基于記憶多項式模型的選擇自適應(yīng)預(yù)失真系統(tǒng)

易勝宏，張紅升，孟 金，馬小東

（重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院，重慶400065）

功率放大器（power amplifier，PA）是無線通信系統(tǒng)中的重要模塊，其性能特點備受學(xué)者們的研究，其中比較熱門的研究方向是功率放大器的線性化技術(shù)，即預(yù)失真技術(shù)（pre-distortion，PD）。由香農(nóng)定律可知，要提高數(shù)據(jù)傳輸速率，勢必要提高數(shù)據(jù)傳輸帶寬，為了提高頻譜利用率，當(dāng)今對于數(shù)字基帶信號的調(diào)制方式幾乎都是高階調(diào)制方式，比如8PSK，16QAM，64QAM，OFDM 等。這些調(diào)制方式都是非恒定包絡(luò)的，并且其調(diào)制載波數(shù)量高達(dá)幾十個甚至上千個，因此在調(diào)制之后會產(chǎn)生較高的均峰比[1]（peak to average power ratio，PAPR）。高PAPR 信號通過功放時，由于功放器件的記憶性和非線性特性，其輸出信號幅度曲線將產(chǎn)生比低PAPR 信號更嚴(yán)重的非線性畸變[2]，信號頻譜將展寬至自身頻帶寬度的3倍及以上，嚴(yán)重影響相鄰頻帶的傳輸效率。

解決這種非線性失真的方法包括功率回退法、模擬預(yù)失真法和數(shù)字預(yù)失真法等，其中，數(shù)字預(yù)失真法（digital pre-distortion，DPD）由于其靈活性和低成本性，已被廣泛地應(yīng)用在工程設(shè)計中。目前，常用的數(shù)字預(yù)失真結(jié)構(gòu)包括直接型與間接型[3]，直接型結(jié)構(gòu)的收斂速度較快，但收斂后的信號較原始信號的誤差較大；間接型結(jié)構(gòu)的收斂誤差較小，但收斂速度較慢，且容易引入噪聲干擾預(yù)失真效果。針對上述結(jié)構(gòu)的不足，本文采用記憶多項式（memory polynomial，MP）模型，提出新型選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)。通過Matlab 仿真，本文所提出的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在提高系統(tǒng)收斂速度的同時，降低了系統(tǒng)的收斂誤差。

1 數(shù)字預(yù)失真的基本原理

功率放大器的非線性失真是電子元器件的物理特性所導(dǎo)致的，非線性失真即功放的輸出信號相對于輸入信號產(chǎn)生的非線性形變。通常情況下，可以通過降低輸入功率來保持輸入輸出功率的線性關(guān)系，但這會大大降低功放的效率[4]。數(shù)字預(yù)失真的原理是，預(yù)先將輸入信號進(jìn)行畸變處理，即數(shù)字信號處理，使得畸變后的信號通過功放時，與功放所造成的畸變相補償，使得輸入-輸出信號整體呈現(xiàn)出線性的品質(zhì)。數(shù)字預(yù)失真的原理如圖1所示。

圖1 數(shù)字預(yù)失真原理圖Fig.1 Principle of DPD

圖中，x（n）為預(yù)失真器輸入信號；y（n）為經(jīng)過預(yù)失真處理后的輸出信號；z（n）為功放輸出信號。

式中：h（x）為功放的傳輸函數(shù)，預(yù)失真器的傳輸函數(shù)和功放的傳輸函數(shù)互為反函數(shù)，記為h-1（x），所以預(yù)失真器的輸出可以表示為

將公式（2）代入公式（1）中，得到公式（3）為

式中：g為常量，表示的是功放的增益因子，可以看出，經(jīng)過預(yù)失真器后，功放的輸出信號相對于輸入信號是整體線性放大的。

2 新型數(shù)字預(yù)失真結(jié)構(gòu)

2.1 現(xiàn)有結(jié)構(gòu)

目前，數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)包括直接型與間接型，直接預(yù)失真模型的原理如圖2所示。

圖2 直接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)原理圖Fig.2 Schematic diagram of direct structure

