碰振升頻振動能量電磁式采集系統的動力學建模與分析

陳 春， 高 雪， 滕漢東

(1. 國家石油天然氣管網集團有限公司華東分公司，揚州 225002; 2. 南京航空航天大學 航空學院，南京 210016)

在航空、航天及石油化工生產應用領域，能量采集技術是一種非常有前途的清潔能源技術，它是指使用環境能量向小型和移動的電氣或電子設備提供電[1-2]。通常情況下，這些設備都是依靠傳統能源來提供能量，如鎳氫電池、鋰聚合物電池。但是，傳統電池存在的缺點在于：一是相對于微型傳感器其體積仍然較大，限制了微傳感器的進一步小型化；二是供能壽命有限，使用一段時間后要更換或者充電。對于放置在惡劣環境或者埋于結構內部的無線傳感器而言，這是個很嚴重的制約條件。而振動能是環境中最普通的一種能源，以不同的形式、強度和頻率廣泛存在于航空、航天、船舶、石油化工、車輛等工程領域，而且其能量等級僅次于光能。因此，振動能量采集器已成為可自我維持電源研究中的一大熱點，在航空航天等領域中具有較為廣泛的應用價值與前景[3-4]。但由于振動能量采集器件的采集效率取決于振動幅值及共振頻率兩個要素，目前振動能量采集裝置在100 Hz以上頻率具有較好表現。然而，環境中的振動能以低頻為主，如人體運動(1～10 Hz)，車輛和機械設備(10～100 Hz)[5-6]。當前，在低頻振動環境，振動能量采集裝置主要存在的問題是：①輸出功率和功率密度不高，這主要是因為輸出功率與振幅立方成正比，而低頻共振時的振幅較大也進一步加劇了功率密度的降低；②為了實現低頻共振頻率，彈性結構的破壞極限相對也更低，因此需要額外空間設置限位。

非線性振動能量采集器相比于線性振動能量采集器能夠在寬頻譜范圍上表現出更好的振動能量采集性能，且移頻、雙穩態等非線性動力學特性極有利于振動能量采集。碰撞是實現非線性的主要形式之一，利用碰撞實現能量采集的方案主要有兩種思路：①通過與彈性約束的碰撞，構成分段雙線性能量采集系統，利用分段非線性實現共振頻率偏移，拓寬采集頻帶[7]。例如，Soliman通過對振動懸臂梁施加彈性約束，實現了系統的分段非線性化，構成了分段雙線性系統[8-9]，其研究結果表明，該設計成功拓寬了系統振動能量采集的帶寬，而剛度比及接觸速度是影響輸出功率水平的重要參數，相似的研究結論可見文獻[10]。②通過與高頻結構的碰撞，引起高頻結構的自由振動，從而實現由低頻到高頻的升頻轉換，而由于采集效率和振動頻率的立方成正比，因此可以提高振動能量輸出水平[11-12]。如，Halim針對低頻運動的能量采集[13]，設計了一種無約束自由運動鋼珠與一對彈簧-質量高頻采集振子組成的采集器，鋼珠在圓管內自由運動，通過撞擊激發兩個采集振子的高頻自由振動，從而實現高效人體低頻運動的能量采集。文獻[14]給出了一種兩自由度懸臂梁構成的碰振升頻系統，其中通過主懸臂梁與止動塊的碰撞誘發次級懸臂梁的高頻振動，以實現升頻轉換。

本文所研究的電磁式碰振升頻能量采集系統由低頻驅動系統與高頻采集系統兩部分組成，兩系統的感應線圈置于同一磁場，當振動發生時，基礎激勵驅使低頻系統產生大幅運動，并與高頻系統碰撞，從而引起高頻系統的高頻運動。其運動狀態主要取決環境激勵條件和系統參數，主要存在以下兩種運動情形：①若振動水平較低(或者間隙較大)，低頻驅動振子與高頻采集振子的碰撞，此后，由于高頻與低頻驅動振子固有頻率相差較大(可至數十倍)，即具備兩個不同量級的時間尺度，在低頻驅動振子的一個振動周期內，高頻采集振子則會以其固有頻率自由振動。②若振動水平足夠(或者間隙較小)，低頻驅動振子的振動通過碰撞周期性的能量輸入，驅動高頻采集振子處于高頻周期振動狀態。在不同運動狀態下，碰振升頻振動能量采集器升頻動力學原理及采集性能也完全不同。

