基于遺傳優化徑向基函數的梁板固有特性分析

荊棟，胡帥釗，邵明玉，馬馳騁

(山東理工大學 交通與車輛工程學院,山東 淄博 255049)

板梁結構在機械制造、船舶重工和航空航天等工業領域廣泛使用，因此開展薄壁結構的固有特性分析、獲得結構的模態和固有頻率對于工程結構設計具有重要的指導意義。目前，板梁自由振動分析中使用最廣泛的數值方法是有限元法，然而有限元方法求解效率較低，通常需要大量計算網格才能滿足計算精度要求。為了避免耗時繁瑣的網格生成過程，最近發展起來的無網格方法在板梁結構的靜態和瞬態分析中得到了越來越廣泛的應用，如無單元Galerkin法、邊界元法、徑向基函數法(RBF)等[1]。

徑向基函數法編程簡單，在數據插值方面準確性高而且易于實現[2]。1990年，Kansa[3]全面深入地介紹了徑向基函數法的相關概念，該方法有別于有限單元法，屬于無網格數值方法，立足于通過數據插值建立偏微分方程數值解的對應關系。為了提高徑向基函數法的準確性，Fasshauer等[4-5]使用具有平滑功能的多級方法來提高RBF方法的準確性，而Fedoseyev等[6]通過增加內部節點也達到了改善RBF方法準確性的目的。在薄壁板梁的振動分析方面:Chen等[7]通過在虛部基本解中引入RBF研究了圓形和矩形板的自由振動；Ferreira等[8-9]克服了RBF方法中的奇異解問題，使用預處理方法開展了復合材料層合板的自由振動分析，結合非對稱徑向基函數(RBF)配置方法對Timoshenko橫梁和Mindlin板進行了自由振動分析；Misra[10]采用多二次徑向基函數分析了各向同性板的自由振動，基于最小二乘誤差范數的多元線性回歸分析獲得了固定和簡單支撐矩形板的固有振動特性。

雖然國內關于徑向基函數的研究開展的較晚，但是近年來在這一領域也取得了很多成果。王輝等[11]結合徑向基函數法和梁的一般解提出了一種無網格配點解法，通過數值仿真算例驗證了該算法的有效性和數值精度。項松等[12]研究了對稱復合材料層合板的自由振動特性，發現逆復合二次徑向基函數在對稱復合材料層合板自由振動分析方面具有收斂性好及精度高等優點。王莉華等[13]采用徑向基函數配點法研究了考慮剪切效應的梁板彎曲問題，聯立徑向基函數和最小二乘配點法離散方程，獲得了較好的擬合結果。類似地，行凱歌[14]采用Hermite徑向基函數配點法和最小二乘配點法分析層合板的彎曲問題，該方法計算穩定性高，適用于層合板大撓度彎曲問題的控制方程。李森[15]利用構造的單位分解徑向基函數方法研究了2D彈性力學問題和壓電問題?；诟唠A剪切變形理論和逆復合二次徑向基函數無網格配點法，祖福興等[16]以強非線性梁為研究對象，提出了一種聯合徑向基函數-加權余量配點求解方法，針對具體邊值條件，確定了相應的徑向基函數插值表達式。崔攀等[17]在實驗模態分析的基礎上，構造徑向基模型，并根據均方根誤差準則提高模型預測精度，對比研究表明該模型在實際使用中具有較好的優勢。

從文獻回顧中可以發現，徑向基函數的精度是限制該方法大范圍應用的一個重要因素，近年來研究人員的工作重心主要集中在優化配點提高計算精度，但是效果并不明顯。鑒于此，在前人工作的基礎上，本文引入遺傳優化算法，改進徑向基函數以建立更加準確的力學模型。

1 數學模型

根據薄壁結構的彈性理論，在區間Ω上的靜態板梁彎曲問題可以通過控制方程和邊界條件方程來表示，即

(1)

式中：w是位移函數；L為線性微分算子；Ω和?Ω分別表示結構的幾何區域和邊界；B和u分別表示邊界方程的運算符和邊界上的位移條件。與依賴于單元函數有限元方法相比，徑向基函數法屬于無網格算法，是一種基于節點的計算方法。基于徑向基函數，位移函數w的徑向基表達為

