汽車非平穩隨機振動統計特性求解的一種新方法*

李 杰，陳 濤，郭文翠，趙 旗

（吉林大學，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130025）

前言

路面不平度是沿著道路走向的路面輪廓相對于基準平面的高度變化［1］，反映了道路存在不平的自然和客觀狀態。路面不平度是道路走向長度的函數，具有平穩隨機過程的特性［2］。

路面激勵是汽車在道路行駛時的振動輸入，反映了路面不平度和車速對汽車的共同作用［3］，也稱為路面不平度激勵。路面激勵是時間的函數，具有隨機過程的特性。

當車速不隨時間變化時，路面激勵具有平穩隨機過程特性，對應產生的汽車隨機振動，稱為汽車平穩隨機振動。當車速隨時間變化時，路面激勵具有非平穩隨機過程特性，對應產生的汽車隨機振動，稱為汽車非平穩隨機振動。

汽車平穩隨機振動描述的是汽車勻速行駛工況，反映的是汽車勻速行駛的平順性。然而，除了勻速行駛工況外，汽車還存在著起動、加速和減速等非勻速行駛工況，汽車平穩隨機振動研究及其成果不適用于非勻速行駛工況，需要開展汽車非平穩隨機振動研究，使其既能適應非勻速行駛工況，也能適應勻速行駛工況。考慮車速變化的汽車非平穩隨機振動是更符合汽車實際運行的隨機振動，開展汽車非平穩隨機振動研究既是汽車平穩隨機振動研究的深入，也是非勻速行駛汽車平順性研究的基礎和前提。

Hammond等指出汽車非勻速行駛時路面激勵為非平穩隨機激勵［4］，并且提出建立非平穩路面隨機激勵模型的協方差等效方法。Harrison等應用協方差等效方法建立了汽車4自由度平面模型的非平穩路面隨機激勵［5］，說明了協方差等效方法用于汽車4自由度平面模型的可行性。Narayanan等采用協方差等效方法表示非平穩路面隨機激勵［6］，將其用于研究汽車單自由度單輪模型的非平穩隨機振動及其優化。羅明廉等將協方差等效方法用于汽車5自由度平面模型，研究了汽車座椅加速度非平穩隨機振動［7］。張立軍等以協方差等效方法表示四輪非平穩路面隨機激勵［8］，隨后進行了汽車非平穩行駛動力學和控制的研究［9］。胡啟國等將協方差等效方法用于汽車5自由度平面模型［10］，對影響座椅加速度的主要參數進行了仿真分析。然而，由Hammond等提出的協方差等效方法，只能用于求解汽車振動響應，不能用于求解汽車非平穩隨機振動的功率譜密度和均方根值。

金先龍研究了非平穩隨機振動激勵的瞬時功率譜密度，提出了一種非平穩隨機振動激勵瞬時功率譜密度的表示［11］。趙丁選和劉剛等建立了車輛非平穩隨機加速度瞬時功率譜密度和位移功率譜密度之間的關系［12-13］，確定了變車速行駛時車輛非平穩隨機加速度的瞬時功率譜密度表示。張立軍等提出一種非平穩隨機振動響應瞬時功率譜密度計算方法［9］，將時間頻率響應特性替換為空間頻率響應特性，通過對空間頻率進行積分求解響應的瞬時功率譜密度。然而，瞬時功率譜密度方法存在兩方面的問題:一方面是只給出理論表示，沒有具體應用；另一方面是雖然給出理論表示和具體應用，但理論仍表示存在一定問題。

在前人研究的基礎上，本文中基于無論汽車勻速行駛還是非勻速行駛路面不平度都始終具有平穩隨機過程的特性，結合汽車振動2自由度單輪模型，建立汽車非平穩隨機振動響應統計特性求解的新方法，完成從理論、程序開發到具體應用的全部過程。

1 時間域汽車振動模型

1.1 力學模型

汽車振動2自由度單輪力學模型如圖1所示，由車身簧載質量m2、非簧載質量m1、剛度系數為k和阻尼系數為c的懸架、剛度系數為kt的輪胎組成。z2(t)是簧載質量垂直位移，z1(t)是非簧載質量的垂直位移，q(t)是路面激勵。

圖1 汽車振動2自由度單輪力學模型

1.2 數學模型

針對汽車振動2自由度單輪力學模型，根據拉格朗日方程建立數學模型:

其中:

1.3 振動響應量

針對汽車振動2自由度單輪力學模型，將車身簧載質量加速度z?2、懸架動撓度fd和車輪相對動載Fd/G作為振動響應量［1］。

2 空間域汽車振動模型

2.1 變量及其導數的變換關系

設變量z為變量s的函數z=z(s)，而s又為變量t的函數s=s(t)，則z既是變量s的函數又是變量t的函數，即

在式（7）中，引入u和a表示s對t的1階導數和2階導數。如果s是行駛距離，則u和a分別為行駛車速和行駛加速度。

針對z→s→t的復合函數，根據復合函數的導數運算法則有

將式（4）和式（8）推廣到向量得

2.2 空間域汽車振動模型推導

將式（9）代入式（1）有

式（11）是空間域汽車振動模型，當u不隨著時間t變化時，其為時不變系統，即M、C和K不隨著時間變化；當u隨著時間t變化時，其為時變系統，即M、C和K隨著時間變化。

