基于統計損傷理論的混凝土應力應變行為

白衛峰， 沈鋆鑫， 管俊峰， 苑晨陽， 徐存東

(1.華北水利水電大學 水利學院, 河南 鄭州 450046;2.河南省水工結構安全工程技術研究中心, 河南 鄭州 450046)

混凝土材料廣泛應用于復雜工作環境下的各種結構，導致新的工程力學問題不斷出現[1-2].準確把握復雜荷載環境下混凝土材料強度與變形破壞規律，是進行混凝土結構安全性和穩定性評價的理論基礎.隨著混凝土材料科學的迅速發展，各類新型混凝土不斷涌現，任何一種摻和料的添加都會對混凝土力學性能產生顯著影響，在邏輯上已構成組合爆炸問題.耗費大量人力、物力建立起來的經驗性本構關系，會因為混凝土中某一組分的添加或缺失而失去用處[3].從本質上說，混凝土復雜的力學行為均由材料細觀組成的異質性和細觀損傷演化的非均質性所引起，該過程涉及宏-細-微觀多個尺度上無序非均勻性的跨尺度耦合.要建立科學合理的混凝土本構模型，必須深刻理解材料的細觀損傷演化機制和規律，這已成為制約混凝土損傷力學進一步發展的瓶頸.

近年來，以協同學、突變論為代表的現代非線性科學為人們重新認識混凝土等準脆性材料的變形破壞過程提供了新的思路和方法.白以龍等[4-5]研究發現：非均質固體受載變形破壞實際上是一個損傷演化誘致災變的過程，而災變破壞通常由變形和損傷的局部化發展所觸發；同時基于力學、統計物理學和非線性科學，進一步提出了損傷演化誘致災變理論，并通過跨尺度分析方法將材料的微結構效應與宏觀力學行為聯系起來.固體災變破壞研究的熱點一方面集中于對損傷演化過程及機理的認識和理解，另一方面在于探索誘發災變破壞的前兆特征.紀洪廣等[6]利用突變理論建立了聲發射參數的灰色尖點突變模型，對混凝土單軸壓縮過程的聲發射參數進行了突變分析.荊昱等[7]利用協同學對混凝土損傷過程的聲發射現象進行研究，并分析了聲發射事件的混沌效應.細觀統計損傷力學是近年來損傷力學研究的熱點[3-5，8-12]，該類模型將固體材料抽象為由細觀物理元件組成的復雜系統，通過假設細觀單元強度服從某種統計分布而引入材料的細觀非均質性，探討其細觀損傷機制與宏觀非線性力學行為之間的聯系.白衛峰等[8-12]結合突變理論和細觀統計損傷理論，建立了考慮細觀斷裂和屈服2種損傷模式的混凝土統計損傷模型，將混凝土理解為具有自組織行為的復雜系統，其變形破壞過程是該系統通過“損傷”(微裂紋萌生、擴展)方式，使混凝土的潛在承載能力進一步釋放以“適應”外界荷載環境的過程.

正確理解和把握細觀損傷機制是建立科學合理的本構模型的關鍵，單軸拉伸、壓縮是混凝土最基本的2種變形破壞模式.本文基于統計損傷理論，分析了混凝土單軸變形破壞過程細觀損傷機制與宏觀非線性應力-應變行為之間的內在聯系，建立了考慮強度等級影響的混凝土統計損傷模型，并分析強度等級對混凝土細觀損傷機制的影響規律.文中以受拉為正、受壓為負.

1 理論基礎

1.1 損傷演化誘致災變理論

白以龍等[4-5]提出了損傷演化誘致災變理論，認為非均質固體介質的變形破壞過程實質上是一個損傷演化誘致災變的過程，可分為整體穩定(GS)和演化誘致災變(EIC)2種模式，將整個過程分成分布式損傷和局部災變2個階段.在由微損傷演化累積引起固體介質最終斷裂破壞的過程中，GS模式向EIC模式轉變的臨界狀態具有關鍵意義，存在敏感性特征.當系統臨近災變破壞時，許多與內部損傷相關的物理信號，如變形、電信號、聲發射信號、電磁信號等會呈現冪律等異常行為，進而實現從分布式損傷到局部災變破壞的轉變.災變前兆的研究是近年來研究者關注的熱點，白以龍等[4-5]指出臨界敏感性、跨尺度漲落和損傷局部化是觸發災變破壞的共性前兆特征.

