基于避撞軌跡跟蹤的車輛穩定性控制仿真研究

周龍輝，石沛林，蔣軍錫，張亮，梁明磊，侯建偉

(山東理工大學 交通與車輛工程學院, 山東 淄博 255049)

車輛行駛安全問題一直是人們關注的熱點，由之產生的汽車主動安全是近年來國內外研究的熱點之一。在車輛安全避撞方面，由于制動距離隨車速呈指數增長，因此在車速較高時制動避撞局限性較大。統計結果表明，至少有24%的追尾事故可以通過轉向規避[1]，故可采用轉向換道避撞的方式對制動避撞進行彌補。

模型預測控制是一種滾動求解帶約束優化問題的控制方法，其最大的優勢是能在控制過程中增加多種約束，從而更合理有效地控制車輛的路徑規劃和跟蹤過程[2]。然而，對于較低附著路面下的轉向避撞軌跡跟蹤，模型預測軌跡跟蹤控制仍然容易出現車輛穩定性較差、控制調整時間較長及控制量調整過大等問題。為此，在車輛避撞軌跡跟蹤過程中，提出對車輛施加橫擺力矩控制以提高車輛穩定性，從而減少軌跡跟蹤控制調整時間，更快、更準確地跟蹤規劃軌跡。

近年來，學者們針對汽車橫擺力矩控制方法展開大量研究，主要的控制方法有PID控制、模糊控制、滑模變結構控制等。劉陽等[3]基于滑膜控制理論和模糊控制理論，設計四輪獨立驅動電動汽車轉向穩定性的橫擺力矩控制策略，仿真分析表明，能夠保證汽車轉向行駛的穩定性。林程等[4]設計了以橫擺角速度、質心側偏角以及橫擺角速度與質心側偏角聯合作為控制變量的3種等速趨近滑模變結構控制器，并利用仿真平臺進行了驗證，但滑模控制抖震現象較為嚴重。

本文采用模型預測軌跡跟蹤與線性二次型調解器(LQR)對車輛橫擺力矩聯合控制的方法，實現車輛避撞軌跡跟蹤過程中車輛的穩定性控制，改善軌跡跟蹤控制效果。

1 模型預測軌跡跟蹤控制

1.1 車輛動力學模型

運用模型預測軌跡跟蹤控制首先需要建立相應的車輛理想化模型。本文采用具有側向、橫擺和縱向運動3個自由度的車輛模型，如圖1所示。

圖1中，坐標系o-xyz為車身坐標系，原點o為車輛質心所在點，x軸方向為車輛前進方向，y軸與車輛前進方向垂直，z軸垂直于xoy平面；坐標系O-XYZ為地面坐標系。

圖1 三自由度車輛模型

模型預測軌跡跟蹤控制的主要目的是使車輛快速而穩定地跟蹤期望路徑，屬于車輛操縱穩定性問題，因此對懸架特性不作深入探究[5]。將車輛動力學模型進行如下理想化假設：車輛沒有俯仰和側傾運動；不考慮懸架垂直運動；忽略空氣動力學影響；忽略因輪胎載荷變化而引起的輪胎特性變化及回正力矩變化[6]。根據牛頓第二定律建立車輛運動微分方程，即

(1)

式中：a，b分別為車輛質心到前、后軸的距離；m為車輛整備質量；Iz為車輛繞z軸的轉動慣量；ωr為汽車橫擺角速度；Fxf，Fxr分別為前后輪胎在x軸方向上所受的合力；Fyf，Fyr分別為前后輪胎在y軸方向上所受的合力；vx，vy分別為車輛在x軸、y軸上的速度。

車輛高速行駛時，一般情況下，前輪轉角都較小。為簡化模型預測控制器的設計，在車輪側偏角、車輛側向加速度較小的前提下，可將輪胎側偏角與側偏力看成線性關系。故在輪胎力的計算過程中提出小角度假設，即滿足如下近似條件：

cosα≈1,sinα≈α,tanα≈α。

此時前后輪胎的側偏角αf，αr計算關系式為

(2)

式中δf為前輪轉角。

輪胎的滑移率計算關系式為

(3)

式中：ωw為車輪角速度；Re為車輪的滾動半徑。

則前、后輪胎的側向力為

Fyf=Ccfαf,Fyr=Ccrαr，

(4)

前、后輪胎的縱向力為

Fxf=Clfsf,Fxr=Clrsr，

(5)

式中：Ccf，Clf分別為前輪的側偏、縱向剛度；Ccr，Clr分別為后輪的側偏、縱向剛度；sf，sr分別為前輪、后輪的滑移率。

由于軌跡跟蹤過程中需對車輛位置進行預測計算，故將車身坐標系轉換為慣性坐標系，則車輛在慣性坐標系下的速度公式為

(6)

將輪胎力計算式(4)、(5)代入式(1)，得到線性輪胎假設條件下的三自由度車輛動力學模型。附加車輛坐標轉換關系式(6)，整合得到

(7)

