合并后響應(yīng)的vx波前的運動情況

圖3 不同時刻非線性介質(zhì)中分別對應(yīng)于原始響應(yīng)與合并后響應(yīng)的vy波前的運動情況

3.3 時域響應(yīng)分析

這里分別給出了x-和y-兩個方向上的非線性響應(yīng)，以分析諧振波和高次諧波的非線性響應(yīng)。在2 MHz和7.6 MHz作為激勵頻率的條件下，和頻率與差頻率的數(shù)值分別為5.6 MHz和9.6 MHz，兩種二次諧波的頻率分別為4 MHz和15.2 MHz。選用五組不同水平的非線性系數(shù)提供對比，其中一組系數(shù)描述完整材料，另外四組系數(shù)分別描述不同疲勞損傷階段的材料特征。

分別選取結(jié)構(gòu)左、右端點和中點這三個具有代表性的觀測點。圖4(a)～(f)分別給出結(jié)構(gòu)左端點處x-和y-方向上的總響應(yīng)和5.6 MHz、9.6 MHz兩種諧振波響應(yīng)。

從圖4(a)和(d)可以看到x-和y-方向上在總響應(yīng)中2 MHz與7.6 MHz的輸入激勵成分發(fā)生了充分的相互作用，響應(yīng)中的波形發(fā)生了明顯的畸變，而響應(yīng)幅值隨非線性水平的增大并未發(fā)生明顯改變。從圖4(b)和(c)、4(e)和(f)可見，差頻與和頻諧振波響應(yīng)呈現(xiàn)出平滑完整的包絡(luò)線，并且其幅值隨非線性水平的依次增大而遞增，y-方向上諧振波響應(yīng)出現(xiàn)的時間比x-方向更早。

圖4 不同非線性水平情況下質(zhì)點速度的時域響應(yīng)

圖4(g)～(l)給出了結(jié)構(gòu)中點處兩個方向上的總響應(yīng)與兩種諧振波響應(yīng)。對非線性響應(yīng)而言，x-方向上的差頻與和頻響應(yīng)幅值隨非線性系數(shù)依然保持單調(diào)遞增，y-方向上的差頻響應(yīng)幅值符合單調(diào)遞增的規(guī)律，而和頻響應(yīng)幅值在非線性系數(shù)較小時保持單調(diào)遞增，但在非線性系數(shù)達到一定水平后出現(xiàn)遞減的趨勢(圖4(l))。由此可見，通過對兩個方向的觀測，差頻成分能夠準確反映非線性水平的改變；而通過對x-方向的觀測，和頻成分也能夠反映出非線性水平的變化。

圖4(m)～(r)給出了結(jié)構(gòu)右端處兩個方向上的總響應(yīng)與兩種諧振波響應(yīng)。從圖中可見，x-方向上的差頻響應(yīng)幅值隨非線性系數(shù)保持單調(diào)遞增，而其他三種諧振波響應(yīng)幅值隨非線性系數(shù)的改變并無明顯的單調(diào)變化趨勢。由此可見，通過對x-方向的觀測，材料中非線性水平的變化可以通過差頻諧振成分準確反映出來。

