高階諧波控制算法減振應用中作動器飽和問題研究

張仕明， 周 云， 胡和平

(直升機旋翼動力學重點實驗室，中國直升機設計研究所，江西 景德鎮 333000)

直升機前飛時槳葉在各個方位角的氣流速度不同，旋翼處于不對稱、非定常、周期變化的氣動環境中，必然產生高階諧波氣動載荷，它是直升機振動的主要根源。在過去的三十年里，為了減小旋翼振動，涌現出了多種主動控制旋翼技術。

基于減振的旋翼主動控制起源于“高階諧波控制”(higher harmonic control，HHC)[1]，其通過在自動傾斜器不動環上施加N/rev激勵(N為旋翼槳葉片數)，使旋轉槳葉獲得N/rev、N±1/rev的槳距輸入，進而在槳葉上引起附加的高階氣動載荷，選擇適當的激勵幅值和相位，就能抵消原槳葉的交變載荷，降低槳轂中心的力和力矩的N/rev諧波分量，從而從源頭實現直升機減振。HHC系統受到高功耗、帶寬以及每片槳葉槳距輸入一致等條件的制約，其一種替代方法為“獨立槳葉控制”(individual blade control，IBC)，傳統的IBC[2]通過小拉桿在旋轉系統下獨立控制每片槳葉根部槳距輸入，其克服了HHC的一些限制，允許每片槳葉控制輸入不同。其原理與HHC類似。IBC的另一種實施方案為在槳葉上引入控制裝置(on-blade control，OBC)。OBC相比HHC和小拉桿式IBC有很多優勢，如低的多的驅動功耗，易于實現高頻、寬頻帶驅動，特別是OBC裝置的失效不會影響飛行安全。

現有的OBC技術中，主動控制后緣襟翼(actively controlled flap，ACF)最為成熟[3-4]，其通過驅動如圖1所示的后緣襟翼揮舞抵消不利的槳葉高頻氣動載荷。不管是HHC還是IBC旋翼，其減振控制策略都源于HHC算法。HHC算法假設振動的主要諧波成分與選擇的高階諧波控制輸入之間為靜態線性關系，即線性時不變(linear-time-invariant，LTI)系統，則系統可以用傳遞函數矩陣或狀態空間來描述[5]。基于LTI假設的HHC法可根據開環過程進行傳遞函數的估計和控制器增益的更新進行自適應控制。典型的控制律可通過無約束優化方法，如最小二乘法進行構造。

圖1 ACF槳葉示意

然而ACF裝置的驅動器能力有限，在試驗、試飛中常常出現幅值受限的情況。飽和會在線性系統中引入了非線性，迫使控制系統在非設計模式下工作，極大的降低了控制性能。此時通常對信號在時域進行截斷或縮放來消除飽和，其中截斷法為：對信號超過飽和限制的部分直接削去，縮放法為:均勻的按比例縮小襟翼偏轉信號，使得最大值小于限制值。然而這些方法將導致控制器性能嚴重降低。Cribbs等[6]提出了一種迭代增加或減小目標函數中控制信號相關權重矩陣的方式來解決作動器飽和問題，即自動權重法(AW)。盡管AW法性能優異，然而自動權重法需要對優化的控制權重上限進行先驗猜測，需要多次迭代才能收斂。且對多小翼情形，如后緣襟翼+格尼襟翼(gurney flaps)，當多個小翼的控制權重相同時，控制輸入將僅對其中1個小翼最優。當多個小翼的控制權重不同時，計算量將顯著增加，以致AW法不再適用[7]。AW法的缺點可通過約束優化方法解決，Roget等[8]提出了采用序列二次規劃(SQP)求解HHC中的最優控制輸入信號，其將作動器飽和約束等效轉化成以小翼控制諧波信號正弦、余弦幅值為變量的非線性不等式約束，結合HHC算法中的二次目標函數，形成了一個非線性規劃(NP)問題，再通過SQP法對該問題求解。仿真表明該方法得到的減振性能優異。Friedmann等[9]研究表明SQP方法在雙小翼構型中優異性更加顯著，計算效率相比AW法顯著提高，然而SQP[10]求解計算復雜，其迭代收斂時長可達秒級。Morales等[11-13]提出了基于線性約束的二次規劃(QP)法求解帶約束的HHC問題，其將非線性約束近似轉化成線性約束條件，如盒型約束、1-范數約束、∞-范數約束，相比SQP法計算效率顯著提高，其中1-范數約束性能最優，已在多自動傾斜器主動控制旋翼試驗中應用[14]。但其優化結果仍存在保守，給定任意控制頻率的最大幅值，該方法將引起0%到約30%的控制幅值損失。

