內齒圈裂紋擴展對復合兩級行星輪系均載特性的影響研究

李國彥， 沈 奇， 牛藺楷， 馬 亮， 董德浩

(1. 太原理工大學 新型傳感器與智能控制教育部與山西省重點實驗室，太原 030024；2. 電子科技大學 機械與電氣工程學院，成都 611731； 3. 上海航天設備制造總廠，上海 201100)

復合行星輪系是指包含一個或多個：雙排行星輪系(一個行星輪組中有兩個行星輪相互嚙合)、階梯式行星輪系(一個行星輪組中有兩個行星輪通過共同的行星輪軸聯結)、多級行星輪系的齒輪傳動系統[1-2]，是風電機組、直升機、工程機械等復雜設備的核心傳動部件。工作中齒面承受著交變載荷的作用，容易產生損傷，從而降低系統的傳動精度、效率及平穩性，開展損傷復合行星輪系動力學研究可為其故障診斷及可靠性分析提供必要的理論依據[3]。

行星輪系的均載特性對齒輪箱的運行性能及服役壽命有重要的影響，近年來受到國內外研究者的廣泛關注。Park等[4]研究了不同支撐方式對風機變槳減速機行星輪系均載特性的影響；Kim等[5]研究了行星輪軸孔誤差對行星輪系均載行為的影響；Iglesias等[6]指出浮動太陽輪結構能極大的改善行星輪系的均載行為；Li等[7]指出行星輪間的不均載會嚴重降低直升機行星輪系的運行可靠性；Qiu等[8]研究了重力、齒圈支撐剛度及臺板傾角對風機行星輪系均載性能的影響；魏靜等[9]分析了誤差、柔性銷軸及工況參數對人字齒行星輪系均載性能的影響；巫世晶等[10-11]研究了嚙合誤差、安裝誤差位置及其相位角對Ravigneaux式復合行星輪系均載特性的影響；張霖霖等[12-13]分析了嚙合相位、偏心誤差、基本構件浮動、柔性內齒圈等對人字齒行星輪系靜態均載特性的影響；譚援強等[14]開展了封閉差動行星輪系均載性能試驗研究，探索了浮動太陽輪、柔性銷軸、柔性內齒圈等均載措施對其均載性能的影響。以上文獻從齒輪誤差、齒側間隙、嚙合剛度及嚙合相位、支撐方式、基本構件浮動量、柔性銷軸以及工況參數等方面對行星輪系的均載性能進行了研究，但這些研究只針對完好的行星輪系，損傷行星輪系的均載特性退化規律需進一步深入研究。

復合行星輪系內部結構復雜，非線性因素豐富，其動力學建模具有復雜性。已有的模型中，關鍵模型參數被簡化，主要體現在：嚙合剛度被簡化為常數、平均嚙合剛度與變剛度的疊加函數、接觸線長度的一次函數、矩形波、梯形波等；很少準確計入各嚙合副間的嚙合相位關系；支撐剛度被忽略或簡化為常數；此外，缺乏損傷復合行星輪系的建模與分析。因此，已有的模型不能準確地反映復合行星輪系的振動機理，無法用于損傷復合行星輪系的動力學行為研究。

齒根疲勞裂紋是導致行星輪系性能退化的主要損傷模式之一。裂紋擴展會使系統內部產生復雜的非線性動力學行為。本文通過構建計入齒根裂紋損傷的復合行星輪系動力學模型，研究裂紋擴展對系統均載性能的影響。首先，建立裂紋齒圈時變嚙合剛度模型，研究不同裂紋程度與時變嚙合剛度之間的量化關系，將損傷以內部激勵的形式引入到復合行星輪系動力學模型中；其次，推導滾動體與滾道之間的非線性彈性接觸力，得到各構件的時變支撐剛度；進一步，獲取不同裂紋擴展程度下各嚙合副的嚙合振動信號，綜合采用時間歷程、頻譜、相軌跡及Poincaré映射圖分析裂紋擴展對系統非線性振動特性的影響；最后，計算各嚙合副均載系數，分析裂紋擴展對系統均載特性的影響規律。