此模型的基本思想是將代價函數(shù)定義為衰減后的功放輸出信號與輸入信號之間的誤差，通過自適應(yīng)算法模塊不斷迭代，替換模型系數(shù)，更新預(yù)失真器的參數(shù)，使得衰減后的輸出信號與輸入信號之間的誤差（代價函數(shù)）值最小化。在理想情況下，預(yù)失真處理和功放的行為是互逆的兩個過程，但此結(jié)構(gòu)存在不穩(wěn)定性，如果均方誤差（mean square error，MSE）不是關(guān)于功放擬模型參數(shù)的二次函數(shù)，容易造成局部收斂的情況，導(dǎo)致系統(tǒng)的局部收斂情況[5]。其中x（n）為預(yù)失真器的輸入信號；y（n）為功率放大器的輸出信號；e（n）為x（n）與y（n）經(jīng)過衰減后的誤差信號。

間接型預(yù)失真模型的原理如圖3所示。間接預(yù)失真結(jié)構(gòu)是一種開環(huán)式的預(yù)失真結(jié)構(gòu)，計算功放輸入與訓(xùn)練模塊輸出之間的誤差，其中z1（n）為功放輸出經(jīng)過自適應(yīng)算法訓(xùn)練后的輸出，使得預(yù)失真模塊的輸出信號向自適應(yīng)算法輸出信號逼近。間接預(yù)失真模型的優(yōu)點是不需要提前了解功率放大器的非線性特點和估算非線性函數(shù)，即可準(zhǔn)確和穩(wěn)定的建立預(yù)失真模型，能穩(wěn)定得到系統(tǒng)全局的最優(yōu)解；缺點是由于間接預(yù)失真結(jié)構(gòu)求取的是功放的后置逆，功放輸出反饋回來的信號經(jīng)過下變頻和AD 轉(zhuǎn)換后會引入噪聲，其預(yù)失真后的輸出信號線性度較差[6]，模型參數(shù)會產(chǎn)生一定程度的偏移。

圖3 間接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)原理圖Fig.3 Schematic diagram of indirect structure

2.2 改進(jìn)結(jié)構(gòu)

根據(jù)兩種結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點，本文提出一種閉環(huán)的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)，其原理如圖4所示。

圖4 選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)原理圖Fig.4 Schematic diagram of selective structure

圖中：x（n），y（n），z（n）分別為系統(tǒng)輸入信號、主預(yù)失真模塊輸出信號、系統(tǒng)輸出信號；PA 為功率放大器；z1（n）為系統(tǒng)輸出衰減后的信號；e1（n）為系統(tǒng)輸入信號經(jīng)過延遲后與z1（n）的誤差信號；e2（n）為主預(yù)失真器的輸出信號與z1（n）經(jīng)過副預(yù)失真器處理后的輸出信號的誤差信號。比較器計算e1（n）與e2（n）的幅度大小，并與零值相比較，更靠近零值的誤差信號所對應(yīng)的自適應(yīng)模塊輸出會通過二選一選擇器輸出，作為主預(yù)失真器的復(fù)增益系數(shù)w（n+1），來替代自適應(yīng)模塊1 的迭代復(fù)增益系數(shù)w1（n+1），其中，w2（n+1）為自適應(yīng)模塊2 的迭代復(fù)增益系數(shù)。

2.3 數(shù)學(xué)分析

預(yù)失真系統(tǒng)的輸入信號為x（n），根據(jù)3 條路線的處理途徑，可以得出e1（n）和e2（n）的公式為

式中：P2（.）為預(yù)失真模塊2 的非線性基函數(shù)；N為結(jié)構(gòu)1 延遲的采樣點數(shù)；M為結(jié)構(gòu)2 延遲的采樣點數(shù)，對于y（n）與z（n），有：

式中：P1（.）為預(yù)失真模塊1 的非線性基函數(shù)；P（.）為功率放大器的非線性基函數(shù)。

輸入延遲信號與輸出信號的誤差信號通過NLMS 算法實現(xiàn)對主預(yù)失真模塊的參數(shù)調(diào)整，由于結(jié)構(gòu)1 的模塊較少，結(jié)構(gòu)簡單，延遲較小，故收斂速度較快，但對于非線性特性很強的功率放大器，誤差信號較大，故收斂后的NMSE 也較大[7]。其迭代公式為

