復(fù)合材料板簧的遲滯特性建模與試驗研究*

劉鶴龍，史文庫，高 蕊，陳志勇，陳 晃，孫云龍

（1.吉林大學(xué)，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022；2.中國重汽集團(tuán)汽車研究總院，濟(jì)南 250100；3.哈爾濱玻璃鋼研究院有限公司，哈爾濱 150036）

前言

隨著能源短缺的問題日益凸顯和新能源汽車對續(xù)航里程的要求逐漸提高，汽車輕量化技術(shù)的發(fā)展得到了廣泛的關(guān)注。纖維增強型復(fù)合材料（FRP）與金屬材料相比，具有比強度高、比模量大、耐腐蝕性好等優(yōu)點，因此在汽車輕量化領(lǐng)域上展現(xiàn)出了巨大的潛力。以復(fù)合材料板簧替代原鋼板彈簧，不僅輕量效果明顯，而且能夠減輕汽車的非簧載質(zhì)量，提高乘坐舒適性與行駛安全性。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對復(fù)合材料板簧的研究主要集中在復(fù)合材料選擇［1］、剛度預(yù)測［2-4］、連接結(jié)構(gòu)設(shè)計［5］和疲勞性能優(yōu)化［6］等方面，關(guān)于復(fù)合材料板簧的遲滯特性的研究卻比較少見，而遲滯特性使板簧呈現(xiàn)非線性的剛度與阻尼，在整車的精細(xì)化建模中不可或缺。文獻(xiàn)［7］中提出了一種復(fù)合材料板簧非線性遲滯特性模型，該模型可以比較準(zhǔn)確地辨識臺架試驗的動態(tài)力-位移曲線，但模型參數(shù)與加載力幅值具有相關(guān)性，不利于在整車動力學(xué)分析上應(yīng)用。對于傳統(tǒng)的鋼板彈簧，遲滯特性的建模方法主要包括有限元分析法［8］、Rate?dependent triboelastic（RT）模型［9］、Fancher模型［10］、Bouc?Wen模型［11］和Maxwell?slip模型［12］等。其中，Bouc?Wen模型由于計算簡單、通用性好而被廣泛應(yīng)用于各種工程結(jié)構(gòu)中。

然而，Bouc?Wen模型的未知參數(shù)數(shù)量較多，參數(shù)的物理意義尚不明確，因此，未知參數(shù)的辨識是該模型應(yīng)用的一個難點。文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［14］中利用解析法對Bouc?Wen模型的參數(shù)辨識過程進(jìn)行了詳細(xì)的說明，但解析法計算過程相對復(fù)雜，通用性不佳。文獻(xiàn)［11］和文獻(xiàn)［15］中利用最小二乘法對Bouc?Wen模型的參數(shù)進(jìn)行了辨識，但該方法容易被試驗數(shù)據(jù)中的噪聲干擾，具有一定的局限性。近年來，伴隨著智能算法的興起，遺傳算法［16-17］、粒子群算法［18-19］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法［20］和布谷鳥算法［21］等方法在非線性遲滯模型的參數(shù)辨識方法上展現(xiàn)出了極大的優(yōu)勢。

因此本文中嘗試根據(jù)Bouc?Wen摩擦學(xué)理論建立復(fù)合材料板簧的遲滯特性模型，利用新興的元啟發(fā)算法（烏鴉搜索算法）對模型的未知參數(shù)進(jìn)行辨識，并分析復(fù)合材料板簧的遲滯特性對整車動態(tài)響應(yīng)的影響。

1 復(fù)合材料板簧力學(xué)臺架試驗

對某輕型客車后懸架復(fù)合材料板簧進(jìn)行靜/動態(tài)加載試驗。板簧的結(jié)構(gòu)形式為拋物線截面縱置單片簧，簧身為E玻纖/聚氨酯復(fù)合材料，纖維排布方向均為板簧圓周方向。復(fù)合材料簧身通過螺栓與端部金屬接頭連接。樣件照片如圖1所示。臺架試驗時，板簧中部用U型螺栓夾緊，用滾輪釋放兩端的自由度，臺架試驗裝夾狀態(tài)如圖2所示。靜態(tài)試驗時，載荷由零緩慢逐級加載至目標(biāo)值，再逐級卸載，靜剛度測試結(jié)果如圖3所示。通過對試驗數(shù)據(jù)點的擬合可以得到復(fù)合材料板簧的線性靜剛度為ks=118.15 N/mm。

