從“動(dòng)態(tài)量”與“不動(dòng)量”的角度思考解析幾何的定值問題

李悅 陶軍

摘要：解析幾何定值問題是幾何中具有代表性的一類問題，同時(shí)也是學(xué)生解題的一個(gè)難點(diǎn)。正確審題并在限定的時(shí)間內(nèi)找準(zhǔn)方向，展開解答思路，是解答解析幾何題目的關(guān)鍵。如何入手，如何設(shè)解，如何快速運(yùn)算，最終在有限的時(shí)間內(nèi)為完成整題的解答，有效的找準(zhǔn)解題思路，找準(zhǔn)切入點(diǎn)就尤為重要。

關(guān)鍵詞：解析幾何 ?定值問題 ?變量處理 ?數(shù)形結(jié)合

解析幾何定值問題是幾何中具有代表性的一類問題，其本質(zhì)是研究幾何圖形中的不變關(guān)系。研究的方法是先特殊情形猜出定值，再進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明。在解決問題的過程中，需要挖掘幾何特征并對(duì)幾何條件恰當(dāng)?shù)卮鷶?shù)轉(zhuǎn)化，而代數(shù)運(yùn)算常常涉及多個(gè)變量的處理，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求比較高。選擇恰當(dāng)?shù)淖兞浚⒔o定代數(shù)化的幾何關(guān)系和目標(biāo)所求之間的聯(lián)系，這其中的核心便是研究對(duì)象間的位置關(guān)系，如果研究對(duì)象的位置關(guān)系確定了，就可以用代數(shù)的形式進(jìn)行表達(dá)了;其次是對(duì)含字母的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算和變形，需要不斷分析給定關(guān)系和目標(biāo)之間的聯(lián)系，尋找運(yùn)算的方向，選擇靈活的計(jì)算途徑，有效簡(jiǎn)化運(yùn)算進(jìn)行求解，需要較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。解析幾何定值問題使學(xué)生經(jīng)歷“猜想證明”、“探索實(shí)踐”“轉(zhuǎn)化和化歸”等問題研究的過程，鍛煉了學(xué)生的猜想證明科學(xué)素養(yǎng)、由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的基本思想方法和能力。

本文通過一道題目的解析，從“動(dòng)態(tài)量”與“不動(dòng)量”的角度，通過研究對(duì)象的位置關(guān)系，分析建構(gòu)選擇合理變量的分析方法，由幾何與代數(shù)的合理轉(zhuǎn)化，表示目標(biāo)解析式，根據(jù)目標(biāo)尋找并優(yōu)化計(jì)算方向等方法性知識(shí)，能夠從整體上把握解題的主干思路和局部?jī)?nèi)恰當(dāng)?shù)倪x擇運(yùn)算方向，從而提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這也符合高考數(shù)學(xué)北京卷試題解析幾何一貫秉持“多想少算”的理念，注重學(xué)生“動(dòng)手嘗試、探索實(shí)踐”的能力和“先猜再證”的基本研究方法。

問題：已知橢圓C： ? 的上頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A、B（A、B與點(diǎn)P都不重合）是橢圓C上關(guān)于 軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線PA交 軸于點(diǎn)M，直線PB交 軸于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： 為定值。

環(huán)節(jié)一：猜想定值

分析：題中要求A、B為橢圓上不同于P的任意兩點(diǎn)，那么當(dāng)A、B在什么位置時(shí)， 最容易得出？學(xué)生容易想出的是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，由于A、B兩點(diǎn)都不與點(diǎn)P重合，所以排除橢圓的下頂點(diǎn)。因此學(xué)生通過畫圖、觀察可以找到橢圓的左右頂點(diǎn)處。

預(yù)設(shè)：點(diǎn)A位于橢圓的左頂點(diǎn)，B為點(diǎn)A關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)B點(diǎn)與A點(diǎn) 重合，因此M點(diǎn)與N點(diǎn)重合。所以此時(shí) ?，因此可以猜想 為定值8。同時(shí)教師還需總結(jié)：什么是特殊位置，點(diǎn)的特殊位置一般選取與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線的特殊位置一般為平行或者垂直的情況。在特殊位置猜想出結(jié)果，一般情況需推理證明。

環(huán)節(jié)二：推理證明

問題2：根據(jù)題意，通過畫圖的過程，請(qǐng)你分析圖形中哪些量是動(dòng)態(tài)的？哪些量是不動(dòng)的（確定的）？

分析：學(xué)生繪圖，在繪圖的過程中再次理解題意，找到題目中的“動(dòng)態(tài)量”和“確定量”。

確定量：橢圓方程已知，因此橢圓的軌跡是確定的;橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定，即點(diǎn)P（0，2）是已知的;點(diǎn)A與點(diǎn)B的位置關(guān)系是確定。

動(dòng)態(tài)量：由題意：點(diǎn)A、B是橢圓上與點(diǎn)P不重合的動(dòng)點(diǎn)，可知直線PA、PB為動(dòng)直線，進(jìn)而兩條直線分別與 軸的交點(diǎn)M、N的位置即為不確定，M、N的位置不確定，計(jì)算 就存在困難。

在解決解析幾何問題時(shí)，學(xué)生往往是清楚基本方法的，即：（1）選擇適當(dāng)?shù)淖兞俊＃?）進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，整理所求的目標(biāo)。但題目中不確定的量有那么多，到底應(yīng)該選擇哪個(gè)變量是“適當(dāng)”的變量呢？這恰恰是學(xué)生最困難的地方。這個(gè)困難突破的關(guān)鍵，是引導(dǎo)學(xué)生找到哪個(gè)變量是引起其他量改變的“源頭”呢？找到了變化的“源頭”，就可以抽絲剝繭，順藤摸瓜，理清整個(gè)解題思路。

在研究平面解析幾何問題時(shí)，要注重培養(yǎng)學(xué)生能夠根據(jù)問題的條件，讀出幾何對(duì)象的幾何特征的能力。在明確研究對(duì)象幾何特征的基礎(chǔ)上，再根據(jù)研究對(duì)象間確定的幾何關(guān)系，合理的設(shè)出參變量，列出簡(jiǎn)易的思維簡(jiǎn)圖：將幾何元素的代數(shù)化、研究對(duì)象之間位置關(guān)系的代數(shù)化、所求的目標(biāo)代數(shù)化。

綜上所述，平面解析幾何這門學(xué)科研究的對(duì)象是直線、圓和圓錐曲線;“動(dòng)”與“不動(dòng)”是理解平面解析幾何問題的思維特征;研究幾何對(duì)象的幾何特征（性質(zhì)與位置關(guān)系）是解決平面解析幾何問題的一般方法。

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