本文主要探討情形1狀態下碰振升頻振動能量采集器的動力學及其電學輸出性能。在該情形下，對低頻驅動振子而言，與高頻采集振子的周期性的碰撞可近似為振動能量損失的硬碰撞過程，因此其共振頻率會往高頻方向偏移，拓寬能量采集的頻率帶；在碰撞發生以后，高頻采集振子也會以較高的初始能量狀態開始高頻振蕩。

1 動力學建模

1.1 物理模型

圖1是電磁式碰振升頻振動能量采集器的結構原理圖。該裝置由低頻驅動振子和高頻采集振子兩子系統組成，二者均為單自由度的動鐵型電磁式振動能量采集，低頻驅動振子的“低頻”主要是指其固有頻率較小，在設計上約為高頻采集振子固有頻率的十分之一。低頻驅動振子和高頻采集振子共同內嵌于圓柱殼內部，而為了弱化低頻驅動振子和高頻采集振子永磁體之間的磁力相互作用，磁鐵的端部粘結有PVC有機材質制成的圓柱頭以增加磁鐵間的有效距離，降低磁力耦合。也因此在本文后續推導中，假定磁鐵間的耦合較弱而忽略不計。銅線圈纏繞于支撐圓柱殼體的外表面，采集電路部分直接由銅線圈連接單一負載電阻，本文著重考慮采集裝置的動力學特性對電能輸出的影響，所以電路部分采用這種最簡單電阻形式。這對本文所進行的相關結論推導以及定性設計結論無實質影響。

圖1 碰振升頻振動能量采集的原理和結構

對于安裝在板、梁等結構的采集裝置而言，在結構基礎激勵振動下，低頻子系統的固有頻率等于外激勵頻率，所以低頻驅動振子將處于共振狀態，低頻驅動振子響應振幅達到最大。進而通過碰撞耦合，低頻驅動振子驅使高頻采集振子處于初始能量較大新的初始條件狀態，然后高頻采集振子將以自身固有頻率高頻自由振蕩。而根據線性振動能量采集原理的結論，輸出電能與響應頻率成立方正比例關系，因此采集系統的高頻振動有利于最終的能量輸出。而從物理角度來看，高頻采集振子的剛度遠高于低頻驅動振子約10倍以上，近乎于剛性約束。因此，高頻采集振子的作用體現在以下幾點：①可以限制低頻驅動振子的極端情況下的共振位移；②與剛性約束相，高頻采集振子的高頻自由振蕩可彌補剛性約束下，低頻驅動振子因響應受限所造成的捕獲振動能量的損失；③高頻采集振子的采集頻率高、響應幅值低，有利于功率輸出密度的提升。

1.2 動力學方程

對于圖1所示的碰振升頻振動能量采集系統，根據牛頓第二定律和基爾霍夫定律，得到低頻和高頻采集系統的機電耦合方程分別為

(1)

進而

(2)

對于采集系統，碰振發生條件為

x1-x2=d

(3)

同時在碰撞發生前后，碰撞質量還滿足非完全彈性碰撞的恢復條件和質量守恒定理：

(4)

影響碰振升頻振動能量采集裝置能量輸出的參數很多，如碰撞間隙、激勵加速度幅值等，有些系統參數數值上的改變對系統的影響實質上是相同的，如碰撞間隙和激勵幅值。因此為了更為全面研究系統的動力學行為，避免參數研究的重復性，這里對動力學方程式(2)首先進行無量綱化處理：

按照以上對方程式(2)進行無量綱化處理以后得到無量綱動力學方程為：

(5)

當碰撞發生時：

X1-X2=D

(6)

當振動發生時，除碰撞時刻以外，低頻驅動振子和高頻采集振子均以各自初始狀態開始受迫振動，方程式(5)的時間歷程為

(7)