圖1 復(fù)合材料板簧樣件

圖2 復(fù)合材料板簧臺架試驗

圖3 復(fù)合材料板簧靜剛度測試結(jié)果

動態(tài)加載試驗時，在一定的預(yù)載下（空載載荷），對樣件施加不同頻率、不同幅值力的正弦載荷。激勵頻率分別為0.5、1、1.5、2和2.5 Hz，每組頻率下加載力幅值分別為700、1 400、2 100、2 800和3 500 N。

在加載力幅值為1 400 N的條件下，不同激勵頻率下復(fù)合材料板簧的等幅變頻動態(tài)力-位移曲線如圖4所示（去除了均值）。從圖中可以看出，在試驗頻率范圍內(nèi)，加載頻率對滯回曲線的影響不明顯。與文獻(xiàn)［22］中得出的在15 Hz以下、加載頻率對鋼板彈簧力-變形遲滯曲線影響不大的結(jié)論相符合。因此，為簡化分析，本文中忽略加載頻率對復(fù)合材料板簧滯回特性的影響。

圖4 復(fù)合材料板簧等幅變頻動態(tài)曲線

在加載頻率為0.5 Hz的條件下，不同激勵力幅值下復(fù)合材料板簧的等頻變幅動態(tài)力-位移曲線如圖5所示。從圖中可以看出，隨著加載幅值增大，滯回環(huán)的面積增加，表明阻尼大小與加載幅值呈正相關(guān)。

圖5 復(fù)合材料板簧等頻變幅動態(tài)曲線

2 復(fù)合材料板簧遲滯特性建模

2.1 復(fù)合材料板簧遲滯模型

傳統(tǒng)的鋼板彈簧遲滯特性主要由片間摩擦產(chǎn)生，金屬材料本身的內(nèi)阻可以忽略不計。而對于復(fù)合材料板簧，尤其是單片簧，通常認(rèn)為簧身阻尼主要來源于復(fù)合材料基體的黏彈性和界面相的摩擦。吊耳處安裝有橡膠襯套，也具有明顯的摩擦非線性。因此，本文中嘗試?yán)肂ouc?Wen摩擦學(xué)理論建立復(fù)合材料板簧的遲滯特性模型。

Bouc?Wen模型的表達(dá)式為

式中:FB(t)為板簧的非線性遲滯回復(fù)力，由線彈性恢復(fù)力和非線性遲滯力兩部分組成；x(t)為板簧的響應(yīng)位移量；z(t)為板簧的遲滯位移量；α、k為板簧的遲滯力參數(shù)。

其中，遲滯位移量z(t)的1階微分形式為

式中:A、β、γ為滯回環(huán)的形狀參數(shù)；n為滯回環(huán)的光滑系數(shù)。

2.2 Bouc?Wen模型參數(shù)辨識

模型的參數(shù)辨識是非線性遲滯建模中最重要的環(huán)節(jié)之一，參數(shù)辨識的效果直接決定了建模的成敗。復(fù)合材料板簧Bouc?Wen模型中待辨識參數(shù)較多，其中大部分參數(shù)的物理意義尚不明確，初值和范圍難以確定，因此應(yīng)用傳統(tǒng)的最小二乘法、解析法等辨識方法具有一定的局限性。而近年來，新興的元啟發(fā)式優(yōu)化算法借助大自然的智慧，通過模仿自然現(xiàn)象的運行機制，為解決復(fù)雜問題提供了新的思路與方法。

本文中嘗試?yán)脼貘f搜索算法（crow search algorithm，CSA）對復(fù)合材料板簧的Bouc?Wen模型進(jìn)行參數(shù)辨識，并對算法進(jìn)行針對性的改進(jìn)，以期提高算法的搜索精度與穩(wěn)定性。