局部化是準脆性固體損傷演化誘致宏觀破壞的普遍現象，初始階段的隨機損傷會逐漸集中到一個很窄區域.破壞階段的局部化行為加深了變形破壞問題的復雜性和預測難度，難以再用整體平均量統一表示.郝圣旺[13]通過微擾分析法確定了材料系統發生微擾失穩的條件：

(1)

式中：σ、ε分別為材料的名義應力、應變.

式(1)表明，在峰值名義應力后，材料系統的均勻變形和損傷場將可能在微小擾動下發生失穩而向損傷局部化階段轉變.

1.2 損傷基本假定

混凝土等準脆性材料在受載變形破壞過程中，微結構內部存在2種作用機制：

(1)劣化效應.微裂縫萌生、擴展、成核和貫通，期間伴隨著微結構的聲發射現象.劣化效應被作為傳統損傷力學的物理基礎.

(2)強化效應.在受力初期，材料微結構的受力骨架并非最優.伴隨著微裂紋的萌生和擴展，材料微結構中的薄弱部位陸續退出受力狀態，受力骨架通過應力重分布的方式得以進一步優化調整，材料潛在的承載能力得到進一步發揮，從而能夠承受更大的外界荷載(有效應力).當材料微結構的有效受力骨架調整到最優，不能再承受更大的有效應力時，隨即進入局部災變過程.該機制通常被傳統損傷力學所忽視.

以往研究者對準脆性材料的局部化轉變點(臨界狀態)討論很多，郝圣旺[13]、Wawersik等[14]、張曉君[15]指出，巖石類材料的局部化發生在峰值名義應力之后的軟化段上.在混凝土材料方面，李杰等[3]、Van Geel[16]分別在混凝土單軸拉伸、壓縮試驗中觀測了變形(損傷)局部化現象，發現局部化的轉變點均滯后于峰值名義應力，位于應力-應變曲線的軟化段上.一些研究者分別在混凝土單軸拉伸[3,17]、單軸壓縮[6,18]試驗中觀測了與微裂紋擴展過程密切相關的聲發射現象，發現聲發射能量率的演化過程呈現典型的突變特征，且峰值突變點一般位于峰值名義應力之后.

上述現象可從有效應力的角度解釋：有效應力最大值與名義應力最大值并非同時發生，而是相對滯后；當有效應力達到最大值時，將會觸發相關物理參量的臨界敏感性和損傷局部化現象.有效應力σE反映了材料真實的受力狀態，則式(1)可修正為如下形式：

(2)

2 混凝土單軸應力-應變行為

2.1 單軸拉伸

2.1.1細觀損傷機制與宏觀本構行為

圖1為混凝土單軸拉伸變形破壞過程，可分為均勻損傷和局部破壞2個階段，包含A、B、C 3種典型狀態，其中A為比例極限狀態.將拉伸方向記為1方向，對應的名義應力和有效應力分別為σ1，A、σ1，B、σ1，C和σ1E，A、σ1E，B、σ1E，C；q(ε1)和p(ε1)分別表示與混凝土細觀斷裂、屈服損傷對應的概率密度函數；D1R為與細觀斷裂相關的損傷變量；εat為初始損傷應變；εht為與p(ε1)峰值對應的應變；εbt為最大屈服損傷應變，同時為與q(ε1)峰值對應的應變；ε1cr為臨界狀態應變，滿足ε1cr=εbt.

圖1 混凝土單軸拉伸變形破壞過程

由于細觀組成的非均質性，混凝土內部各部位受力狀態是不同的.在受力初期，微結構中受力骨架并未達到最優，某些強度高的部位甚至可能沒有參與受力.隨著拉伸變形的增大，首先在骨料和砂漿交界面等薄弱部位隨機產生一系列微裂紋，走向大致垂直于拉力方向.在此過程中，伴隨著薄弱部位逐步退出受力，應力重分布得以實現，較強的部位更多地參與受力，一些初期未參與受力的部位陸續補充到受力骨架中.通過上述方式，微結構有效受力骨架得以進一步優化調整，進而獲得與每個受力狀態相匹配的承載能力.

