基于Multiquadics擬插值法下CEV模型上的障礙期權定價

李伊華 陳萍

[摘 要]考慮了常方差彈性系數定價模型（CEV）下的障礙期權定價，通過Multiquadics擬插值法逼近的方法重新描述了障礙期權的期權定價公式。給出了差分方程的數值解法，并對其一致性和收斂性進行了分析，最后通過數值模擬分析驗證Multiquadics擬插值法在障礙期權上定價的穩定性和精度.

[關鍵詞]Multiquadics;CEV模型;障礙期權

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2021.18.062

1 引言

隨著經濟全球化的進一步加速，金融市場上的價格動蕩越來越嚴重，由此引發的各種風險已成為經濟學家和投資者關注和研究的熱點問題。在此基礎上，金融市場上的期權等衍生品有了更快的發展和更新換代。金融衍生產品在對于防范系統風險上有得天獨厚的優勢，能用來避免市場風險，也可用來套利。因此越來越多的學者投入金融衍生產品定價研究之中去。怎樣建立一種更符合市場條件的模型具有很強的現實意義。

期權的發展是遵循著市場經濟的需求，也吸引了廣大學者的關注。

Blacks 和Scholes在1973年提出了著名的Black-Scholes期權定價公式，并且在大多數情況下可以滿足期權定價。所需的前提條件太苛刻，而Black-Scholes模型的所提出的條件并不符合現實現狀。1976年，Merton在原來基礎上加入了跳躍過程，得出了當標的資產價格符合跳躍擴散下時，歐洲期權的定價公式。從1990年開始，Hull 和 White 研究了隨機波動下的歐洲期權的定價，并得到了著名的赫爾懷特模型。Ndogmo和 Ntwiga在 BS模型下通過確定最優邊界條件提出了一種隱式差分法定價了各種類型的障礙期權。Geman和Yor在1996通過 Laplacea變換得出雙障礙期權的定價公式模型。

這些結果都是在具有常值波動率的幾何布朗運動假設的BS模型下給出的。在1975年Cox提出了常彈性系數下的CEV模型。文章主要利用非均勻網格上的MQ擬插值法研究CEV模型下歐式障礙期權的定價問題。

2 Multiquadics擬插值法

Franke曾經在文章里說道：MQ函數需要從近似解有效性、精確度，算法的計算量和速度，電腦配置內存大小，結果的穩定性幾個角度考慮，在全部的散亂數據插值法中MQ插值方法是表現最優異的。首先從MQ-B 樣條出發，來進行擬插值的構建。

2.1 MQ-B 樣條高階擬插值及其性質

特別地，考慮一個散亂點集{xj}

3 CEV模型下的障礙期權定價

3.1 CEV期權定價模型

定義2.1CEV其股票價格過程滿足：

dS=μSdt+σSαdz

其中，0≤α≤1，且α是常系數。

CEV模型是Cox和Ross提出的常系數彈性方差模型，克服了隨著股價變動的波動率大小的情況，也就是我們所說的“波動率微笑問題”。

當α=1/2時，就得到絕對擴散模型，模型中股票價格越高，其波動率越低，他們是呈反比。當α=1時，這和BS模型就保持了一致，此時波動率不會隨著股票價格的波動而變動，可知當資產價格符合幾何布朗運動，其實是CEV模型的特例。

3.2 CEV模型下的障礙期權定價公式

本節采用期權定價的模型是CEV模型（常方差彈性模型），期權價格滿足的微分方程是：

vt+rSvS+12σ2S2α2vS2-rv=0，其中r為市場上的無風險利率，σ為股票價格的波動率，S為股票價格。

以向上敲出看跌障礙期權為例，其邊界條件為：

V（0，t）=K，V（S，T）=max（K-ST，0）I{St

其中K為到期日期權的執行價格，ST為到期日價格。

在這里做一個簡單的轉化：設x=log（S），代入上式得：

vt+（r-12σ2exp（2αx-2x））vx+12σ2exp（2αx-2x）2vx2-rv=0（1）

其邊界條件為：

v（0，t）=K，v（S，T）=max（K-exp（x），0）I{x

3.3 Multiquadic擬插值法求解

CEV模型下的障礙期權定價

構造矩陣

Vx=ψ1V+θ（h），Vxx=ψ2V+θ（h2/3）在這里

ψ1=（ψ′（xj-xi）），ψ2=（ψ″（xj-xi）），V=（0，…，v（xi，t），…）T，Vx=（0，…，vx（xi，t），…）T，Vxx=（0，…，vxx（xi，t），…）T。