1 計入齒根裂紋損傷的復合行星輪系動力學建模

1.1 復合行星輪系傳動原理

圖 1為復合行星輪系傳動簡圖。

A.第一級太陽輪；B.第一級行星輪；C.齒圈；D.第二級太陽輪；E—F.第二級行星輪-行星輪嚙合副；G.行星架。

第一級是簡單行星輪系，由太陽輪、齒圈和三個行星輪組成；第二級是雙排行星輪系，由太陽輪、齒圈和三個行星輪—行星輪嚙合副組成；兩級通過共同的行星架耦合在一起；兩級的齒圈被制造為一個整體。行星輪系處于前進一檔時傳動比為2.08，設定輸入轉速為700 r/min，負載轉矩為200 N·m，其余基本參數如表 1所示。

表1 復合行星輪系基本參數

1.2 計入齒根裂紋及嚙合相位的時變嚙合剛度

本小節基于懸臂梁理論及能量法建立含裂紋齒圈時變嚙合剛度模型。

圖 2為含裂紋齒圈及其橫截面。假設裂紋產生于齒圈齒根處，沿與輪齒中心線呈v=45°的方向擴展，裂紋尺寸用q1表示，當裂紋擴展到與輪齒中心線相交時，定義裂紋程度為50%(對應的裂紋長度為6.41 mm)，之后裂紋改變擴展方向，沿與輪齒中心線呈v=-45°的方向擴展，裂紋尺寸用q2表示，直到輪齒瞬間斷裂為止。由圖可知，完好輪齒的橫截面為矩形A-B-C-D，當輪齒進入損傷區域嚙合時，輪齒的橫截面相對于正常情況產生了改變，導致輪齒剛度值變化。

圖2 含裂紋齒圈及其橫截面

圖 3為含裂紋齒圈輪齒懸臂梁模型。F是沿嚙合線方向的法向嚙合力；α1是嚙合點對應的嚙合角；α2是基圓圓弧對應的圓心半角；α3是近似齒根圓弧對應的圓心半角；αf為齒根圓壓力角；d為嚙合點到齒根處的距離；x為嚙合點到齒根的區域內任意一點到齒根圓的距離；dd為受力邊界線的長度；h為嚙合點到輪齒中心線的距離；hx是嚙合點到齒根的區域內任意一點到輪齒中心線的距離；hd為受力邊界點到輪齒中心線的距離；rb和rf分別是基圓和齒根圓半徑。

圖3 含裂紋齒圈輪齒懸臂梁模型

根據能量法，輪齒單齒綜合嚙合剛度由彎曲剛度kb、剪切剛度ks、軸向壓縮剛度ka及赫茲接觸剛度kh組成，各剛度分量與輪齒橫截面的慣性矩Ix、面積Ax、接觸寬度w有關，微分方程分別為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:E、G和υ分別為楊氏模量、剪切模量和泊松比。根據懸臂梁模型及漸開線特性，h、d和x的表達式分別為：

h=rb[(α2-α1)cosα1+sinα1]

(5)

d=rfcosα3-rb[cosα1-(α2-α1)sinα1]

(6)

x=rfcosα3-rb[cosα-(α2-α)sinα]

(7)

正常輪齒橫截面的慣性矩Ix和面積Ax為：

(8)

Ax=2hxw=

2rb[(α2-α)cosα+sinα]w, 0≤x≤d

(9)

其中:hx=rb[(α2-α)cosα+sinα]

當裂紋未擴展到中心線時，輪齒橫截面的慣性矩和面積分別為：

(10)

Ax=(hx+hd)w=

(11)

式中：hd=rfsinα3-q1sinv；受力邊界線的長度dd的表達式為：

dd=rfcosα3-rbcosαd-rb(αd-α2)sinαd

(12)

式中，αd可由下式求解所得：

rb(αd-α2)cosαd=rbsinαd-rfsinα3+q1sinv

(13)

當裂紋擴展至中心線后，擴展路徑改變，輪齒橫截面的慣性矩和面積分別為：

(14)

Ax=(hx-hd)w=

(15)

式中，hd=q2sinv；受力邊界線的長度dd的表達式為：

dd=rfcosα3-rbcosαd-rb(αd-α2)sinαd

(16)

式中，αd可由下式求解所得：

rb(αd-α2)cosαd=rbsinαd-q2sinv

(17)