從初始受力到加載到C狀態的過程(O→A→B→C)中，一方面，微裂紋在試件內部雜亂無序地萌生和擴展，微裂紋密度逐漸增大；另一方面，微結構中受力骨架得以進一步優化調整，在每個增量狀態均能處于受力平衡.σ1E單調增大，σ1先增大后減小，在B狀態達到最大值σ1，B.C狀態下，受力骨架調整到最優，承載能力達到極限，有效應力達到最大值σ1E，C；微裂紋在整個試件范圍內隨機產生，整體上處于均勻損傷變形狀態.

C狀態后，材料系統無法再通過微裂紋擴展的方式來獲得更大的承載能力，隨即進入以損傷和變形局部化為特征的破壞階段.在斷裂過程區(FPZ)內，損傷進一步加劇，形成單一的宏觀主裂紋，而其余部位則出現卸載回彈現象.對應的軟化段曲線存在明顯的尺寸效應，不能被看作是純粹的材料屬性.定義C狀態為臨界狀態，B狀態為峰值名義應力狀態.以C狀態為界，均勻損傷階段體現了損傷演化累積由量變到質變的過程；在局部破壞階段的局部化行為不能再用整體平均量統一表示.

2.1.2統計損傷本構模型

白衛峰等[8-9]建立了修正平行桿模型(IPBS)用于模擬混凝土單軸拉伸變形破壞過程.該模型考慮細觀斷裂和屈服2種損傷模式，分別與微結構的“劣化”和“強化”效應相對應，可分別用微桿件的斷裂和屈服表征；通過賦予微桿件隨機的斷裂和屈服強度引入材料的細觀非均質性.混凝土宏觀非線性的應力-應變行為由細觀斷裂和屈服2種損傷模式的演化過程控制(見圖1(b)).統計損傷本構關系可表示如下：

σ1=E0(1-D1y)(1-D1R)ε1

(3)

σ1E=E0(1-D1y)ε1

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

上述式中：E0為初始彈模；D1y為與屈服損傷相關的損傷變量；E1v為與細觀屈服損傷相關的強化因子，表征微結構受力骨架優化調整及潛在承載能力發揮的程度，當E1v=0時，對應初始無損傷狀態，E1v=1時，對應臨界狀態，此時模型中所有微桿件全部屈服，受力骨架調整至最優，σ1E達到最大值，即將進入局部破壞階段；Ht=D1R(εbt)，為與臨界狀態對應的斷裂損傷值.

真實情況下，p(ε1)和q(ε1)可能服從Weibull、正態等復雜的概率分布形式.為簡化分析，已有研究表明[8-12]，當其采用簡單的三角形概率分布時，就能很好地擬合混凝土單軸應力-應變曲線，并能反映其細觀非均質的損傷演化機制.假設p(ε1)和q(ε1)均服從三角形分布形式(見圖1(b))，其中q(ε1)的分布形態可從聲發射試驗結果獲得依據.聲發射現象與材料內部微裂紋擴展過程密切相關，反映了混凝土內部損傷演化過程.李杰等[3]針對混凝土單軸拉伸過程開展的聲發射試驗結果顯示，聲發射能量率的演化過程具有典型的突變特征，與圖中q(ε1)的概率分布形態是相似的.對于均勻損傷階段，p(ε1)和q(ε1)可進一步表示為式(8)、(9).

2.2 單軸壓縮

2.2.1細觀損傷機制與宏觀本構行為

圖2為混凝土單軸壓縮變形破壞過程，可分為均勻損傷和局部破壞2個階段，包含A、B、C、D 4種典型狀態，其中A為比例極限狀態.將壓縮方向記為3方向，兩側向為1、2方向，則壓縮方向對應名義應力和有效應力分別為σ3，A、σ3，B、σ3，C、σ3，D和σ3E，A、σ3E，B、σ3E，C、σ3E，D.

圖2 混凝土單軸壓縮變形破壞過程

由于泊松效應的影響，混凝土試件在1、2兩側向產生橫向拉應變.當某些薄弱部位局部拉應變超過極限拉應變時將導致局部微裂紋的產生，微裂紋最先在骨料和砂漿交界部位產生和擴展，走向大致平行于壓力方向，微裂紋密度隨著壓力的增大逐漸增加.