將式（1）轉化為：

Vt+Dψ1V+Eψ2V=rV（2）

這里D=dig（r-12σ2exp（2αx-2x）），E=dig（12σ2exp（2αx-2x））x=（0，…，xi，…）T

為了便于求解常微分方程，將其轉化為如下形式：

Vt=FV+rV（3）

這里矩陣F=（-Dψ1-Eψ2）。

為了求解在這里應用差分法，通常可以采用如下幾種常用的差分格式：顯式格式、隱式差分和Crank-Nichol son差分格式。

采取顯示差分格式中，簡單來說就是將時間變量做向前差分。

Vn+1=Vn+ΔtFVn+1+rΔtV n（4）

3.4 Multiquadics擬插值法下在CEV模型下的一致性和收斂性

在這里驗證顯示差分格式下擬插值法下的一致性和收斂性。

定理2.2定義的帶有紅利支付的歐式期權定價模型在Multiquadics擬插值法下得到（2.4）是具有一致性的，求得期望和方差為：

Enj=xj+Δt（r-12σ2exp2（αxj-xj））+Ο（Δt·h23）Dnj=σ2exp2（αxj-x）Δt+Ο（Δt2）+Ο（Δt·h23）

定理2.3Multiquadics擬插值法進行CEV模型下的障礙期權定價下的有限差分方法時，使用x=log（S）作為基礎變量，通過變量的轉換，φ″（x）是正定函數，其概率密度函數是穩定的且收斂的。

3.5 基本Multiquadics擬插值法下的CEV模型的障礙期權定價模擬分析

在前面的理論模型分析中，得知基于Multiquadics擬插值函數逼近的有限差分方法計算相對簡單，接下來的模擬分析中為了突出Multiquadics準插值方法的穩定性和精確性，在本節中列出了一個示例，主要對蒙特卡洛模擬、傳統的格子有限差分法以及基于Multiquadics擬插值函數逼近的有限差分方法三者的數值結果進行對比，從而體現Multiquadics擬插值函數在障礙期權定價上的精度和穩定性。

考慮一個6個月到期的向上敲出看跌障礙期權，障礙值B=110

取S0=100，r=0.05，q=0，σ=0.05，T=1，α=1/4，α=1/2，α=2/3

表1列舉了不同的彈性系數下Multiquadics擬插值法、格子有限差分法和蒙特卡洛模擬計算結果。

表1通過以蒙特卡洛模擬法的值為標準，傳統的格子有限差分法與Multiquadics擬插值法對比得出。Multiquadics擬插值方法提供了高度精確且快速的方案來逼近CEV模型下的障礙期權價格，Multiquadics擬插值法方法只需要較少的迭代數即可得到理想的精度，收斂速度也更快。在保證同樣精度條件下，Multiquadics擬插值法的計算時間也明顯小于蒙特卡洛模擬和格子有限差分法。

4 結論

文章通過從MQ-B樣條出發構造了更簡便的Multiquadics擬插值方法進行定價方法。對CEV模型下的障礙期權進行定價，將其定價公式轉化為PDE方程，在利用有限差分法來求得期權的價格。對其一致性和收斂性進行了分析，通過數值模擬分析驗證Multiquadics 擬插值法的穩定性和精確性。

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[作者簡介]李伊華（1996—），男，湖南邵陽人，南京理工大學碩士研究生，研究方向：期權等衍生證券低定價。