反坡正弦波形底板上F 型水躍水力特性的試驗研究

李 楨，柳樹搖，李 紅

(1. 四川水利職業技術學院，四川 成都 611231；2. 四川省內江水利電力建筑勘察設計研究院有限公司，四川 內江 641000)

水躍消能作為一種傳統消能方式在水利工程中得到了廣泛應用。到目前為止水躍大致可以分為A、B、C、D、E 和F 型，在反坡上形成的水躍稱為F 型水躍。Khader 等[1]認為反坡坡度大于?0.025 時，F 型水躍幾乎不可控。McCorquodale 等[2]利用閘門進行尾水控制，研究了反坡坡度為?0.10、?0.167 和?0.20 的F 型水躍，并提出了共軛水深比、漩滾長度和能量損失的經驗關系式。Abrishami 等[3]認為在弗勞德數小于9 時F 型水躍很難穩定。他們還發現，在相同的來流條件下，F 型水躍的共軛水深比和漩滾長度要小于平坡水躍。Pagliara 等[4]進行了一系列反坡上有檻和無檻F 型水躍的試驗測試，使反坡坡度從0 變化到?0.20，得出檻的存在穩定了F 型水躍，并提出了預測F 型水躍漩滾長度和共軛水深比的一般方程。從以往的研究來看，F 型自由水躍的躍前水深對共軛水深比的影響、反坡對能量損失的影響可以忽略不計，且經典水躍的能量損失大于反坡上水躍[5-7]。針對粗糙底板上的水躍，也進行了大量的研究[8-16]，粗糙底板的消力池減小了共軛水深和水躍長度，增加了消能率，最終可以降低消力池的造價。最近，Nikmehr 等[17-19]研究了反坡粗糙底板上的水躍水力特性，認為反坡粗糙底板對F 型水躍具有穩定作用并能有效減小水平漩滾長度、增加消能率。為了研究坡度和相對粗糙度對F 型水躍水力特性的影響，對具有較大坡度和弗勞德數的反坡正弦波形底板上的F 型水躍進行試驗測試，并將特征參數的觀測結果與平坡及反坡底板上的自由水躍進行對比分析。

1 試驗裝置和方法

所有試驗均在寬0.50 m、深0.60 m、長10 m 的矩形有機玻璃水槽中進行。一臺泵給水箱供水，并通過位于供水管路中的電磁流量計測量流量。來流從帶有20 cm 長有壓段的流線型閘板下進入反坡波形底板水槽，從而產生深度為y1的有壓均勻流。反坡正弦波形底板的水平長度為1.0 m，底板包括6 個坡度i（?0.02、?0.03、?0.04、?0.05、?0.07 和?0.10）。反坡正弦波形底板安裝在水槽內，波峰處于相同的傾斜水平。共有3 種波形板，正弦波形波長s 為68 mm，振幅t 分別為13、22 和34 mm。水平底板長3 m，與反坡底板相連。水槽采用平板閘門控制尾水深度。在所有試驗中都對尾水閘門開度進行了調整，使得F 型水躍的起始處位于進水口位置（圖1）。連接垂直壓力計且外徑為3.0 mm 的普朗特管用于測量邊界層厚度δ（斷面最大流速um所在的位置與底板之間的距離）和長度尺度b （當某點的時均流速u 等于其所在斷面最大流速um的一半時所對應的位置與底板之間的距離）。采用三維聲學多普勒測速儀（ADV）測量任意點的時均流速u，流速點沿水深的間距為1 cm。在水槽的垂直中心面上，測量了F 型水躍內部垂直于底板的若干條線上的流速沿水深分布。所有試驗均使用精度為0.1 mm 的測針來測量F 型水躍的水面線。由于水面有波動，每個斷面水深測量5 次并取平均值。用碎木屑來表現漩滾，漩滾末端到進水口的距離定義為漩滾長度Lr，漩滾末端處的水深為y2。共進行了57 次試驗，試驗主要參數見表1。波形板I 用于A、B、C、D、E、F 系列32 個試驗，波形板II 用于G、H 系列13 個試驗，波形板III 用于I、J 系列12 個試驗。F 型水躍起始處弗勞德數Fr=v1/(gy1)0.5范圍為5 到11，其中v1為水躍起始斷面的平均流速（即進水口平均流速），g 為重力加速度。如果弗勞德數Fr 過低，則由于反坡的影響可能無法形成自由水躍，本試驗并沒有選取形成自由水躍的最小弗勞德數作為范圍下限。雷諾數Re=v1y1/ν的范圍為63 500 到139 446，其中ν 為運動黏性系數。3 個相對粗糙度t/y1分別為0.51、0.87 和1.34。主干試驗（A2、B2、B4、B6、C5、D1、D3、D5、E1、F1、G4、H3、I3、J3）的測量數據包括水面線、水躍過程中幾個剖面的速度，在其余的試驗中，只進行了水面線和漩滾長度測量。