3 空間頻率響應特性

3.1 汽車振動空間頻率響應特性

在空間域內，設n是與行駛距離s對應的空間頻率，依據傅里葉變換得

式中:z(n)為z(s)的傅里葉變換；z′(n)為z′(s)的傅里葉變換；z″(n)為z″(s)的傅里葉變換；j= -1。

對式（11）兩端進行傅里葉變換，結合式（12），汽車振動空間頻率響應特性H(n，t)為

應當說明的是:如果u為t的函數，則H(n，t)既為n的函數，也為t的函數；如果u為常數，則H(n，t)變成H(n)，只為n的函數。

3.2 汽車振動空間頻率響應特性展開

對于汽車振動2自由度單輪模型，將m、c和k的具體表示代入式（14）展開和推導。

其中:

3.3 時間域加速度的空間頻率響應特性

為了簡化表示，省略函數括號中的自變量t或s。對于任意響應z，由式（8）得

3.4 振動響應量的空間頻率響應特性

4 振動響應量統計特性

4.1 路面不平度的空間域統計特性

路面不平度q(s)是行駛距離s的函數，其空間域統計特性由空間頻率譜密度Gq(n)描述，根據路面分類標準表示為［1］

式中:Gq(n0)為路面不平度系數，由路面分類標準給定［1］；參考空間頻率n0=0.1 m-1；頻率指數W=2。

4.2 響應和激勵的統計特性關系

設平穩隨機過程q=q(s)，如果s=s(t)，則由s=s(t)代入q=q(s)得到的q=q(t)就變成特殊的非平穩隨機過程。在隨機振動理論上，這樣的非平穩隨機過程q=q(t)稱為演變隨機過程，由此建立了演變隨機過程功率譜密度方法［14-17］。

再設q=q(t)為激勵，z=z(t)為響應，則z=z(t)也變成特殊的非平穩隨機過程。如果將z=z(t)變換到s的空間頻率n所在空間域內，則響應和激勵的空間頻率響應特性就變成n和t的函數，即H(n，t)z-q。

如果Gz(n，t)為響應的功率譜密度，σz(t)為響應的均方根值，則［14-17］

式中nl和nu為空間頻率n的下限和上限。

4.3 振動響應量的時變統計特性

由式（25），各個振動響應量的時變功率譜密度為

5 振動響應量統計特性求解

5.1 汽車參數和行駛工況設置

針對前述理論分析，本文中采用Matlab開發了汽車非平穩隨機振動響應量統計特性求解仿真程序，在給定汽車參數、車速時間變化序列和行駛距離初值，選擇路面標準給定的任何等級路面后，通過仿真就可以得到車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的功率譜密度和均方根值。

對于汽車振動2自由度單輪模型，采用某汽車參數［18］，m2=878.8 kg，m1=106 kg，k=184082 N/m，c=3 292.8998 N·s/m，kt=762900 N/m。

選擇汽車典型行駛工況，如圖2（a）所示。由變化的行駛速度和行駛距離初值，可得到汽車的加速度和行駛距離，如圖2（b）和圖2（c）所示。由圖可以看出:首先汽車勻加速行駛，加速度為1 m/s2；然后汽車勻速行駛，加速度為0；最后汽車勻減速行駛，加速度為-1 m/s2。

圖2 汽車典型行駛工況

5.2 結果分析

對應于典型行駛工況和國內常見的B級路面，非平穩振動響應量的功率譜密度如圖3所示。

圖3 非平穩振動響應量的功率譜密度

由圖3可以看出:非平穩振動響應量的功率譜密度不僅與時間有關，也與空間頻率有關；在勻加速行駛時間內，隨著車速增加，車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的功率譜密度也逐漸變大；在勻速行駛時間內，車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的功率譜密度保持不變；在勻減速行駛時間內，隨著車速減小，車身簧載質量加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的功率譜密度也變小；在勻加速行駛結束和勻減速行駛開始的小段時間內，車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的功率譜密度均在較低空間頻率時出現波動，說明加速度和減速度對車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的功率譜密度有影響。

由圖4可以看出，車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的均方根值隨著時間變化情況與車速隨著時間變化情況相似。在勻加速行駛時間內，隨著車速增加，車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的均方根值也逐漸增加；在勻速行駛時間內，車速保持不變，車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的均方根值也保持不變，符合以往勻速行駛時平穩隨機振動響應量為常量的規律；在勻減速行駛時間內，隨著車速減小，車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的均方根值逐漸變小；在勻加速行駛結束和勻減速行駛開始的小段時間內，車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的均方根值出現小幅波動，說明加速度和減速度對車身簧載質量垂直加速度、懸架動撓度和車輪相對動載的均方根值有影響。

圖4 非平穩振動響應量的均方根值

6 結論

（1）路面不平度在空間域具有平穩隨機過程的特性。當車速不隨著時間變化時，路面激勵具有平穩隨機過程的特性；當車速隨著時間變化時，路面激勵具有非平穩隨機過程的特性，可以通過演變隨機過程進行描述。

（2）考慮車速變化的汽車非平穩隨機振動更符合汽車實際運行工況，基于時間域與空間域變量及其導數變換關系，由時間域汽車振動模型推導相應的空間域汽車振動模型，再采用空間頻率傅里葉變換求解汽車非平穩隨機振動統計特性的方法，不僅適用于汽車振動2自由度單輪模型，也適用于其它汽車振動模型。

（3）研究結果表明，本文中提出的求解汽車非平穩隨機振動統計特性方法和開發的程序可以再現汽車非平穩隨機振動響應量的時變特性，值得向更復雜的汽車振動模型和復雜行駛工況推廣。