其中：a為一個固定的收斂因子，使算法收斂的a值范圍為0＜a＜2；φ 是一個很小的常數(shù)，一般取0；d1（n）為xatt（n）經(jīng)過抽頭系數(shù)為w1的FIR 濾波器后的輸出信號；xatt（n）為輸出衰減后的反饋信號；x（n-N）為輸入信號的延遲，其中N為延遲項數(shù)；u為可變步長因子；w1為主預(yù)失真模塊的模型系數(shù)，可以表示為

式中：Q為預(yù)失真模型的記憶深度；K為其非線性階數(shù)。同理，將式（5）中的預(yù)失真模塊2 的輸出帶入至自適應(yīng)算法中，則結(jié)構(gòu)2 的自適應(yīng)算法表達(dá)式為

在系統(tǒng)收斂后，e1（n）≈e2（n）≈0，主預(yù)失真模塊與副預(yù)失真模塊均為功率放大器的逆模型，即：

根據(jù)結(jié)構(gòu)2 的特性，其數(shù)據(jù)流動的模塊較多，故收斂速度較慢，但根據(jù)后續(xù)仿真的結(jié)果可以看出，其結(jié)構(gòu)的收斂后的誤差信號相較于結(jié)構(gòu)1 減小了0.5 個數(shù)量級。通過結(jié)合結(jié)構(gòu)1 與結(jié)構(gòu)2 能更好地實現(xiàn)數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)的收斂，通過1 個比較器與1 個選擇器就能實現(xiàn)該結(jié)構(gòu)。

2.4 模型選擇

Volterra 級數(shù)是由意大利數(shù)學(xué)家Vito Volterra的泛函理論演變而來的，它被稱為“有記憶效應(yīng)的泰勒級數(shù)”，是因為它包含了具有自變量的高次項和延遲項，這兩種特點使得此級數(shù)與功放的非線性和記憶性等物理特性不謀而合[8]，Volterra 級數(shù)的表達(dá)式為

式中：y（n）與x（n）分別為通信系統(tǒng)的輸出信號與輸入信號；M為模型的記憶深度；P為非線性階數(shù)；kp為對應(yīng)的記憶項系數(shù)。Volterra 模型包含延遲項和高次項，表現(xiàn)出功放特有的記憶性和非線性，能夠?qū)斎胄盘柕挠洃浄蔷€性的特征描述得十分準(zhǔn)確。但是，考慮到記憶深度為3，非線性階數(shù)為5 時，整個模型的系數(shù)個數(shù)已經(jīng)高達(dá)526 個，可以看出，Volterra 級數(shù)的模型系數(shù)隨著記憶深度和非線性階數(shù)的增加而急劇增加，復(fù)雜度過高。

本文的主預(yù)失真模塊與副預(yù)失真模塊均采用記憶多項式模型，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

記憶多項式模型由于其較少的模型參數(shù)與延遲項，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到數(shù)字預(yù)失真技術(shù)的仿真與實現(xiàn)中，由于本文所提出的新型結(jié)構(gòu)包含2 個預(yù)失真模塊，故為了降低模型的復(fù)雜度，本文采用此模塊進(jìn)行仿真，大大降低了以Volterra 級數(shù)為模型的仿真計算量，并且由于非線性階數(shù)為偶數(shù)時，MP模型產(chǎn)生的非線性失真頻段距離中心頻段較遠(yuǎn)，可以用一個設(shè)計良好的帶通濾波器濾除[9]，功放產(chǎn)生非線性失真的主要因素是其模型的奇數(shù)階所產(chǎn)生的頻譜混疊和互調(diào)失真，故在使用MP 模型時，可以忽略其偶數(shù)階的影響。式（14）可以重寫為