從初始受力到加載到C狀態的整個過程(O→A→B→C)中，材料系統能夠通過微裂紋隨機萌生和擴展這種方式實現應力重分布，促進受力骨架優化調整并獲得更大的承載能力，在每個變形增量狀態均能夠達到受力平衡.σ3E單調增大，C狀態下受力骨架調整至最優，達到最大值σ3E，C；σ3先增大后減小，在B狀態達到最大值σ3，B.微裂紋在整個試件范圍內隨機萌生和擴展，可近似地認為處于均勻損傷變形狀態.

C狀態之后，材料系統達到微擾失穩的條件，將會觸發變形和損傷局部化，隨即進入破壞階段.在局部壓縮破壞區域(CFZ)內損傷進一步加劇，出現局部鼓脹并逐漸形成一系列平行于壓力方向的縱向宏觀裂縫；在D狀態進一步形成傾斜剪切裂縫帶；其余部位則出現卸載回彈現象.對應的名義應力-應變曲線存在明顯的尺寸效應.分別定義B狀態和C狀態為峰值名義應力狀態和臨界狀態.

Van Geel[16]在混凝土單軸壓縮試驗中，沿試件高度方向布置一系列應變片，同時借助高速攝像機觀測了試驗過程中的損傷局部化現象.試驗結果明確顯示，混凝土損傷局部化現象并非出現在峰值名義應力狀態，而是相對滯后，位于應力-應變曲線下降段的“陡峭”段上，且該位置與混凝土強度、骨料粒徑、水灰比等多種因素相關.上述現象同樣可以從有效應力的角度進行解釋.

2.2.2統計損傷本構模型

混凝土單軸壓縮本質為三維空間的損傷演化過程，壓縮方向損傷由泊松效應引起的側向拉損傷過程控制，可由IPBS模擬[10-11].

σ3=E0(1-D3y)(1-D3R)ε3

(10)

σ3E=E0(1-D3y)ε3

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：D3y為與屈服損傷相關的損傷變量；E3v為強化因子，0～1；Hc=D3R(εbc)，為與臨界狀態對應的斷裂損傷值.

2.3 強度等級的影響

按照統計損傷理論的觀點，混凝土材料宏觀非線性應力-應變行為由細觀非均質的損傷演化過程決定.不同強度等級的混凝土采用不同的配合比制備而成，導致其微結構的組成和力學性能存在顯著差異.與之相對應，不同強度等級混凝土在受載過程中微裂紋萌生、擴展的形態及規律也存在顯著不同.

以單軸拉伸為例，上述細觀層面影響可用2類特征參數進行表征：(1)E0，表征微結構組成對混凝土初始力學性能的影響；(2)εat、εht、εbt和Ht，分別表征細觀屈服和斷裂2種損傷模式演化過程對應的三角形概率分布形態，反映微結構特征對損傷累積演化過程的影響.假設不同強度等級混凝土對應的微結構特征和細觀損傷演化過程的變化服從某種規律性(見圖3)，則可將E0、εat、εht、εbt和Ht看作是混凝土強度等級fcu,k的函數，即：

圖3 混凝土強度等級對細觀損傷演化機制的影響

(17)

可通過上述參數變化規律來分析強度等級對混凝土單軸拉伸細觀損傷演化過程的影響.單軸壓縮條件下可得到類似的結論，即將E0、εac、εhc、εbc和Hc看作是fcu,k的函數.

每條單軸拉伸或壓縮應力-應變曲線需確定5個參數.其中：E0由試驗曲線獲得；εat、εht、εbt、Ht或εac、εhc、εbc、Hc這4個參數可利用Matlab遺傳算法模塊通過多元回歸分析確定[12].具體步驟為：(1)創建包含4參數的適應度函數，以應力預測值與實測值離差的最小平方和作為優化判據；(2)初設4個參數取值區間；(3)執行遺傳算法，獲得本次迭代計算最優解，再根據結果調整和縮小參數搜索區間范圍；(4)重復執行第(3)步，直至獲得參數最優解.