圖1 波形床上的F 型水躍示意Fig. 1 Schematic sketch of F-type jumps on sinusoidal-corrugated beds

表1 試驗主要參數Tab. 1 Main parameters of experiments

2 理論分析

對圖2 中的控制體利用積分動量方程可以得到反坡正弦波形底板上的綜合剪切應力Fτ：

圖2 F 型水躍的定義和控制體Fig. 2 Defining diagram and control volume for the F-type jump

式中：P1、P2、M1和M2分別為躍前和躍后斷面的壓力和動量通量積分； θ 為反坡的角度（tanθ=?i）；W 為單位寬度控制體中水的重量（圖2）。利用連續性方程v1y1=v2y2，方程(1)可以簡化成類似于Belanger方程的形式：

式中：Y 為共軛水深比；Gs為反坡水躍參數[2]。反坡水躍參數Gs為：

式中：γ 為水的重度；k 為形狀系數。由式(2)和(3)得：

由Rajaratnam[20]引入的綜合剪切力系數定義為ε=Fτ/(0.5λ)，則式(4)可簡化為如下形式：

3 試驗結果與分析

3.1 共軛水深比

McCorquodale 等[2]定義形狀系數k = SABCDE/SABDE，如圖2 中所示ABCDE 的面積顯然要大于梯形ABDE的面積。圖3 顯示k 值的范圍從1.07 到1.24 不等，而在反坡光滑底板上F 型水躍的形狀系數約為1.06[4]。從圖3 來看弗勞德數、反坡坡度及相對粗糙度對形狀系數均沒有顯著的影響。

如圖4 所示，與平坡光滑底板和反坡光滑底板（i=?0.10）相比，反坡波形底板上F 型水躍的共軛深度比要小，這意味著反坡波形底板有助于穩定F 型水躍的位置。圖5 為反坡水躍參數Gs與弗勞德數Fr 的變化關系。結果表明，反坡波形底板上F 型水躍的參數Gs小于平坡光滑底板及反坡（i=?0.10）光滑底板上的參數Gs[4]。通過試驗確定了Gs與Fr 之間的關系，該關系是反坡坡度i 和相對粗糙度t/y1的函數。回歸方程用計算式表示為：

圖3 形狀系數k 與弗勞德數Fr 的關系Fig. 3 Relation of shape factor k and Froude number Fr

將式（6）代入式（2）可得共軛水深比的經驗公式為：

圖4 共軛深度比Y 隨Fr 的變化Fig. 4 Variation of the sequent depths ratio Y with Fr

圖5 反坡水躍參數Gs 與弗勞德數Fr 的關系Fig. 5 Relationship of adverse jump parameter Gs and Froude number Fr

3.2 漩滾長度

漩滾長度Lr的觀測結果如圖6 所示。可見，反坡波形底板上F 型水躍的漩滾長度Lr/y1小于反坡光滑底板的(i=?0.167)[2]，比平坡光滑底板上的（i=0）減小約48%～62%[21]。這表明，反坡波形底板能夠有效地減少F 型水躍的漩滾長度，并且粗糙底板造成的阻力是漩滾長度減小的主要原因，但其對相對粗糙度的大小并不十分敏感。根據目前的試驗結果，得到反坡波形底板上F 型水躍漩滾長度Lr的經驗式為：