2.2.1 參數(shù)取值范圍及適應(yīng)度函數(shù)

Bouc?Wen模型中的未知參數(shù)包括k、A、α、β、γ、n共6個參數(shù)，α∈(0，1)。其中αk為板簧的線性剛度，理論上與靜剛度結(jié)果接近［11］。根據(jù)靜剛度測試結(jié)果（ks=118.15N/mm），取αk∈[100，140]（N/mm）。參照文獻(xiàn)［11］對鋼板彈簧的模型參數(shù)辨識結(jié)果，并進(jìn)行多次優(yōu)化嘗試［17］，確定其他參數(shù)的優(yōu)化范圍為A、β、γ∈[0，10]。滯回環(huán)的形狀參數(shù)n靈敏度較低，因此取n∈[0，4]。

適應(yīng)度函數(shù)的質(zhì)量決定了參數(shù)辨識的精度和效率，高質(zhì)量的適應(yīng)度函數(shù)應(yīng)當(dāng)能準(zhǔn)確引導(dǎo)優(yōu)化趨向，并節(jié)約計算時間。考慮模型對復(fù)合材料板簧多個試驗幅值力下遲滯特性的通用性，定義綜合相對回復(fù)力誤差的均方根值（CRRMS）作為算法的適應(yīng)度函數(shù)，即

式中:k為試驗幅值力的數(shù)量，本文中k=5；Fampi對應(yīng)每一組加載力的幅值；m為每組幅值力下試驗數(shù)據(jù)點的個數(shù)；Ftest與Fsim分別為試驗與仿真的回復(fù)力。

2.2.2 烏鴉搜索算法

烏鴉搜索算法（CSA）是伊朗學(xué)者Askarzadeh于2016年提出的新型群智能優(yōu)化算法［23］，CSA的進(jìn)化過程模擬了烏鴉間相互跟蹤竊食的行為，其有效性已在多個領(lǐng)域的優(yōu)化問題上得到了證明［24-27］。算法的數(shù)學(xué)意義表示如下。

式（4）的位置迭代更新中存在兩個問題:一是固定的飛行長度fl不能兼顧算法的全局搜索能力與局部搜索能力；二是當(dāng)隨機數(shù)大于AP時，烏鴉i以隨機方式跟蹤某一只烏鴉j進(jìn)行位置更新，這種方式在迭代初期可以保持很好的種群多樣性，有利于跳出局部最優(yōu)，但也會使算法在迭代后期具有較大的盲目性，降低了算法的穩(wěn)定性與搜索精度。

為解決以上問題，本文中提出一種改進(jìn)的烏鴉搜索算法（modified crow search algorithm，MCSA），在標(biāo)準(zhǔn)烏鴉搜索的基礎(chǔ)上，具體改動如下。

（1）基于segmoid函數(shù)，引入動態(tài)飛行長度:

式中:t為迭代次數(shù)；Maxgen為最大迭代次數(shù)。由式（5）得到的動態(tài)飛行長度隨迭代次數(shù)變化曲線如圖6所示。由圖可見:在算法初期，飛行長度fl具有較大值，可以提高算法的全局搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)解；而在算法的后期，飛行長度fl具有較小值，可以提高算法的局部搜索能力，改善解的質(zhì)量。

圖6 動態(tài)飛行長度隨迭代次數(shù)變化

（2）動態(tài)精英跟蹤機制:

烏鴉i不再盲目選擇任意烏鴉進(jìn)行追蹤，而是隨機對精英烏鴉（適應(yīng)度更好的個體）進(jìn)行追蹤。引入精英比例（pe）的概念，即適應(yīng)度占比在前pe范圍內(nèi)的個體定義為精英烏鴉。隨迭代次數(shù)變化的動態(tài)精英比例如式（6）所示。

