從“動態量”與“不動量”的角度思考解析幾何的定值問題

李悅 陶軍

摘要：解析幾何定值問題是幾何中具有代表性的一類問題，同時也是學生解題的一個難點。正確審題并在限定的時間內找準方向，展開解答思路，是解答解析幾何題目的關鍵。如何入手，如何設解，如何快速運算，最終在有限的時間內為完成整題的解答，有效的找準解題思路，找準切入點就尤為重要。

關鍵詞：解析幾何 ?定值問題 ?變量處理 ?數形結合

解析幾何定值問題是幾何中具有代表性的一類問題，其本質是研究幾何圖形中的不變關系。研究的方法是先特殊情形猜出定值，再進行嚴謹的推理證明。在解決問題的過程中，需要挖掘幾何特征并對幾何條件恰當地代數轉化，而代數運算常常涉及多個變量的處理，對學生的綜合能力要求比較高。選擇恰當的變量，建立給定代數化的幾何關系和目標所求之間的聯系，這其中的核心便是研究對象間的位置關系，如果研究對象的位置關系確定了，就可以用代數的形式進行表達了;其次是對含字母的代數式進行運算和變形，需要不斷分析給定關系和目標之間的聯系，尋找運算的方向，選擇靈活的計算途徑，有效簡化運算進行求解，需要較高的數學運算素養和邏輯推理素養。解析幾何定值問題使學生經歷“猜想證明”、“探索實踐”“轉化和化歸”等問題研究的過程，鍛煉了學生的猜想證明科學素養、由特殊到一般、數形結合的基本思想方法和能力。

本文通過一道題目的解析，從“動態量”與“不動量”的角度，通過研究對象的位置關系，分析建構選擇合理變量的分析方法，由幾何與代數的合理轉化，表示目標解析式，根據目標尋找并優化計算方向等方法性知識，能夠從整體上把握解題的主干思路和局部內恰當的選擇運算方向，從而提升學生直觀想象、數學運算和邏輯推理等數學核心素養，這也符合高考數學北京卷試題解析幾何一貫秉持“多想少算”的理念，注重學生“動手嘗試、探索實踐”的能力和“先猜再證”的基本研究方法。

問題：已知橢圓C： ? 的上頂點為P，點A、B（A、B與點P都不重合）是橢圓C上關于 軸對稱的兩點，直線PA交 軸于點M，直線PB交 軸于點N，O為坐標原點，證明： 為定值。

環節一：猜想定值

分析：題中要求A、B為橢圓上不同于P的任意兩點，那么當A、B在什么位置時， 最容易得出？學生容易想出的是橢圓與坐標軸的交點，由于A、B兩點都不與點P重合，所以排除橢圓的下頂點。因此學生通過畫圖、觀察可以找到橢圓的左右頂點處。

預設：點A位于橢圓的左頂點，B為點A關于 軸的對稱點，此時B點與A點 重合，因此M點與N點重合。所以此時 ?，因此可以猜想 為定值8。同時教師還需總結：什么是特殊位置，點的特殊位置一般選取與坐標軸的交點，直線的特殊位置一般為平行或者垂直的情況。在特殊位置猜想出結果，一般情況需推理證明。

環節二：推理證明

問題2：根據題意，通過畫圖的過程，請你分析圖形中哪些量是動態的？哪些量是不動的（確定的）？

分析：學生繪圖，在繪圖的過程中再次理解題意，找到題目中的“動態量”和“確定量”。

確定量：橢圓方程已知，因此橢圓的軌跡是確定的;橢圓與坐標軸的交點坐標確定，即點P（0，2）是已知的;點A與點B的位置關系是確定。

動態量：由題意：點A、B是橢圓上與點P不重合的動點，可知直線PA、PB為動直線，進而兩條直線分別與 軸的交點M、N的位置即為不確定，M、N的位置不確定，計算 就存在困難。

在解決解析幾何問題時，學生往往是清楚基本方法的，即：（1）選擇適當的變量。（2）進行代數運算，整理所求的目標。但題目中不確定的量有那么多，到底應該選擇哪個變量是“適當”的變量呢？這恰恰是學生最困難的地方。這個困難突破的關鍵，是引導學生找到哪個變量是引起其他量改變的“源頭”呢？找到了變化的“源頭”，就可以抽絲剝繭，順藤摸瓜，理清整個解題思路。

在研究平面解析幾何問題時，要注重培養學生能夠根據問題的條件，讀出幾何對象的幾何特征的能力。在明確研究對象幾何特征的基礎上，再根據研究對象間確定的幾何關系，合理的設出參變量，列出簡易的思維簡圖：將幾何元素的代數化、研究對象之間位置關系的代數化、所求的目標代數化。

綜上所述，平面解析幾何這門學科研究的對象是直線、圓和圓錐曲線;“動”與“不動”是理解平面解析幾何問題的思維特征;研究幾何對象的幾何特征（性質與位置關系）是解決平面解析幾何問題的一般方法。

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