3 驗證與分析

GB 50010—2010《混凝土結構設計規范》推薦了混凝土單軸拉伸/壓縮應力-應變全曲線本構關系式.該關系式是在總結了大量試驗成果的基礎上獲得的經驗表達式，能夠反映不同強度等級(C20～C80)混凝土主要的單軸受力和變形特征，在工程實踐中得到了廣泛的應用.利用本文模型對GB 50010—2010建議的混凝土應力-應變曲線進行預測，以驗證模型的合理性和適用性，并分析混凝土單軸拉伸/壓縮過程的細觀損傷演化機制.E0按上述規范取值，ν=0.2；其余計算參數見表1.

3.1 單軸拉伸

圖4為本文模型預測的C20～C80混凝土單軸拉伸均勻損傷階段對應的名義應力-應變曲線及其有效應力-應變曲線.由圖4和表1可見，本文模型預測曲線與規范建議曲線吻合良好，兩者之間的相關系數R2均在0.99以上.在均勻損傷階段，名義應力σ1先增大后減小，中間存在一個峰值名義應力狀態(強度狀態)；有效應力σ1E單調增長，在臨界狀態達到最大值；臨界狀態之后，試件隨即進入以宏觀裂紋擴展為特征的局部破壞階段.

表1 計算參數

圖4 單軸拉伸應力-應變曲線

圖5比較了C20～C80混凝土單軸拉伸臨界狀態和峰值名義應力狀態的關系，其中臨界狀態應力與峰值名義應力之比σ1,cr/σ1,p的變化范圍為0.79～0.93，應變比ε1,cr/ε1,p的變化范圍為1.24～1.33；從曲線形狀看，臨界狀態位于名義應力-應變曲線軟化段的2階拐點附近，采用該狀態能夠充分考慮混凝土材料均勻損傷階段的延性，并能夠在曲線上升段和下降段的損傷演化過程之間建立起有效的聯系.

圖5 單軸拉伸臨界狀態與峰值名義應力狀態比較

圖6顯示了C20～C80混凝土單軸拉伸過程中表征屈服損傷的特征參數εat、εht和εbt隨fcu,k的變化規律.由圖6可見，隨著混凝土強度等級的提高，上述參數的變化表現出明顯的規律性.εat、εht和εbt分別由C20時對應的37.763×10-6、74.841×10-6和110.779×10-6單調增大到C80時對應的71.014×10-6、136.673×10-6和152.989×10-6，其中εat呈線性增長趨勢.根據上述3參數可確定函數p(ε1)三角形概率分布形態的演化規律.

圖6 εat、εht、εbt與fcu,k的關系曲線

圖7顯示了表征斷裂損傷的特征參數Ht隨fcu,k的變化規律.由圖7可見，隨著混凝土強度等級的提高，Ht由C20時的0.163線性增大到C80時的0.351.通過回歸分析，可得到圖6、7中4個參數隨fcu,k變化規律的表達式，其中x=fcu,k.

圖7 Ht與fcu,k的關系曲線

上述特征參數具有明確的物理含義，可用于分析不同強度等級混凝土單軸拉伸過程中細觀損傷演化機制與宏觀非線性力學行為之間的內在聯系.

圖8顯示了強化因子E1v的演化曲線.E1v與屈服損傷有關，反映了混凝土微結構受力骨架優化調整的程度.在均勻損傷階段，E1v變化范圍為0～1，在整個過程中起決定性作用.由圖8可見，混凝土強度等級的提高顯著延緩了E1v的演化進程.從變形的角度分析，在相同應變情況下，混凝土強度等級越高，其微結構受力骨架優化調整的程度越低.因此，強度等級高的混凝土臨界狀態相對滯后，導致其變形能力有所提高.當E1v=1時達到臨界狀態，意味著微結構有效受力骨架調整到最優，材料潛在承載能力發揮到極限，試件隨即進入以損傷局部化為特征的破壞階段.

圖8 E1v演化曲線

圖9顯示了斷裂損傷變量D1R的演化曲線.D1R與微裂紋密度相關，反映了微裂紋萌生、擴展的過程.由圖9可見，在相同應變情況下，混凝土強度等級越高，D1R值越小，即微裂紋密度越小.但由于高強度混凝土的臨界狀態相對滯后，導致臨界狀態對應的D1R值隨著強度等級的提高而增大，由0.163增大到0.351；微裂紋密度仍然維持在較小的程度.