(2)

式中：c為形狀函數；φ代表選定的徑向基函數；r為坐標函數；N為網格點數量。函數近似處理中，選用合適的基函數可以有效提高近似效果。徑向基函數具有多種選擇，如表1所示。

表1 徑向基函數

實踐中發現，選擇固定的形狀參數c(均勻網格)可能是造成誤差的主要原因，特別是在邊界處理方面，引起的計算誤差更加顯著。因此，本文擬采用遺傳算法優化徑向基函數的形狀參數c。

遺傳算法尤其適合求解多目標組合優化問題，其求解速度快、計算精度高，而且程序開發成熟。在數學表達上，利用計算機仿真運算，將優化問題過程分解為生物進化中的染色體基因的交叉、變異等過程。實施過程中，首先需要將問題的解編碼為一個二進制序列(也可以直接采用十進制編碼)，所有的二進制序列在遺傳算法中稱為一個種群，然后計算目標函數、選擇、交叉以及變異，模仿優勝劣汰的生物進化過程，經過多次迭代最終獲得最優基因，也就是最優解。

2 板的固有特性分析

以板的固有特性分析為例，首先通過結構的靜態分析和遺傳優化分析，確定最佳的形狀函數c，然后開展結構的固有特性分析。在實際工程中，可以設計簡單的靜態測量實驗獲取實際變形，然后通過遺傳優化分析獲取最優的c值，最后再利用c值進行結構的固有特性分析。

2.1 遺傳優化分析

對于均質材料和恒定橫截面的板，無量綱形式的均勻薄板的自由撓曲振動的控制方程如下：

(3)

(4)

考慮一個四面簡支板，已知撓度具有如下解析形式：

(5)

其中系數Amn的具體形式為

(6)

采用徑向基函數近似表示板的位移，即

(7)

結合公式(6)和公式(7)，定義目標函數

(8)

式中：‖·‖2表示L2范數(最小二乘數據擬合)；WRBF和Wexact分別代表板彎曲變形的徑向基函數表達和精確解析表達。在實際問題中，結構邊界的處理往往是比較復雜的，為了更好地解決邊界處的微分條件，可以嘗試Chebyshev網格。在本節的數值仿真中，同時考慮了均勻網格和Chebyshev網格兩種網格模式，如圖1所示。

(a)均勻網絡 (b)Chebyshev網格

在研究中，我們只對形狀參數c開展遺傳優化分析，遺傳迭代結果如圖2所示。從圖2可以看出，使用遺傳算法可以迅速得到最優的形狀函數值。仿真中以迭代次數作為程序運行截止條件，通過MATLAB軟件編寫了遺傳優化算法，迭代截止次數設置為100。

圖2 遺傳迭代優化過程(11＊11)

采用均勻網格和Chebyshev網格計算得到的系統第一階振型如圖3所示，使用遺傳優化徑向基函數法得到的模態和解析解對比一致，說明了該優化方法的有效性。

(a)均勻網格

2.2 固有特性分析

無量綱化薄板振動特征方程可以表示為[10]

λ4w(x,y)，

(9)

式中：a為板的長度；R為板長度a和板寬度b的比值。此時特征值λ和結構的固有頻率ω滿足

(10)

將公式(7)帶入方程(9)得到

(11)

將公式(11)改寫成矩陣形式，并且考慮四面簡支處位移為零，得到如下公式：

(12)

其中A和B的表達式分別為

式中φij(x,y)=φ((xj-xi)2+(yj-yi)2+r2)，進一步我們可以將公式(13)寫為矩陣形式

(14)

在求解特征方程(14)時，可以使用如下的替換公式：

A*w=λw，

(15)

表2 四面簡支板的固有頻率

采用Chebyshev網格可以有效改善邊界處導數精度，因而顯著提高計算精度。表3和表4給出了使用均勻網格和Chebyshev網格時，四面簡支板的前十階固有頻率值。對比兩種網格方法可以發現，使用Chebyshev網格時，計算精度更高，第一階頻率的計算誤差最大是3.5%，第十階頻率的計算誤差為2.8%。圖4給出了四邊簡支板的前九階振型，與解析模態解是完全一致的。