式中：A1，B1，A2和B2由初始條件決定的積分常數;g1，g2，g3和g4決定穩態運動部分。

當碰撞發生以后，則以由式(4)所決定的新的初始條件按照式(7)的形式振動。

2 電學數值仿真與分析

2.1 系統參數

在方程式(1)中，高頻采集振子和低頻驅動振子的機械阻尼系數主要來自于彈性材料的內阻尼及振子質量在相對運動過程中與圓柱筒內壁的摩擦。機電耦合系數θi=NiBili，Ni為線圈圈數，圈數越多，電磁耦合系數越大，但線圈內阻也越大。Bi為磁場強度，li為線圈有效長度。輸出總電壓為

(8)

輸出電壓直接取決于電磁耦合系數和振動速度，當電磁耦合系數一定時，振動速度越大，輸出電壓也就越大。負載的有效電壓則為

(9)

因此，負載的輸出功率則為

(10)

本文所考慮的電路未將兩部分進行串/并聯處理，而是相互獨立連接不同負載電阻。振動能量采集裝置的最佳采集一般均處于共振狀態，因此設計碰振升頻振動能量采集裝置的低頻驅動振子的固有頻率與環境頻率一致。

對上述能量采集系統進行動力學仿真，參數如表1所示。

表1 系統參數

2.2 碰撞間隙對輸出電壓和輸出功率的影響

2.2.1 低頻驅動振子的采集性能

圖2給出了不同碰撞間隙下低頻驅動振子的位移頻率響應特性曲線。由于在建模過程中，采用了無量綱化處理，因此這里得到的輸出電壓和輸出功率均為無量綱值。明顯地，與未發生碰撞的線性情形相比，碰撞間隙越小，低頻驅動振子的響應幅值也就越受到限制，這比較符合物理上的認識，與文獻[9-10]的研究結論也是一致的，但輸出電壓和輸出功率是否也受到限制仍待考察。

圖2 低頻驅動振子位移頻率響應特性曲線

圖3給出了不同碰撞間隙下，低頻驅動振子的輸出電壓和輸出功率的頻率特性曲線。可得到以下結論：不同間隙下，輸出電壓和輸出功率的峰值基本保持不變；但對應頻率往高頻方向偏移，間隙越小，偏移程度越大；半功率采集帶寬基本一致，并無明顯優劣。從非線性動力學角度來看，由于碰撞耦合的緣故，低頻驅動振子呈漸硬非線性剛度特性，且碰撞間隙越小，即非線性體現的也就越強，這是進一步造成電能輸出往高頻方向偏移的動力學機理解釋。

圖3 低頻驅動振子的電能輸出的頻率特性曲線

2.2.2 與線性采集振子的比較

作為比對，圖4給出了與低頻驅動振子具有同一固有頻率的線性采集器的位移與電壓輸出特性對數曲線。由圖4(a)可以看出，低頻驅動振子共振區的響應峰值被“削平”，這是因為高頻采集振子的剛度大于低頻驅動振子的十倍左右，起到了剛性約束的效果。而與此同時，由于電能輸出正比于響應幅值，所以低頻驅動振子在共振區的電壓輸出峰值也被有所降低。

圖4 本文提議采集裝置于純線性采集裝置的比對

2.2.3高頻采集振子的采集性能

根據以上分析，高頻采集振子的限位作用比較明顯，但其振動能量采集能效仍需進一步驗證。圖5～圖7分別考察不同碰撞間隙時，低頻驅動振子和高頻采集振子各自的功率輸出及對總功率輸出的貢獻。主要結論是：仍以低頻驅動振子的采集電能輸出占主要部分；當碰撞間隙比較小時或低頻驅動振子響應幅值較大(處于共振狀態Ω=1.2,1.3)時，高頻采集振子的能量輸出貢獻占總輸出的比重較大；隨著碰撞間隙的增大，高頻采集振子對總的能量水平的比重也就越來越小；未發生碰撞時，高頻采集振子的貢獻極少。產生這種現象的關鍵原因在于：在共振區范圍內，低頻驅動振子的位移幅值響應和速度幅值均處于較高幅值狀態。所以，在碰撞發生時低頻驅動振子撞擊高頻采集振子使其具備更大的初始動量。也因此，在其后續自由衰減振動過程中，高頻采集振子也就具備比其他頻帶內更高的位移響應水平，所以其電能輸出在共振附近更為突出。而當碰撞未發生時，低頻驅動振子盡管處于共振狀態，但此時高頻采集振子并未獲得額外的能量輸入，因此其電能輸出貢獻比也就較小。