本文提出了一種最優解落在限制值上的迭代-QP方法(Iter-QP)，其通過對控制信號中各階諧波的復數坐標系進行變換，擴大上一步中1-范數約束QP法(1N-QP)最優解附近的可行域，使得迭代收斂的最優解的幅值和等于限制值。相比1N-QP法適用性和控制性能顯著提升，且單步計算效率幾乎無減小。該方法不受控制信號諧波數量和控制面數量的影響，收斂解在頻域非線性約束條件下無保守。能夠滿足主動控制旋翼控制系統的工程運用。

1 HHC算法

HHC法屬于頻域方法，常用于擾動(振動或噪聲)頻率成分已知的情形。其基于線性模型假設，即直升機穩態前飛時控制輸入u和輸出y之間為線性關系。在HHC算法中，測量的振動和控制輸入的更新為間斷的，時間為tk=kτ，τ表示控制對象的輸出重新達到穩態的更新周期，在實際操作時，常常選為旋翼周期的整數倍。無控時振動d隨直升機飛行狀態變化而變化，則旋翼系統模型可表示為：

yk=Tuk+d

(1)

式中，當控制輸入為零(uk=0)，yk=d。在初始狀態，即k=0時，式(1)表示為

y0=Tu0+d

(2)

公式(1)、(2)相減，消去擾動d，得到

yk=y0+T(uk-u0)

(3)

式(3)也被Johnson[5]稱作直升機響應的全局模型。傳遞矩陣T可通過離線或在線識別得到。

基于最小化振動水平和控制信號能量的二次目標函數Jk為

(4)

式(4)中Q、R為對角權重矩陣，常設為單位陣，對目標函數求偏導，令

(5)

得到優化控制律uk,opt如下

uk,opt=-(TTQT+R)-1(TTQ)(y0-Tu0)

(6)

式(6)為HHC控制律的一個經典表達形式，然而其是在無約束優化條件下得到的，常常超出驅動器的能力限制。采用縮放、截斷可導致控制性能變差，自動權重需要對權重矩陣上限進行先驗猜測、SQP法計算復雜。為了更好的解決驅動器飽和問題，Morales等[11]引入二次規劃算法，其具有結構簡單、便于求解等特點。將式(1)代入(4)，得到關于優化變量uk的二次目標函數：

(7)

2 作動器約束

控制信號約束在時域的表達形式為：

(8)

(9)

(10)

該時域約束可用傅里葉系數在頻域等價表示為[16]：

(11)

圖2 控制輸入域示意

2.1 1-范數近似

二次規劃要求約束函數都是線性的，顯然約束式為非線性，因此須將其轉化成線性不等式。定義控制輸入向量u為：

(12)

一種便于求解的約束轉化方式為1-范數：

(13)

當m=1時，其表示的幾何區域如圖 2中S1所示。顯然，1-范數近似約束的不等式數量不隨u的維數2m變化而變化，始終只有1個不等式，因此隨維數2m越大，QP求解的速度優勢越明顯。但其優化結果仍存在保守，給定任意控制頻率的最大幅值，存在：

(14)

因此，1-范數近似約束最優解可能存在0%到約30%的控制幅值損失。

2.2 u幅值和usum的線性化

為了解決這個問題，本文提出了一種最優解落在限制值上的迭代-QP方法。

令uopt與Ox軸的夾角為α，很容易構建旋轉矩陣P，使得向量uopt落在坐標軸Ox′上：

u=Pu′

(15)

(PTTTQd)Tu′k

(16)

相應的1-范數約束為

(17)

對坐標系Ox′下的QP問題進行求解，如此迭代，顯然，收斂得到的最優解ulim滿足：

(18)

且每一個迭代步的解始終滿足約束域S。

類似的，當m>1時，可根據uopt對每一階諧波單獨進行坐標系的旋轉變換，令向量uopt的正弦分量為0，再構建一個可逆矩陣V，令uopt的所有余弦分量相加，得到：

(19)