圖4 四面簡支板的前九階模態

表3 四面簡支板的固有頻率(均勻網格)

表4 四面簡支板的固有頻率(Chebyshev網格)

3 梁的固有特性分析

3.1 梁的模態分析

與板的固有特性分析類似，首先通過靜態分析和遺傳優化徑向基函數法得到優化后的形狀參數，然后進行兩端簡支梁的固有特性分析。對于受均布載荷作用的梁結構，其運動微分方程為

(16)

式中：EI為抗彎剛度；ρ和A分別表示密度和梁的橫截面面積。對于準靜態分析，忽略慣性項，可以得到梁結構的變形方程為

(17)

根據材料力學知識可知，受均布載荷作用的兩端簡支梁的變形為

(18)

圖5 梁及Chebyshev網格圖

利用徑向基函數表達和解析解(18)設計目標函數，用于遺傳優化分析，即

(19)

式中WRBF和Wexact分別代表梁彎曲變形的徑向基函數表達和精確解析表達。仿真中通過MATLAB軟件編寫了遺傳優化算法，迭代截止次數設置為100。針對N=21和N=31兩種網格數目進行了遺傳優化分析，遺傳迭代結果如圖6所示。可以看出，使用遺傳算法可以迅速得到最優的形狀函數值。

(a)N=21適應度

利用基于GA的最佳形狀參數的徑向基函數說明了簡單支撐梁的模態形狀，最佳形狀參數使徑向基函數更加精確。將優化后的形狀參數c帶入彎曲變形的撓度表達式，解析結果和RBF求解結果如圖7所示。對比這兩種情況可以發現，即使采用較為稀疏的網格，徑向基函數近似表達和解析表達也幾乎一致，說明了優化的有效性。

圖7 兩端簡支梁的變形

3.2 梁的模態分析

利用優化結果和徑向基函數表達，進一步開展了梁結構的固有特性分析。將計算得到的形狀函數帶入到梁的特征方程中，便可以求得固有頻率值和對應的振型。前五階模態如圖8所示。從圖8中可以看出，網格數目越多，徑向函數近似表達越精確，因此得到的模態曲線越光滑。

圖8 兩端簡支梁的前五階模態

表5—表7列出了采用不同徑向基函數時，兩端簡支梁結構的固有頻率值。從列出的頻率中可以發現，使用具有最佳形狀參數的徑向基函數，可以獲得比較精確的固有頻率值，從而顯示了遺傳優化徑向基函數的有效性。可以看出，網格數量對于結果的影響比較小，也就是說采用遺傳優化徑向基函數法，使用較少的網格點即可以滿足計算精度要求。對比表5—表7也可以發現，對于梁結構來說，使用IMQ函數比高斯分布函數可以取得更加準確的結果，因此在梁結構的固有特性分析中，建議采用IMQ徑向基函數。

表5 兩端簡支梁的前五階固有頻率 (MQ函數)

表6 兩端簡支梁的前五階固有頻率 (IMQ函數)

表7 四面簡支板的前五階固有頻率 (高斯函數)

4 結論

對薄壁梁和板的固有特性進行了分析，基于遺傳算法和徑向基函數法求解薄壁板梁結構的固有頻率和模態,采用遺傳算法對RBF的形狀參數進行了優化。使用優化的形狀參數后，可獲得更好的結果，且本文結果可以推廣到懸臂梁、兩端簡支板等結構的固有特性分析，也可以用于復合材料薄壁結構的動力學設計。具體結論如下：

(1)使用遺傳算法可以快速獲得優化的形狀參數，提高徑向基函數的精度。通過比較多二次、逆多二次和高斯插值徑向基函數法得到的數值結果，顯示出形狀參數c的良好值。

(2)當網格數量遠大于模態求解階數時，增加網格數量對結果的影響比較小。

(3)使用Chebyshev網格計算的結果要好于使用均勻網格計算的結果，對于板梁結構來說，采用逆多二項式徑向基函數可以得到較好的結果。