圖5 D=1時，輸出功率RMS的頻率特性曲線

圖6 D=2時，輸出功率RMS的頻率特性曲線

圖7 D=4時，輸出功率RMS的頻率特性曲線

綜合以上，得到以下對于電磁式碰振升頻振動能量采集系統設計具有指導意義的結論：

(1)高頻采集振子對低頻驅動振子起到限位作用，由于高頻采集振子剛度較大，與低頻驅動振子的振動幅值相比幾乎為零，低頻驅動振子的最大幅值基本限制約為碰撞間隙的取值；

(2)隨碰撞間隙的減小，輸出電壓的均方根峰值往高頻方向移動，但峰值基本保持不變。這意味著碰撞間隙只起到移頻作用，并不明顯影響最大的輸出電壓。因此低頻驅動振子的固有頻率選取并不能直接等于外激勵頻率，為了獲取最優的能量輸出，需根據輸出電壓峰值所對應的頻率比進行選取。

(3)在碰撞發生頻帶，高頻采集振子對總功率輸出的貢獻比例也明顯提升，如在碰撞間隙D=1時，Ω=1.1～1.3頻率區間，貢獻比約在30%。因此，與絕對剛性約束相比，高頻采集振子一定程度上補償了總的功率輸出。

2.3 碰撞速度和碰撞次數的影響分析

以下我們通過考察系統的時間歷程來分析碰撞耦合是怎樣影響系統的能量輸出水平的。給定系統參數D=2，Ω=1，圖8分別給出了瞬時電壓和瞬時功率的時間歷程。如圖8(a)所示，低頻驅動振子輸出電壓周期等于外激勵的周期為2π。而在一個激勵周期內，低頻驅動振子與高頻采集振子發生了兩次碰撞，第一次碰撞通過動量交換使得高頻采集振子獲得一個較大的初始速度，然后自由衰減。但緊隨其后的第二次碰撞又使得高頻采集振子以一個低水平的速度開始高頻自由衰減。因其速度幅值過低，因此并未得到高水平的電能輸出。根據瞬時功率圖8(c)可以看出，在兩次碰撞之間的短時程內存在功率脈沖，但在除此之外的時段內，高頻采集振子的功率輸出極低。

圖8 輸出電壓的時間歷程(D=2,Ω=1)

而在給定系統參數D=6，Ω=1情形，在一個激勵周期內，僅發生一次碰撞。碰撞使得高頻采集振子得獲一個幅值較大的初始速度，并按自身高頻固有頻率衰減，電壓輸出和功率輸出相對也較高，如圖9。

圖9 輸出電壓的時間歷程(D=6,Ω=1)

至此可以得到一個結論：高頻采集振子的電能輸出水平決定于碰撞發生后的速度；在獲得高水平速度時，一個激勵周期內的單次碰撞有利于保證高頻采集振子得獲高水平的電能輸出，這是動力學設計時需要考量的一點。

3 結 論

針對電磁式碰振升頻振動能量采集裝置，本文建立了其碰撞動力學模型，為了避免參數研究的重復性，對模型進行了無量綱化處理，進而數值仿真研究了系統的動力學特性和電學輸出性能，得到以下有益于設計的結論：

(1)由于高頻采集振子剛度較大，與低頻驅動振子的振動幅值相比幾乎為零，低頻驅動振子的最大幅值基本限制約為碰撞間隙的取值，所以高頻采集振子對低頻驅動振子起到限位作用。

(2)碰撞間隙只起到移頻作用，因此低頻驅動振子的固有頻率選取并不能直接等于外激勵頻率，為了獲取最優的能量輸出，需根據輸出電壓峰值所對應的頻率比進行選取；在碰撞發生頻帶，高頻采集振子對總功率輸出的貢獻比例明顯提升，在共振頻帶貢獻比約在30%左右。

(3)高頻采集振子的電能輸出水平決定于碰撞發生后的速度；在獲得高水平速度時，一個激勵周期內的單次碰撞有利于保證高頻采集振子得獲高水平的電能輸出。