3.3 流速分布

為了驗證F 型水躍流速分布的相似性，以斷面最大速度um為速度尺度，測點流速u 等于最大流速一半的位置與底板線的距離b 為長度尺度，這些尺度曾被Wu 等[22]使用。圖7 顯示了主干試驗流速分布的相似性。從圖7 可以看出，速度分布并不完全相似，反坡坡度i 和相對粗糙度t/y1一定程度上影響了速度分布的相似性，與經典壁面射流的輪廓有些不同。當y/b≤0.2 時，u/um小于經典壁面射流的值；當0.2＜y/b≤1.0 時，u/um大于經典壁面射流的值；而當y/b＞1.0 時，u/um小于經典壁面射流的值，并且u/um=1.0 時，y/b 大于經典壁面射流的值，這說明反坡波形底板不僅可以有效減小共軛水深比和漩滾長度，而且可以改善流速分布，使斷面最大流速出現的位置更加遠離底板，減輕對底板的沖刷。結果還表明，當底板的相對粗糙度t/y1恒定時，沿流向的剖面速度分布基本相似，且流速分布對相對粗糙度比坡度更敏感。

圖6 漩滾長度Lr/y1 隨Fr 的變化Fig. 6 Variation of the roller length Lr/y1 with Fr

圖7 沿流向剖面速度的相似性Fig. 7 Forward-flow similarity of velocity profiles

反坡波形底板能夠改善流速分布，因此有必要對F 型水躍流速分布的均勻性進行討論。動量修正系數β 與斷面速度分布的均勻性密切相關，動量修正系數越接近1.0，斷面速度分布越均勻。

式中：V 為斷面平均流速；h 為測量斷面水深；沿斷面水深測點序號依次為1, 2, 3, ···, n；uj為j 點處的時均流速；由于流速測量點沿水深的間距相等，則有Δhj=h/n。圖8 為動量修正系數沿流向的變化情況。試驗結果表明，動量修正系數隨著F 型水躍的發展在x/Lr≤0.4 的范圍內沿程增加，而在0.4＜x/Lr≤1.2 的范圍內沿程減小，在x/Lr＞1.2 的范圍內，基本接近1.0，流速分布近似均勻。在x=0.4Lr斷面附近流速分布最不均勻，這是由于靠近漩滾中心的水流剪切作用較強，紊動劇烈，因此流速分布極不均勻。

圖8 動量修正系數β 隨x/Lr 的變化Fig. 8 Variation of β with x/Lr

由于當u/um=1.0 時y/b 大于經典壁面射流的值，因此有必要討論最大流速的衰減特性。圖9 為um/v1隨x/L 的變化，其中L 為um=0.5v1時距離水躍起始處的縱向距離。結果顯示其最大流速的衰減與平坡光滑底板上自由水躍的最大流速衰減略有不同[22]。當x/L≤1.0 時，衰減幾乎與壁面射流衰減曲線重合，且衰減速度快于平坡光滑底板上的自由水躍；而當x/L＞1.0 時，觀測結果介于自由水躍與壁面射流曲線之間，并且衰減速度略慢于自由水躍。從圖10 可以看出，與平坡波形底板上的自由水躍相比，反坡波形底板上F 型水躍的特征長度尺度L 減小約10%～30%，這表明反坡可以顯著減小水躍的沿流向特征長度，漩滾長度的試驗結果也證明了這一點。根據目前觀測結果描述長度L 的經驗式為：

圖9 最大流速um/v1 隨x/L 的變化Fig. 9 Variation of maximum velocity um/v1 with x/L

圖10 長度尺度L 隨Fr 的變化Fig. 10 Variation of length scale L with Fr

從圖11(a)可以看出，對于反坡波形底板上的F 型水躍，沿水深長度尺度b 比平坡光滑底板上自由水躍的長度尺度沿程增長更快。目前的觀測結果大致位于平坡光滑底板與平坡波形底板上自由水躍所得結果之間。由圖11(b)可知，相對粗糙度對邊界層厚度δ 的發展具有較顯著的影響。觀測結果顯示，相對粗糙度t/y1=1.34 時的邊界層厚度介于t/y1=0.51 和t/y1=0.87 時的邊界層厚度之間，這說明邊界層厚度并不是隨著相對粗糙度的增加而增加，相對粗糙度較大時反而阻礙了邊界層的發展。結果顯示反坡波形底板上相對粗糙度t/y1=0.51 時相對邊界層厚度δ/b 約等于0.31，而t/y1=0.87 和t/y1=1.34 時相對邊界層厚度δ/b 約等于0.41。值得一提的是對于經典壁面射流δ/b 約等于0.16，而對于平坡波形底板δ/b 約等于0.45[12]。這說明相對邊界層厚度δ/b 受相對粗糙度以及反坡坡度的共同影響。