3 仿真分析

本文所提出的選擇數(shù)字預(yù)失真結(jié)構(gòu)采用Matlab進(jìn)行建模仿真。輸入信號采用的是由DMB 信號發(fā)生器所生成的符合國際標(biāo)準(zhǔn)的DMB 基帶信號，其符號速率為3.072 MHz，采樣率為8.192 MHz，信號的采樣點數(shù)為40000 個，設(shè)置收斂因子的值為0.2，預(yù)失真結(jié)構(gòu)采用提出的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)。在整個仿真過程中，其模型系數(shù)是從實際的功放中提取出來的[10]。在記憶深度為3，非線性階數(shù)為5 的條件下，提取出的模型參數(shù)如下：

根據(jù)提取的模型系數(shù)，本文對直接預(yù)失真模型、間接預(yù)失真模型和選擇結(jié)構(gòu)預(yù)失真模型在Matlab中進(jìn)行了仿真實驗，并通過以下幾個方面進(jìn)行比較和分析：①在記憶深度為3 和非線性階數(shù)為5 的仿真條件下對以上3 種結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真；②在輸入功率為2 dBm 的條件下，對3 種結(jié)構(gòu)的收斂速度與收斂后的功率譜密度（power spectrum density，PSD）進(jìn)行分析；③比較每種結(jié)構(gòu)的收斂后的歸一化均方誤差大小。歸一化均方均方誤差的公式為

式中：N表示對輸入信號的采樣個數(shù)；y（n）為輸入信號；y（n）mean為輸入信號的均值。下面采用3 種結(jié)構(gòu)，對比輸入信號功率為2 dBm 的仿真結(jié)果，其中N取4096。其誤差信號比較如圖5所示。

圖5 誤差信號比較Fig.5 Error comparison

采用選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)的預(yù)失真系統(tǒng)，約在第25000 個采樣點收斂，其收斂速度與直接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)相差無幾，但其收斂后的誤差信號大小遠(yuǎn)小于直接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)收斂后的誤差大小，約為0.1 個單位，且比間接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)誤差要小約0.01 個單位。其收斂后的3 種結(jié)構(gòu)的功率譜密度如圖6所示。

圖6 收斂后3 種結(jié)構(gòu)的功率譜密度Fig.6 Power spectrum densities of three structures

功率譜密度圖能夠非常直觀的描述預(yù)失真系統(tǒng)的效果，其中歸一化頻率的單位為MHz；幅度單位為dB，可以從圖中基帶信號頻段以外的頻段觀察信號的衰減狀況，根據(jù)圖6所示，選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)的帶外抑制效果要好于直接型預(yù)失真結(jié)構(gòu)約3 dB，而與間接預(yù)失真結(jié)構(gòu)的帶外抑制效果相差無幾。下面對3 種結(jié)構(gòu)的歸一化均方誤差進(jìn)行仿真，測試次數(shù)為8 次，仿真結(jié)果如表1所示。

表1 NMSE 測試結(jié)果Tab.1 Test results of NMSE

本文提出的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)的收斂后歸一化均方誤差值均小于直接型結(jié)構(gòu)和間接型結(jié)構(gòu)，分別為7 dB 與2 dB 左右，對于功放模型的擬合度更好。

4 結(jié)語

本文提出了一種新型的選擇預(yù)失真結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，功放模型采用的是記憶多項式模型。第一個改進(jìn)是合并了兩種結(jié)構(gòu)的特點，利用收斂速度更快的NLMS 自適應(yīng)算法調(diào)節(jié)2 個預(yù)失真模塊的復(fù)增益系數(shù)；第二個改進(jìn)是提出了一種通過比較器與一個二選一選擇器所構(gòu)成的新的數(shù)據(jù)迭代方法，其結(jié)構(gòu)簡單，延遲小。仿真結(jié)果表明，相較于現(xiàn)有的預(yù)失真結(jié)構(gòu)，改進(jìn)后的預(yù)失真結(jié)構(gòu)的收斂速度與直接預(yù)失真結(jié)構(gòu)相差無幾，但其收斂后的誤差比直接型與間接型兩種結(jié)構(gòu)都小，分別為0.15 個單位與0.03 個單位，且?guī)庖种菩Ч茫瑤馑p相較于以上兩種結(jié)構(gòu)提高了約2 dB。