1.2 模型預測控制器設計

由于當前得到的是非線性系統，不能直接用于線性時變模型預測控制，故通過線性化方法[5]將式(7)線性化，得到線性時變方程

(8)

采用一階差商方法將系統方程離散化，得到新的系統狀態表達式

ξ(k+1)=A(k)ξ(k)+B(k)μ(k)，

(9)

式中：A(k)=I+TA(t)；B(k)=TB(t)；T為采樣周期；I為單位矩陣。

由于車輛前輪轉角改變量過大容易造成危險，且實際前輪轉角控制執行裝置存在物理極限，需增加約束將前輪轉角δf和前輪轉角增量Δδf限制在合理區間內,故將前輪轉角控制增量作為最終輸出的控制量，從而便于設定相關約束。

設定

(10)

(11)

設預測時域為Np，控制時域為Nc，預測方程進一步寫成

Y=Φkχ(k|t)+θkΔU(k)，

(12)

η=CY，

(13)

以前輪轉角增量作為目標函數的控制量，目標函數表示為

(14)

式中：Q和R為權重矩陣；ρ為權重系數；ε為松弛因子。

設前輪轉角范圍和增量范圍約束條件為

|δf|≤10°；|Δδf|≤1°。

最后運用Matlab的二次規劃優化函數quadprog實時規劃求解，得當前時刻前輪轉角增量，并與上一時刻前輪轉角求和，進而輸出當前時刻前輪轉角。

2 橫擺力矩控制

2.1 控制模型的建立

汽車在良好附著路面上以較小的側向加速度(一般認為小于0.4g)轉向時，汽車的操縱特性可近似用線性二自由度車輛模型來描述，這時汽車操縱特性比較理想，駕駛員比較容易操縱汽車，汽車也是穩定的[7]。因此，本文將穩態時的線性二自由度車輛模型輸出的橫擺角速度參數作為汽車穩定性控制的目標，通過控制器產生附加橫擺力矩，使車輛狀態參數逼近控制目標參數，實現車輛穩定性控制。

穩態時車輛線性二自由度模型[8]表達式為

(15)

由此得到基于二自由度車輛模型的橫擺角速度參考穩態值為

(16)

車輛安全行駛時，側向加速度ay不能超過輪胎與地面能夠產生的最大側向加速度，于是設定理想橫擺角速度的最大值約束，即

(17)

式中：g為重力加速度；μ為路面附著系數。

為盡量限制車輛側滑，質心側偏角參考穩態值設為0[9]。即

βref=0。

(18)

將汽車理想的質心側偏角βref、理想的橫擺角速度ωref、前輪轉角δf代入線性二自由度車輛模型中，得狀態方程如下：

(19)

汽車在失穩或接近失穩時已無法近似為線性系統，但為了尋找汽車橫擺穩定力矩和汽車狀態誤差之間的簡化關系，假定車輛的操縱特性依然采用A和B矩陣[8]，得到下式:

(20)

將式(20)減去式(19)得

(21)

式中：Δβ=β-βref；Δω=ω-ωref。

式(21)可近似描述車輛實際參數和理想參數偏差與車輛穩定性控制所需附加橫擺力矩之間的關系。由此關系式即可運用LQR方法求解最優的附加橫擺力矩。

2.2 線性二次型最優求解

建立反映對狀態誤差和控制量要求的目標函數，即

(22)

式中：xlqr=[Δβ,Δω]Τ；ulqr=[ΔM]。

根據LQR方法，最優控制量表示為

u=-Klqr·x(t)

(23)

式中Klqr為狀態反饋系數矩陣，且Klqr=[k1,k2]。

使用Matlab軟件中的lqr函數求解得到

(24)

從而得到附加橫擺力矩為

ΔM=-k1Δβ(t)-k2Δω(t)。

(25)

2.3 輪胎力優化分配

基于LQR方法求解出所需的附加橫擺力矩，最終需要通過控制車輪制動力進而控制輪胎與地面之間的作用力來實現。本文采用基于最優輪胎力分配方法，考慮輪胎附著約束條件，引入優化目標函數，實現對制動力的分配。

2.3.1 輪胎力計算

求解輪胎力分配目標函數及建立相關約束需要通過輪胎模型對輪胎力進行計算估計。dugoff輪胎模型具有需求參數少、可以較好地表達輪胎非線性特征等優點，故本文采用dugoff輪胎模型對輪胎力進行估算。

車輛各輪垂直載荷如下：

(26)

式中：Bw為車輛輪距；h為車輛質心高度；ax為車輛縱向加速度；ay為車輛側向加速度；Fz1為左前輪垂向載荷；Fz2為右前輪垂向載荷；Fz3為左后輪垂向載荷；Fz4為右后輪垂向載荷。

dugoff輪胎模型的輪胎側向力數學表達式為

(27)

2.3.2 目標函數與約束條件建立

本文基于每個車輪的垂向載荷和能夠提供的最大附著力建立目標函數，即

(28)