圖11 長度尺度b 和δ 隨x/y1 的變化Fig. 11 Variation of b and δ with x/y1

3.4 壁面剪切應力

前人研究認為粗糙底板上水躍下游深度y2較小的主要原因是底板壁面剪切應力的增加[12]。由式(5)可計算得到與反坡波形底板所對應的綜合剪切應力系數ε 的值。如圖12 所示，反坡波形底板上綜合剪切應力系數ε 大約是其在平坡波形底板上的1.0～1.6 倍，并且大約是其在平坡光滑底板上的10～16 倍[12]。值得注意的是，目前的結果大約是其在坡度為i=?0.2光滑底板上的1.0～1.6 倍[2]。這說明底板相對粗糙度對綜合剪切應力系數有較為顯著的影響，而坡度的影響作用次之，總體而言，相對粗糙度和反坡坡度都能增加綜合剪切應力系數。

圖12 壁面切應力系數ε 隨Fr 的變化Fig. 12 Variation of shear force coefficient ε with Fr

3.5 能量損失

水力坡度是沿流向單位距離的水頭損失。水力坡度可定義為式J=(E2?E1)/Lr，E1和E2分別為F 型水躍躍前和躍后斷面的總水頭。圖13 為水力坡度J 隨Fr 的變化。從目前的試驗結果來看，坡波形底板上F 型水躍的水力坡度大約是其在平坡波形底板上的1.0～1.6 倍[12]，并且大約是其在平坡光滑底板上的1.7～2.5 倍[23]，同時比其在坡度為i=?0.1 光滑底板上的要大[2]。反坡波形底板不僅使其F 型水躍漩滾長度減少而且單位距離內的水頭損失也較大，這說明反坡波形底板能夠使F 型水躍在短距離內快速消能。根據目前觀測結果描述水力坡度J 的經驗式為：

反坡波形底板上F 型水躍的相對能量損失可定義為η=(E2?E1)/E1。如圖14 所示，反坡波形底板上F 型水躍的相對能量損失比平坡光滑底板上的自由水躍增加約5%～20%[23]，而且比其坡度i=?0.1 光滑底板上要大[2]。試驗結果顯示，其與平坡波形底板上的自由水躍的相對能量損失基本吻合[12]，這也印證了前人的結論，反坡對能量損失的影響可以忽略不計。

圖13 水力坡度J 隨Fr 的變化Fig. 13 Variation of hydraulic slope J with Fr

圖14 相對能量損失η 隨Fr 的變化Fig. 14 Variation of the relative energy loss η with Fr

4 結 語

本文主要研究了反坡正弦波形底板的坡度與相對粗糙度對F 型自由水躍水力特性的影響。基于弗勞德數從5～11 的變化范圍、相對粗糙度從0.51～1.34、反坡坡度從?0.02～?0.10 的一系列試驗結果，得出以下結論：（1）在所有的試驗中，F 型水躍形狀系數的范圍為1.07～1.24。（2）反坡波形底板有助于穩定F 型水躍的位置，并能有效減小F 型水躍的滾筒長度和共軛水深比。（3）坡度和相對粗糙度影響F 型水躍剖面速度分布的相似性以及沿水深長度尺度和邊界層厚度等的發展。（4）在距離漩滾長度40%處，斷面速度分布最不均勻；在距離水躍起始處1.2 倍的漩滾長度后，斷面動量修正系數基本上都接近1.0，斷面流速分布均勻。（5）反坡波形底板的綜合剪切力系數是平坡光滑底板的10～16 倍，增加了沿流向單位長度的消能率，因此比較適用于短距離快速消能。