一個嚙合周期內存在單齒和雙齒嚙合區。單齒綜合嚙合剛度表示為：

(18)

多齒綜合嚙合剛度表示為：

(19)

計入嚙合相位差的時變嚙合剛度為：

kg(t)=kg(t-γtmn)

(20)

式中：tmn是第n級齒輪系的嚙合周期，γ是各嚙合副的嚙合相位[15-16]。圖 4為計入嚙合相位的各嚙合副時變嚙合剛度。

圖4 計入嚙合相位的時變嚙合剛度

圖5 不同裂紋程度下齒圈-行星輪嚙合副的時變嚙合剛度

圖6 30%裂紋損傷情況下各齒圈-行星輪嚙合副的時變嚙合剛度

1.3 時變支撐剛度

由于實際承受外部載荷的滾動體數量會隨保持架的旋轉而變化，因此，支撐剛度為周期性時變的。以行星輪軸承為例(圖 7)，第i個滾動體與滾道之間的接觸變形δi是外圈水平位移xj、豎直位移yj、第i個滾動體的角位置θi，以及徑向游隙γ0的函數。根據幾何位置關系推導可知：

圖7 行星輪滾針軸承模型

δi=xjcosθi+yjsinθi-γ0

(21)

式中：θi=2π(i-1)/z+wct(i=1,2,…,z)，z為滾動體個數，保持架的角速度為wc：

(22)

式中:d為滾子直徑，D為軸承節徑，wi為內圈轉速，wo為外圈轉速；初始位置角取0。

根據非線性赫茲接觸理論可得滾動體與滾道之間的非線性彈性接觸力：

(23)

(24)

軸承基本參數如表 2所列。圖 8 展示了太陽輪、行星架及行星輪的時變支撐剛度曲線。

表2 復合行星輪系軸承參數

圖8 各軸承時變支撐剛度

1.4 計入齒根裂紋的復合行星輪系非線性動力學模型

圖 9 為復合行星輪系動力學模型，考慮了計入嚙合相位的時變嚙合剛度、時變支撐剛度、阻尼等非線性因素。詳細的動力學微分方程推導在文獻[15-16]中給出。通過建立裂紋參數與時變嚙合剛度之間的量化關系，可將損傷以內部激勵的形式引入到動力學建模中，從而建立計入齒根裂紋損傷的復合行星輪系動力學模型。

圖9 復合行星輪系動力學模型[15-16]

2 復合行星輪系均載系數定義

2.1 動態嚙合力

嚙合力由彈性恢復力和阻尼力組成，大小取決于各嚙合副相對位移、嚙合剛度和阻尼，定義為[15-16]:

(25)

其中，各嚙合副沿嚙合線方向的相對位移δg為：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

2.2 均載系數

式中：m代表嚙合周期；N1是第一級齒輪系的行星輪數；N2是第二級齒輪系的行星輪數。

定義LSRg為每一循環周期各嚙合副的均載系數，即一個循環周期內，取各嚙合副的每一齒頻周期均載系數的最大值作為嚙合副g的均載系數：

LSRg=max{|LSRgm-1|+1},m=1, 2， 3，…

(32)

定義復合行星輪系的均載系數LSR為：

LSR=max{LSRg}

(33)

3 裂紋擴展對復合行星輪系均載性能的影響

本小節以第二級齒圈齒根裂紋為例，研究裂紋擴展對復合行星輪系均載性能的影響，假設裂紋沿1.2小節描述的擴展路徑，間隔為10%擴展，損傷程度達到70%時，輪齒瞬間斷裂。

3.1 裂紋擴展對齒圈-行星輪嚙合振動特性的影響

運用四階Runge-Kutta法求解系統動力學微分方程，得到各構件的振動響應，進一步得到各嚙合副沿嚙合線方向的相對位移。圖 10為正常情況下各嚙合副沿嚙合線方向的相對位移。由于嚙合過程中存在單雙齒交替嚙合現象，因此嚙合振動具有時變性及周期性；太陽輪-行星輪嚙合副的平均嚙合振動為0.40 μm，齒圈-行星輪嚙合副的平均嚙合振動為0.32 μm，行星輪-行星輪嚙合副的平均嚙合振動為0.43 μm。

