淺談數的整除性在小學數學中的應用

王佳佳

一、“數的整除性”的重要性

“數的整除性”在小學數學教學中是一個重要的基礎知識，說它重要是因為這部分知識所涉及的基本數學概念不僅多，而且相對集中，如果不能明確、清晰地掌握這些基本數學概念的區別和聯系，就會引起混淆，而混淆也必然給以后的數學知識的學習帶來嚴重的后遺癥。

二、整除的概念

（一）含義

如果一個整數a除以一個自然數b，商是整數而且沒有余數（或者說余數為零），就叫做a能被b整除，或者b整除a，記作a/b。這時a叫做b的倍數，b叫做a的約數。

由整數概念可知，整除必須同時滿足三個條件：（1）被除數是整數，除數是整數;（2）商是整數;（3）沒有余數。這三個條件只要有一個不滿足，就不能叫整除。

（二）整除與除盡的區別與聯系

整除和除盡是兩個既有區別又有聯系的概念，也是兩個易于混淆的概念。

“除盡”是指在除法中只要除到某一位時沒有余數，不管被除數，除數和商是整數還是小數，都可以說是“除盡”。“整除”是指在除法中只有被除數、除數和商都是整數的情況下，才可以說是“整除”。

“整除”是整數范圍內的除法，而“除盡”則不限于整數范圍，只要求余數為零。“整除”與“除盡”的區別和聯系在于“整除”也可以稱作“除盡”，但是“除盡”不一定是“整除”。“除盡”中包括了“整除”，“整除”只是“除盡”的一種特殊情況。

三、“數的整除性”性質及其應用

1.如果兩個整數a、b都能被c整除，那么a與b的和也能被c整除。

反之，如果整數a、b中，有一個數能被c整除，而其中一個數不能被c整除，那么a與b和就一定不能被c整除。

2.如果兩個整數a、b都能被c整除，那么a與b的差也能被c整除。

反之，如果整數a、b中，有一個數能被c整除，另一個數不能被c整除，那么a與b的差就一定不能被c整除。

3.如果整數a能被自然數c整除，那么a的倍數（整數倍）也能被c整除。

4.如果a同時被b與c整除，并且b與c互質，那么a一定能被積bc整除，反過來也成立。

5.如果a、b、c這三個數中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（這是整除的傳遞性）。

反之，如果a、b、c這三個數中，a與b或b與c之間只要出現一個不能整除的情況，a就一定不能被c整除。

四、“數的整除性”特征及其應用

1.個位數字是0、2、4、6、8的數都能被2整除;反過來，個位數字是1、3、5、7、9的數都不能被2整除。

2.個位數字是0或5的數都能被5整除;反過來，個位數字既不是0也不是5的數都不能被5整除。

3.末兩位數能被4或25整除的，這個數必能被4或25整除;反過來，末兩位數不能被4或25整除的，這個數必不能被4或25整除。

4.末三位數能被8或125整除的，這個數必能被8或125整除;反過來，末三位數不能被8或125整除的，這個數必不能被8或125整除。

5.各位數字之和能被3或9整除的數，本身也能被3或9整除;反過來，各位數字之和不能被3或9整除的數，本身也不能被3或9整除。

6.能被7（11或13）整除的數的特征：這個數的末三位數字所表示數與末三位以前的數字所表示的數之差（大減小）能被7（11或13）整除。

7.能被11整除的數的特征二：這個數的奇數的奇位數字之和與偶位數字之和的差（大減小）能被11整除。

8.能被11整除的數的特征三（割尾減尾法）：這個數除去個位數字之外，其余數位上的數字所表示的數與個位數之差被11整除。

9.“如果一個數能被互質的兩個自然數整除，那么他一定能被這兩個互質數的積整除”

五、“數的整除性”的應用

例一：從數字1、2、3、4、5中任意挑選四個數字組成能被5整除而各個數位上數字不同的四位數，共有多少個？

【分析與解答】因為組成的數能被5整除，所以挑選時5必須包括在內，其他四個數中任取三個，這樣共有四種不同的挑選方法：1、2、3和5，1、2、4和5，1、3、4和5，以及2、3、4和5.每種挑選方法5肯定在個位上，其余三個數字位置可以交換，能組成六個能被5整除的四位數，例如：1、2、3、5四個數字可組成1235、1325、2135、2315、3125和3215.因此四種選法可組成6×4=24個能被5整除的四位數。（答：共有24個。）

例二：三年級共有75名學生參加春游，交的總錢數為一個五位數“2□7□5”元，求每位學生最多可能交多少元？

【分析與解答】先求出滿足條件的最大五位數。75=25×3，則這個五位數是25和3的倍數。因為是25的倍數，所以十位為7或2，設千位為ⅹ，如十位為7，則使2+ⅹ+7+7+5=21+ⅹ為3的倍數的ⅹ最大為9，得此五位數為29775.如十位為2，則使2+ⅹ+7+2+5=16+ⅹ為3的倍數的ⅹ最大為8，得此五位數為28725.所以，滿足題意的最大五位數為29775（答：每位學生最多可能交29775÷75=397）

例三：有一個能同時被2、3、5整除的數，已知這個數的各個數位上的數字加在一起是12，那么，這個數的個位上的數字是多少？

【分析與解答】能被5整除，個位只能是5、0;又能被2整除，則個位只能是0;又因其他位數字的和為12，所以肯定能被3整除。（答：這個數的個位上的數字是0.）

例四：一個兩位數或三位數，是11的倍數，且它的各位數字和為17，這樣的數最大是多少？

【分析與解答】若是兩位數，必為“ⅹⅹ”型，2ⅹ=17，則ⅹ=8.5（舍去）;如為三位數“abc”，則a+c-b=11，a+b+c=17，得b=3，a+c=14，“a最大為9，c就為5，所以935為最大數。”

結論：

數的整除性應用是比較困難的一個考查點，現在它不僅是小學數學中的重點，還是數學競賽中的重點，所以想要更好地應用在小學數學中，就應該讓學生理解和掌握“數的整除性”在小學中常用的一些性質和特征。

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