在迭代初期，精英比例具有較大值，表明隨機跟蹤的烏鴉范圍較廣，有利于跳出局部最優(yōu)；在迭代后期，精英比例具有較小值，表明隨機跟蹤的烏鴉范圍較小，有利于局部搜索并提高算法的穩(wěn)定性。

綜上，MCSA的位置更新公式如下:

式中mj_pe(t)為根據(jù)式（6）計算得到的任意一只精英烏鴉j的食物記憶位置。

2.2.3 參數(shù)辨識結(jié)果與討論

為驗證改進(jìn)的烏鴉搜索算法的有效性，將MCSA的優(yōu)化性能與標(biāo)準(zhǔn)的烏鴉搜索算法（CSA）、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法（GA）進(jìn)行對比。種群數(shù)量為N=30，最大迭代次數(shù)Maxgen=200。取CSA與MCSA的意識概率AP=0.1，取CSA的飛行長度fl=2。GA的交叉概率為0.7，變異概率為0.1，采用輪盤賭選擇。

每一種算法分別進(jìn)行30次獨立優(yōu)化，分別提取每種算法30次優(yōu)化結(jié)果的最差值（Worst）、最優(yōu)值（Best）、均值（Mean）和標(biāo)準(zhǔn)差值（Std.），如表1所示。3種算法的平均迭代尋優(yōu)對比曲線如圖7所示。通過表1和圖7的3種算法尋優(yōu)結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，MCSA的各項指標(biāo)均優(yōu)于GA和CSA，表明MCSA算法在保證更高求解精度的同時，具有更好的穩(wěn)定性。

表1 算法求解結(jié)果對比

圖7 算法的平均迭代尋優(yōu)曲線

復(fù)合材料板簧Bouc?Wen遲滯模型參數(shù)辨識的最優(yōu)結(jié)果如表2所示。根據(jù)表2參數(shù)結(jié)果計算得到的復(fù)合材料板簧動態(tài)力-位移曲線與試驗對比如圖8～圖12所示。從圖中可以看出，在每個加載幅值力的條件下，復(fù)合材料板簧的動態(tài)仿真曲線與試驗曲線均吻合良好，表明前面利用MCSA辨識的模型參數(shù)是準(zhǔn)確的，也說明Bouc?Wen模型對復(fù)合材料板簧的遲滯特性建模具有較好的適用性。

表2 Bouc?Wen模型辨識最優(yōu)結(jié)果

圖8 幅值700 N動態(tài)曲線仿真與試驗對比

圖9 幅值1 400 N動態(tài)曲線仿真與試驗對比

圖10 幅值2 100 N動態(tài)曲線仿真與試驗對比

圖11 幅值2 800 N動態(tài)曲線仿真與試驗對比

圖12 幅值3 500 N動態(tài)曲線仿真與試驗對比

3 整車平順性建模

3.1 考慮板簧遲滯特性的整車模型

某輕型客車前懸架為雙橫臂扭簧結(jié)構(gòu)，后懸架為板簧結(jié)構(gòu)。以前面辨識的Bouc?Wen遲滯模型單元替代后懸架的彈性單元，建立考慮復(fù)合材料板簧遲滯特性的整車模型，如圖13所示。

圖13 整車平順性模型

在針對懸架特性的低頻平順性研究中（一般低于15 Hz），所研究的路面輸入的最短波長遠(yuǎn)大于輪胎與地面的接觸印跡，因而可以將滾動輪胎的垂向動力學(xué)特性簡化為一個忽略了阻尼的彈簧［28］。因此，本文的整車模型忽略了輪胎的阻尼對動力學(xué)的影響［11，29］。該模型為整車7自由度模型，包括簧載部分的垂向運動zb、俯仰運動θb、側(cè)傾運動φb3個自由度和4個車輪的垂向自由度zwi。qi為路面激勵，F(xiàn)BW為板簧的回復(fù)力，i=A，B，C，D代表4個車輪。

在俯仰角θb和側(cè)傾角φb較小時，4個車輪對應(yīng)車身上方的垂向位移自由度:

根據(jù)牛頓運動定律，列出整車模型的運動方程:

式中FA、FB、FC和FD為懸架回復(fù)力:

考慮方程組的復(fù)雜性，本文中基于Simulink平臺，根據(jù)式（8）～式（10）搭建動力學(xué)模型，選用求解器ode45（4階-5階Runge-Kutta）實現(xiàn)對動力學(xué)方程的求解。表3給出了某輕型客車的整車動力學(xué)相關(guān)參數(shù)。

3.2 整車模型準(zhǔn)確性驗證

為驗證整車7自由度模型的正確性，對某輕型客車進(jìn)行后輪跌落試驗。復(fù)合材料板簧裝車狀態(tài)如圖14所示。

圖14 復(fù)合材料板簧裝車狀態(tài)

后輪跌落試驗如圖15所示。將兩個后輪置于相同高度的凸臺上（9 cm），緩慢推動客車，使兩后輪同時跌落，用加速度傳感器分別采集后輪上方車架處（圖14）和駕駛員腳部的振動衰減信號（圖16）。仿真與試驗結(jié)果對比如圖17和圖18所示，仿真與試驗的振動加速度信號吻合較好，驗證了整車7自由度模型的準(zhǔn)確性。

圖15 后輪跌落試驗

圖16 駕駛員腳部傳感器布置圖

圖17 后車架振動加速度信號對比圖

圖18 駕駛員腳部振動加速度信號對比圖

4 遲滯特性對整車動態(tài)響應(yīng)的影響

采用濾波白噪聲法［30］生成四輪汽車B級路面隨機激勵時域模型作為輸入，仿真的車輛行駛速度為60 km/h。為體現(xiàn)復(fù)合材料板簧遲滯特性的影響，分別對考慮板簧遲滯特性的非線性Bou?Wen模型（BM）與不考慮遲滯特性的線性化模型（LM）進(jìn)行整車動態(tài)響應(yīng)分析。簧載質(zhì)量質(zhì)心加速度ab、懸架動撓度SDD和復(fù)合材料板簧回復(fù)力FLS3個參數(shù)對比如圖19～圖21所示，其均方根值和相對誤差如表4所示。

圖19 簧載質(zhì)量質(zhì)心加速度對比圖

表4 復(fù)合材料板簧遲滯特性對整車動態(tài)響應(yīng)的影響

圖19為簧載質(zhì)量質(zhì)心加速度對比曲線，表明在分析工況下，該復(fù)合材料板簧的遲滯特性使質(zhì)心加速度的均方根值增加了5.09%，對行駛平順性有一定不利影響；圖20為懸架動撓度對比曲線，表明該復(fù)合材料板簧的遲滯特性使懸架動撓度減小了6.58%，有利于行駛安全性；圖21為板簧回復(fù)力對比曲線，表明該復(fù)合材料板簧的遲滯特性使回復(fù)力增加了3.49%，這是由于復(fù)合材料板簧的遲滯特性考慮了板簧的非線性剛度和阻尼效應(yīng)，致使懸架動撓度明顯偏小、復(fù)合材料板簧所提供的垂向力偏大。

圖20 懸架動撓度對比圖

圖21 板簧回復(fù)力對比圖

5 結(jié)論

（1）本文中利用Bouc?Wen模型對復(fù)合材料縱置單片簧的遲滯特性進(jìn)行建模，仿真的動態(tài)力-位移曲線與試驗結(jié)果吻合良好，表明Bouc?Wen模型對復(fù)合材料板簧的遲滯特性具有較好的適用性。

（2）改進(jìn)的烏鴉搜索算法對Bouc?Wen非線性遲滯模型的參數(shù)辨識具有較高的精度和穩(wěn)定性，體現(xiàn)了新興的群智能算法在非線性遲滯模型參數(shù)辨識上的有效性。

（3）通過建立整車7自由度模型分析復(fù)合材料板簧遲滯特性對動態(tài)響應(yīng)的影響，結(jié)果表明復(fù)合材料板簧的遲滯特性使簧載質(zhì)量的質(zhì)心加速度增加，板簧的回復(fù)力增大，而懸架的動撓度減小。