圖10 正常情況下各嚙合副的嚙合振動

圖11 不同裂紋程度下第二級齒圈-行星輪嚙合副的嚙合振動

圖12 正常情況第二級齒圈-行星輪嚙合副嚙合振動

圖13 30%裂紋第二級齒圈-行星輪嚙合副嚙合振動

圖14 50%裂紋第二級齒圈-行星輪嚙合副嚙合振動

隨著中心構件的旋轉，裂紋輪齒以tr為間隔進入嚙合，引起周期性沖擊，對正常的嚙合振動進行調制，在嚙合諧波周圍形成以齒圈故障特征頻率fr為間隔的邊頻帶。但早期裂紋(30%以內)引起的沖擊振動能量較小，邊帶譜線的幅值非常微弱，幾乎提取不到；隨著裂紋擴展，嚙合副沿嚙合線方向的沖擊振動明顯增大，邊帶譜線的幅值逐漸增大，相軌跡中與沖擊振動對應的邊緣曲線向外擴散，Poincaré映射圖中點集離散程度增大。以上特征可以指示裂紋的產生及對其演化程度進行有效跟蹤。

3.2 裂紋擴展對齒圈-行星輪嚙合副均載特性的影響

通過式(31)～(33)求得不同裂紋損傷程度下各嚙合副及系統均載系數。圖 15為第二級三對齒圈-行星輪嚙合副之間載荷分配隨裂紋損傷程度變化的直方圖。可以看出，隨著中心構件旋轉，裂紋輪齒周期性進入嚙合，對應的嚙合副嚙合剛度降低，嚙合振動增大，三對嚙合副之間載荷分配出現不平衡，產生偏載現象；隨著裂紋擴展，偏載程度越來越嚴重，50%裂紋損傷情況下，含裂紋嚙合副僅承擔26%的載荷，另外兩對嚙合副分別承擔37%的載荷。

圖15 第二級齒圈-行星輪嚙合副之間載荷分配隨裂紋損傷程度變化

圖16 30%裂紋情況下第二級齒圈-行星輪嚙合副各齒頻周期內的均載系數

圖 17為系統均載系數隨裂紋擴展的變化曲線，裂紋從10%等間隔擴展到70%，對應的系統均載系數分別為1.03，1.06，1.10，1.15，1.19，1.26，1.61，非線性地增長了61%；裂紋后期，系統均載系數急劇增大，各嚙合副間載荷分配嚴重不平衡，從而引起部分構件過載、轉動不平穩、振動噪聲增大甚至齒輪失效等問題。

圖17 系統均載系數隨裂紋擴展的變化曲線

4 結 論

(1)建立了計入齒根裂紋損傷的復合行星輪系非線性動力學模型，考慮了時變嚙合剛度、嚙合相位、裂紋及時變支撐剛度，該損傷模型可用來仿真復合行星輪系的故障響應信號。

(2)通過數值分析得到不同裂紋擴展程度下各嚙合副的嚙合振動信號，綜合采用時間歷程、頻譜、相軌跡及Poincaré映射圖分析裂紋擴展對嚙合振動特性的影響；結果表明：裂紋的產生會在時域中引起周期性沖擊序列，在頻譜中形成等間隔的邊帶譜線；隨著裂紋擴展，沖擊序列的幅值明顯增大，邊帶譜線的幅值逐漸增大，相軌跡中與沖擊振動對應的邊緣曲線向外擴散，Poincaré映射圖中點集離散程度增大。以上特征可以指示裂紋的產生并對其演化程度進行有效跟蹤。

(3)通過計算各嚙合副均載系數，分析裂紋擴展對系統均載特性的影響規律；研究表明：裂紋的產生及擴展對系統均載特性有顯著的影響；損傷嚙合副嚙合剛度的降低及嚙合振動的增大導致各嚙合副間載荷分配不平衡，產生嚴重的偏載；由于裂紋輪齒周期性進入嚙合，各嚙合副的均載系數產生周期性波動；隨裂紋擴展，復合行星輪系的均載系數呈非線性增長趨勢，從而影響齒輪箱的運行性能及服役壽命。

上述研究可為復合行星輪系均載特性分析及故障診斷提供相關參考。