顯然，迭代收斂時，最優解ulim將滿足：

(20)

3 仿 真

為了驗證本文提出的方法，以ADASYS(adaptive dynamic system)旋翼[3]為對象開展減振控制仿真研究。ADASYS旋翼是德國宇航中心(DLR)研制的一副4片槳葉帶主動控制后緣襟翼旋翼系統，其安裝于BK117平臺上于2005年完成了飛行演示驗證。對減振控制，通過開環試驗，獲得了ADASYS旋翼的在Laplace域下傳遞函數特性。

yHub=G(s)uHHC+dHub

(21)

其中，

uHHC=[ucollulongulat]T

yHub=[FzMxMy]T

式中:Fz為4/rev槳轂升力、Mx為4/rev槳轂俯仰力矩、My為4/rev槳轂滾轉力矩、ucoll為總距輸入、ulong為縱向距輸入、ulat為橫向距輸入、G為傳遞函數。

185.2 km/h水平前飛時，識別出的傳遞特性如下，下面將利用該參數對本文的抗飽和高階諧波控制算法進行仿真。

(22)

傳遞函數G對應的控制輸入來自固定坐標系下的低階諧波(此處為0、1/rev)，其與旋轉坐標系下高階諧波周期信號對應的關系為[15]：

式中X表示固定坐標系低階諧波輸入與旋轉坐標系下高階諧波控制輸入之間的線性關系。則旋轉坐標系輸入對應的傳遞矩陣T可表示為

(24)

圖4 小翼最優控制信號

圖5 減振效果對比

表1 最優控制信號各階諧波正弦、余弦分量

從仿真結果可看出：

(1)在所討論的抗飽和HHC方法中，除基于非線性約束的SQP外，Iter-QP法性能最優。Iter-QP法每一個迭代步的減振效果都不低于1N-QP法，如圖3所示，第7步時Iter-QP法的目標函數J收斂，J減小達到93.3%。

圖3 目標函數J減小百分比隨迭代步數變化

(2)Iter-QP法與SQP法的最優控制信號各階諧波分量、各通道減振效果相近，進一步驗證了Iter-QP法的思路可行性和減振能力。

(3)抗飽和優化方法AW、1N-QP、Iter-QP的減振效果明顯優于傳統的縮放和截斷法，J減小都達到90%以上。

(4)采用Matlab工具箱在3.4 GHz Intel Xeon E3處理器上分別對Iter-QP法和SQP法進行仿真，Iter-QP法單步計算耗時約5.0 ms、SQP法耗時約28.7 ms。頻域HHC法控制指令常采用旋翼旋轉3圈更新1次，第1圈計算控制指令，第2圈發送新的控制信號，第3圈采集瞬態衰減后的振動信號。有時為了等待瞬態的衰減，等待時長可能達到1 s[16]。以額定轉速17 Hz的4 m直徑模型馬赫數相似旋翼為例，其旋翼旋轉1圈時長約58.8 ms，遠大于5.0 ms，而全尺寸旋翼旋轉周期更長，因此Iter-QP法的計算效率可以滿足工程運用。

表2 不同控制輸入下1N-QP與Iter-QP法對比

4 結 論

旋翼是直升機振動與噪聲的主要來源，ACF旋翼可從源頭進行減振、降噪，此外研究發現，其還具有性能提升、在線錐體平衡等能力，其中減振效果最為明顯，受到廣泛關注。本文針對減振應用，基于經典的HHC算法開展了作動器飽和約束條件下的最優控制問題研究，結論如下：

(1)本文提出的迭代-QP法可有效提升減振性能，減振能力可達到基于控制信號的各階諧波幅值之和約束的SQP法。

(2)迭代-QP法計算效率高，單個迭代步的計算量相比1-范數-QP法幾乎無增加，每一個迭代步控制輸入都滿足約束，且減振性能更優。

(3)相比1-范數-QP法，迭代-QP法最優控制信號幅值和保守小，減振效果更優。

(4)根據迭代-QP法利用單步最優解構建可逆矩陣進行坐標系變換，擴大最優解附近可行域的原理，其對多目標、多小翼情形同樣適用。