基于HPM視角的弧度制概念微專題研究

福建省三明市第九中學 唐 震

第二屆國際數學教育大會成立“數學史與數學教學關系國際研究小組”（即廣為人知的“HPM”）以來，高中數學課堂開始關注如何在課堂教學中融入數學史等研究。數學史即數學的歷史，融入數學課堂教學中，不僅為數學而歷史，更是為教育而歷史。基于HPM的視角將數學史引進教學，能讓同學們從歷史的角度看待某個數學問題的提出、數學知識的生成、數學理論的應用等。教師如果使用HPM引導學生學習知識，能讓學生更加深入地理解探索數學知識的意義、拓展數學知識系統的關系及人們逐步完善數學知識網絡的方式方法。如果教師能夠引導學生以HPM的視角縱深挖掘某個數學知識，學生將會以該數學知識為中心，形成一套完善的數學知識系統。HPM是數學史和數學教育的結合體，研究該教學模式是有必要的，但是作為教育框架下的HPM，總是從較為宏觀的視角來研究它，這會使HPM的研究在模式框架、理論建構和方法論上略顯薄弱。因此，將微觀視角的研究理論及研究方法和HPM結合，將會使研究更具活力。目前，有許多教師認識到數學史的教育價值，但是對如何在課堂教學中融入數學史卻比較茫然，更沒有什么融入模式。為了更好地借鑒數學知識的發生和演變發展，再現歷史上的數學思想構建和生成方法，下面以“弧度制概念”一節HPM微專題課例為例進行闡釋。

一、HPM視角下再現史上問題，追求數學本質

弧度制的本質是用線段的長度來度量角的大小，弧度的引入實現了度量的統一，三角函數的自變量和函數值就可以進行運算，豐富了初等函數的應用。

二、引入知識的歷史發展演變，構建數學理解

通過引入數學符號發展演變的歷史，有助于學生深度理解所研究的符號單位。據史料記載，過去數學家在定義正余弦函數、正切函數之后多年才提出弧度的定義，“弧度（radian)”這個數學符號，是由愛爾蘭數學家詹姆斯·湯姆森（James Thomson）于1875年首創，由半徑和角即radius和angle兩個英文單詞拼接而成。1935年，我國把弧度radian翻譯為“弳”，即弧和徑兩個字合成，可以理解為弧長和半徑一同決定圓心角的弧度。1956年，全國科學技術名詞委員會所編《數學名詞》廢除了這個字，用“弧度”替代。歷史上，弧度的符號歷經多次變換。1881年，數學家霍斯特德采用p表示弧度單位；1909年，數學家霍兒用R來表示弧度單位；1907年，數學家鮑爾用r表示弧度單位；1925年，數學家蘭尼所著的《平面三角》還使用T°表示弧度單位。最近三十年以來，數學家為了方便書寫和計算，已經把表示弧度的符號省略不寫，所以，在課堂教學中，教師一定要強調：弧度和角度一樣，都是角的度量單位，切不可認為省略單位符號后，等同于相應的實數，就如2弧度不等于實數2。

三、探索數學知識的發展演變，完善數學體系

四、數學史融入課堂教學，開發數學覺悟

引入HPM能讓教師的教學目標更明確，教學內容更有針對性，培養學生追尋科學和探索真理的精神，激發學生學習數學的興趣，培養學生數學學科核心素養。數學課堂教學弧度制中常存在誤區，認為弧度制的引入是為了使三角函數的自變量和實數建立一一對應關系，這樣使用弧度制可簡化計算，如求圓弧長只要將弧所對圓心角的弧度數乘以半徑即可。其實不盡如此，三角函數的自變量既可以認為是角也可以認為是實數。當然，并不是只有引入了弧度制，才把三角函數的自變量解釋成實數。有了數學史觀點的弧度制，角的表示可以很自然地與數軸上的實數建立對應關系。誠然，無論采用十進制還是六十進制，角的集合都可以和實數集建立起一一對應的關系。例如，在角度制下任意給出一個大小為x0的角，其度數x和實數x對應。反之，任意一個實數y，由于旋轉是連續的，可以取y0的角與之對應。用這樣的觀點，三角函數仍然是實數的函數，因此，角的集合和實數集合產生一一對應關系的核心并非弧度制。從整體上看，經過HPM視角下的弧度制概念教學，學生對弧度制概念的理解水平大大提升。HPM視角下的弧度制概念教學對學生理解與掌握知識經歷了弧度制因度量統一的需要而產生，弧度制數學符號發展演變的歷史重現，深刻構建弧度制概念的理解等不斷完善和抽象的過程。

綜上所述，隨著數學史融入數學課堂教學得到越來越多教育專家的認可，需要更多的課堂教學比對評價研究，通過統計學數據說明數學史在教育教學中的作用。在HPM的視角下，數學概念教學的課堂效果評價方面，可以通過劃分數學概念的歷史發展階段定制學生數學概念理解水平，從而編制適當的問卷以及訪談提綱，檢查學生理解水平的變化并探明其影響因素，最后建立依托實證研究的HPM視角下數學概念教學的課堂評價效果評價體系。教學引導學生以HPM的視角看待數學知識，并不僅僅純粹地讓學生了解數學史，更是要讓學生從歷史的角度深刻地了解數學知識的產生，深入地探索數學知識的發展演變，完善數學知識體系；讓學生深入地掌握數學知識后，能夠以這個數學知識為基點自主地探究與之相關的數學知識。通過HPM視角下高中數學教學中的探索和實踐，摸索融入數學史形成融通式、浸潤式和創生式教學等課堂教學模式，在教學中深度融合數學史，引導學生進行數學建模，構建和完善教師和學生的數學知識系統，能夠培養學生追尋科學和真理的精神，激發學生學習數學的熱情，提升學生認知新事物的能力。