式中：Fxi為各輪目標縱向制動力；Fyi為式(27)得出的各輪側向力輪胎模型計算值；Fzi為式(26)得出的各輪垂向力估計值。

由于在較低附著路面，通過輪胎制動能夠產生的橫擺力矩飽和后，不能達到上層控制器所期望的附加橫擺力矩，故控制器分配到各輪胎上的制動力繞車輛z軸產生的力矩應不大于當前路面能夠產生的最大附加橫擺力矩，從而得到下式：

(29)

式中：Bw為車輛輪距；ΔMmax為當前路面能夠產生的最大附加橫擺力矩。

本文采用忽略縱向與側向附著力差異的輪胎附著圓[8]作為輪胎力極限約束，故輪胎的縱向力和側偏力應滿足

(30)

對于制動控制，約束是單邊的[10]，所以制動控制下輪胎縱向力約束條件為

(31)

2.3.3 輪胎力最優分配算法仿真實現

確定目標函數和約束條件后，輪胎力分配即可轉變為非線性規劃問題進行求解。使用Matlab軟件中的fmincon函數在s-function中實時運行求解，即可得到對應的輪胎制動力Fxi，進而將制動力轉化得到最終實現控制所需的制動輪缸壓力，從而實現控制。

3 仿真分析

本文通過Matlab/Simulink與Carsim軟件，對所設計的避撞軌跡跟蹤及車輛穩定性控制進行仿真分析。仿真實驗中的車輛模型參數見表1。

表1 車輛模型參數

目前，基于車輛避撞的換道軌跡有多種，對比分析后采用滿足規劃路徑起止點約束和路徑曲率約束的五次多項式換道軌跡。在O-XYZ地面坐標系中避撞軌跡方程如下：

(32)

式中：W為側向位移量；d為避撞軌跡長度。

設車輛以75 km/h的車速在附著系數為0.4的路面上行駛。由于車輛在該仿真工況下采用短距離避撞軌跡易發生危險，又需通過跟蹤避撞軌跡改善車輛縱向制動避撞局限性，故保守采用長度為40 m的避撞軌跡，同時選取一般道路寬度3.75 m作為軌跡側向位移量。

為對比不同控制方法的作用效果，本文將仿真實驗分為兩種，分別為僅使用軌跡跟蹤控制和使用軌跡跟蹤、橫擺力矩聯合控制兩種情況，并選取車輛行駛軌跡、橫擺角速度、質心側偏角、前輪轉角作為評價指標，對不同控制方法車輛避撞過程的穩定性及軌跡跟蹤效果進行分析。

圖2為兩種控制施加情況對應的車輛行駛軌跡對比。由圖2可知，單一軌跡跟蹤控制的車輛在避撞過程中出現了兩次遠離理想軌跡的較不穩定行駛軌跡；聯合控制的車輛軌跡雖出現了少量超調，但行駛軌跡更加穩定，沒有出現行駛軌跡再次遠離理想軌跡的情況。

圖2 行駛軌跡仿真曲線

圖3為兩種控制施加情況下仿真得出的車輛橫擺角速度曲線。從圖3中可以看出，僅使用模型預測軌跡跟蹤控制的車輛，在避撞軌跡跟蹤過程中的橫擺角速度變化較大，震蕩時間長；施加聯合控制后，橫擺角速度變化明顯被抑制，到達穩定值的時間提前，表明車輛能夠更快地到達穩定行駛狀態。

圖3 橫擺角速度曲線

圖4為兩種控制施加情況下仿真得出的質心側偏角曲線圖。從圖4中可以看出，僅使用模型預測軌跡跟蹤控制的車輛，在避撞軌跡跟蹤過程中質心側偏角變化較大、曲線變化率較大、震蕩時間較長；采用聯合控制方法后，車輛的質心側偏角的絕對值不超過0.05°，曲線變化量得到抑制、曲線變化率明顯減小，說明控制器有效提高了車輛行駛過程中的穩定性。

圖4 質心側偏角仿真曲線

圖5為兩種控制施加情況下仿真得出的前輪轉角輸出值。由圖5可知，僅使用模型預測軌跡跟蹤控制的車輛前輪轉角變化量較大，跟蹤理想軌跡的調整時間長；施加聯合控制的車輛，軌跡跟蹤過程中調整時間變短，前輪轉角變化量減小，車輛前輪能夠更快地回正。結合圖2也可以發現，施加聯合控制的車輛能更快地到達直線行駛軌跡。這表明橫擺力矩控制器對模型預測軌跡跟蹤控制器起到了較好的輔助作用，能有效提升軌跡跟蹤效果。

圖5 前輪轉角仿真曲線

4 結論

本文結合模型預測軌跡跟蹤控制與汽車橫擺力矩控制實現對避撞軌跡的跟蹤。仿真結果表明：

1)在附著系數為0.4的較低附著系數路面條件下，采用增加橫擺力矩控制的聯合控制方法，提升了模型預測軌跡跟蹤控制效果和車輛穩定性。

2)與單一軌跡跟蹤控制相比，采用模型預測軌跡跟蹤與橫擺力矩聯合控制后， 車輛能夠更快地跟蹤到預設直線行駛軌跡，降低前輪轉角調整幅值。