圖9 D1R演化曲線

3.2 單軸壓縮

圖10顯示了本文模型預測的C20～C80混凝土單軸壓縮均勻損傷階段對應的名義應力-應變曲線及其有效應力-應變曲線.由圖10和表1可見，本文模型預測曲線與規范建議曲線吻合良好，兩者之間的相關系數R2均在0.99以上.在均勻損傷階段，σ3先增大后減小；σ3E單調增長，在臨界狀態時達到最大值.

圖10 單軸壓縮應力-應變曲線

圖11比較了C20～C80混凝土單軸壓縮臨界狀態和峰值名義應力狀態的關系，其中應力比σ3,cr/σ3,p的變化范圍為0.66～0.97，應變比ε3,cr/ε3,p的變化范圍為1.29～1.63.為充分考慮混凝土材料的延性，同時避免局部破壞階段尺寸效應的影響，Xiao等[19]提出將單軸壓縮應力-應變曲線下降段對應應力為0.85σ3,p的狀態定義為極限狀態.本文模型中的臨界狀態與該極限狀態的定義類似.

圖11 單軸壓縮臨界狀態與峰值名義應力狀態比較

圖13顯示了表征斷裂損傷的特征參數Hc隨fcu,k的變化曲線.由圖13可見，隨著混凝土強度等級的提高，Hc由C20時的0.094增大到C80時的0.506.通過回歸分析，可得到圖12、13中4個參數隨fcu,k變化規律的表達式，其中x=fcu,k.

圖12 εac、εhc、εbc與fcu,k的關系曲線

圖13 Hc與fcu,k的關系曲線

圖14顯示了強化因子E3v的演化曲線.在均勻損傷階段，E3v變化范圍為0～1.由圖14可見，混凝土強度等級的提高顯著延緩了E3v的演化進程，臨界狀態相對滯后，導致其在均勻損傷階段的變形能力有所提高.臨界狀態對應的壓應變ε3由C20時的-1.679×10-3增大到C80時的-2.937×10-3.

圖14 E3v演化曲線

圖15顯示了斷裂損傷變量D3R的演化曲線.由圖15可見，隨著強度等級的提高，混凝土的初始損傷應變逐漸增大，D3R的增長速率明顯加快；同時由于均勻損傷階段混凝土的延性逐漸增大，導致臨界狀態對應的D3R值由0.094增大到0.506.

圖15 D3R演化曲線

白衛峰等[9,12]利用統計損傷模型對硫酸鹽侵蝕環境以及動態應變率下混凝土單軸非線性應力-應變行為進行了分析，揭示了混凝土的細觀損傷演化機制與宏觀非線性本構行為之間的內在聯系，表明了該方法的合理性和有效性.

4 結論

(1)混凝土材料變形破壞是一個損傷累積演化誘致局部災變的2階段過程.在損傷累積階段，微結構內部存在“劣化”和“強化”2種作用機制；其中“強化”機制反映了應力重分布和受力骨架的優化調整，以及材料潛在承載能力的進一步釋放過程.本文詳細描述了混凝土單軸拉伸、單軸壓縮變形破壞過程中細觀損傷機制與宏觀非線性應力-應變行為之間的內在聯系，強調了細觀“強化”機制在整個過程中起到關鍵作用.

(2)本文建立了考慮強度等級影響的混凝土單軸拉伸、壓縮統計損傷模型，該模型考慮細觀斷裂和屈服2種損傷模式，分別與“劣化”和“強化”機制對應；同時利用本文模型預測規范建議的C20～C80混凝土單軸拉伸、單軸壓縮應力-應變曲線.結果表明：隨著混凝土強度等級的提高，表征細觀斷裂和屈服損傷演化過程的特征參數表現出明顯規律性的變化趨勢；混凝土宏觀非線性應力-應變行為由細觀損傷演化機制決定.區分峰值名義應力狀態和臨界狀態，將后者作為損傷局部化和災變破壞的前兆，能夠在名義應力-應變曲線上升段和下降段的損傷演化過程之間建立起有效的聯系.