3.4 頻域響應(yīng)分析

對于結(jié)構(gòu)左、中、右三個典型位置觀測點，如圖5所示，分別給出基于單組雙頻激勵法(前兩行)和正反相響應(yīng)疊加法(后兩行)的x-和y-兩個方向上的頻域響應(yīng)。首先關(guān)注左列：對于左端點，兩個方向的頻域內(nèi)主要存在著2 MHz和7.6 MHz兩種基頻波成分(圖5(a)和(c))，而相比之下5.6 MHz與9.6 MHz的兩種諧振波頻率成分的幅值則很微小。對于中點，兩個方向上的兩種諧振波頻率成分的幅值皆有較為明顯的增長，且該幅值隨非線性系數(shù)的增大而變大，而4 MHz的二次諧波頻率成分也呈現(xiàn)相同的特征。對于右端點，兩個方向上的諧振波頻率成分有所降低，且除了x-方向上的5.6 MHz差頻成分外，其他幾種諧振波幅值隨非線性系數(shù)的變化未呈現(xiàn)明顯規(guī)律。而在右列上，2 MHz和7.6 MHz的兩種基頻波成分幾乎被完全削減。左端點的x-方向上突出存在著5.6 MHz與9.6 MHz兩種諧振波頻率成分，y-方向上除了這兩種之外，同時存在4 MHz與15.2 MHz兩種二次諧波頻率成分，其中15.2 MHz成分的幅值更為顯著。中點的兩個方向上同樣存在上述四種成分，其中5.6 MHz的差頻諧振波成分占優(yōu)，而9.6 MHz的和頻諧振波成分在較大非線性系數(shù)情況下無顯著變化規(guī)律。而在右端點，諧振波頻率成分中只有x-方向上的5.6 MHz差頻成分隨非線性系數(shù)的變化單調(diào)遞增。

圖5 不同材料非線性水平情況下質(zhì)點速度經(jīng)過FFT變換后的結(jié)果

3.5 諧振波在擴展路徑上的變化趨勢分析

分別在時域和頻域上觀測了具有和頻率和差頻率兩種諧振波成分的生成情況之后，便可以進一步得到沿擴展路徑方向諧振波的變化趨勢。由于對于共線波束混疊的情形，諧振波產(chǎn)生的位置和擴展的方向均位于主波擴展的主路徑上，所以在該擴展路徑的中心線上選取了共37個等距觀測點，相鄰兩個觀測點間的距離為0.6 mm。

圖6(a)給出了5.6 MHz的差頻諧振波頻率成分在x-方向的幅值，從左端開始，沿著向右的方向，大體呈現(xiàn)出先增大后減小的變化趨勢，而且隨著非線性系數(shù)的增加依次增大。由此可知，在結(jié)構(gòu)該路徑上的任意位置進行測量，都可以通過諧振波的幅值檢測出非線性系數(shù)的變化。而對于其他幾種幅值變化曲線(圖6(b)～6(d))，諧振波幅值只在前半段隨非線性系數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)遞增的規(guī)律，而在后半段未有明顯變化規(guī)律。圖6(e)～6(h)給出了4 MHz和15.2 MHz兩種二次諧波成分的變化趨勢，從中可見4 MHz成分在兩個方向上均保持了在整個路徑上隨非線性系數(shù)的單調(diào)遞增性，其中y-方向上的幅值沿著從左到右的方向逐漸增大，而15.2 MHz的成分隨非線性系數(shù)而變的規(guī)律不明顯。

圖6 不同材料非線性水平情況下差頻諧振波和二次諧波在擴展路徑上的變化規(guī)律

4 結(jié) 論

本文通過對兩列同向共線的縱波波束混疊的數(shù)值研究，揭示了同向共線縱波波束混疊過程的物理機理和所生成的諧振波的傳播特性。由于在此過程中的形成實際聲場非常復(fù)雜，響應(yīng)中包含了多種非線性成分，在難以進行理論分析的情況下，數(shù)值方法提供了很好的解決途徑。

本文研究工作對后續(xù)相關(guān)實驗研究的設(shè)計和實施具有指導(dǎo)和參照意義。在受限于單側(cè)放置探頭的情況下，可通過在待測表面安置一只換能器的方式，同時用于發(fā)射和接收信號，并無需設(shè)置激勵時間差，即可實現(xiàn)兩列縱波的充分混疊及差頻與和頻諧振波的生成。

數(shù)值計算結(jié)果表明，差頻與和頻諧振波成分可以同時在多個方向上產(chǎn)生和擴展，而其中剪切方向產(chǎn)生的差頻諧振波成分能夠隨材料非線性系數(shù)而單調(diào)遞增，從而可以對材料非線性進行準確測量，進而為材料早期疲勞損傷和微小損傷的評價提供有效而便捷的檢測方法。