立足幾何特點，分步突破圓錐曲線教學

福建省三明市第九中學 陳彬彬

圓錐曲線含有數形特點，是高中考試重要內容，教師教學設計和組織時，要有分步突破的意識，從結構分析、方法推送、活動解析、訓練設計等多個角度展開操作，以有效突破。圓錐曲線問題解決方案眾多，教師借助幾何意義進行拆分設計，利用曲線定義和平面幾何的相關結論展開求解活動，能夠給學生提供更多直觀解讀的機會。圓錐曲線分步突破步驟設定可以從幾個角度展開規劃：根據題意繪制圖像，分解歸類幾何圖形；構建幾何模型，深度發掘幾何條件；歸結構建思路，從函數視角展開解析。

一、重視結構分析，分步突破簡化

圓錐曲線在高考題目中常常占有重要位置，主要考查學生的綜合解析能力，考題設計帶有綜合性特點。教師在教學設計時，要充分考慮考題的結構組成，合理采用分步突破策略，對圓錐曲線問題做出簡化處理，以分步突破的方式進行思路構建，自然形成分步解析認知。繪制幾何圖形、構建幾何模型、歸結構建思路，將圓錐曲線重點問題做分步突破應對，能夠給學生提供清晰行進路線。教師要做好分步設定，還要做出對應引導，給學生提供適合的學習啟迪，讓學生自然建立圓錐曲線問題突破認知能力。

從這個題目設置情況看，關涉到橢圓、圓、三角形，是一道綜合性題目，還有直線與橢圓相交、直線與圓相切。在問題設置時，首先求證曲線方程，屬于基礎知識考查范圍；其次是求值范圍，考查的是綜合知識和解題技巧，只有構建面積模型，才能順利解讀問題。教師應要求學生深入題目做解析，從知識結構、繪圖程序、等量關系等方向做出研究，找到結構拆分點，對橢圓曲線關涉內容和知識做分類處理，確保下一步的操作順利展開。學生對綜合題目的分析存在更多關聯思維問題，教師針對性做出引導，對題目關涉知識做出分類處理，這是知識儲備的需要。學生有了結構分析的意識，還需要方法的支持，教師從這個角度展開思考和布設，能給學生帶來清晰學習方向。

二、推送數學方法，分步突破滲透

圓錐曲線考題設計帶有綜合性，教師適時引入數學思想方法進行應對，符合學科教學的基本要求。歸化思想、數形結合、模式構建等數學方法，都是可以利用的方法資源，教師要針對學生學習特點和要求，對圓錐曲線相關問題做出分步引導，讓學生在分步操作中找到解決方略。數學思想方法有個性特點，能對重點突破形成重要支持，教師要有分步設計意識，給學生提供更多學習提示，及時傳授一些學法，讓學生順利進入分步突破環節，在繪圖、分析、歸結、內化中完成數學思想構建。

數學思想的適時引入，能夠大大降低圓錐曲線問題的難度，特別是數學模型構建、數形結合等方法，具有更強的直觀性、邏輯感，教師要合理運用進行解析和引導，讓學生自覺建立數學思想方法意識，在具體操作中完成任務突破。面對圓錐曲線綜合問題，需要厘清分步步驟，自然滲透思想方法。教師鼓勵學生做案例解析，找出其內在關系。如求橢圓C的方程，需要明確幾個參數：如果橢圓的焦點位于x軸上，那么長軸長為2a，短軸為2b。如果一點位于橢圓上，這個點到橢圓右焦點的距離的取值情況有兩種：位于右頂點時取得最小距離；位于左頂點時取得最大距離。教師對學生探索情況進行觀察，對學生梳理角度做指導，給學生更多方法指導，確保橢圓曲線案例解讀順利展開。

分步突破路線探索時，學生需要教師的對點指導，在這個案例中，學生面對橢圓、圓、三角形的多種幾何圖形的融合情況，很容易陷入迷茫，不知從何處著手，其思維也會出現混亂。教師從題目分析角度展開引導，對圖形做對應解讀，能給學生提供清晰操作路線。

三、組織解析活動，分步突破梳理

教師組織解析活動，為分步突破形成輔助支持，能幫助學生順利完成重點突破目標。小組合作是最常見的活動形式，教師布置一定的學習任務，調動集體力量，對圓錐曲線相關問題做分步解析，能夠形成學習合力，大大提升突破效率。教師與學生展開對話活動，在問題解讀、學習探究、方法歸結、幾何特點發掘、突破路徑會商等方面進行廣泛互動，有利于激發動力。教師給學生提供更多輔助手段，鼓勵學生借助學習工具，從圖形繪制、解析方法發掘、操作路線規劃等操作中歸結方法，也能達成突破目的。

學生對解析活動有更高認同感，特別是互動性活動學生接受度更高，如果教師能夠做出明確設計，將分步操作程序進行具體規劃，給學生提供清晰操作路線，勢必能夠成功激發學生活動思維，自然實現分步突破目標。如求證兩個三角形的面積之積S1·S2的取值范圍，這里需要借助數形結合的手段，對問題進行分步突破。教師與學生一起研讀分步操作步驟：首先，對題目題干做位置分析，進行構圖操作，畫出結構圖形；其次，對橢圓與圓的交互關系做梳理，找出對應關系，從條件和設問中分析思路；最后，解題過程需要由曲線方程和位置關系來推導三角形面積之積。所以，解題的關鍵是將兩個三角形面積與韋達定理相結合，構建面積模型，選取兩個三角形的公共邊PQ，將PQ的端點坐標用根與系數的關系表示。第一步，設點P和點Q的坐標，用根與系數關系表示。第二步，由根與系數的關系表示三角形的公共邊。第三步，用參數K和m表示三角形面積之積S1·S2。

教師引導學生進入分步操作環節，給學生提出一些輔助引導，讓學生通過分步操作完成突破任務。學生進入研讀環節，要接觸更多關系式，還有復雜的運算，這都是對學生知識應用能力的考驗。

四、創新訓練設計，分步突破構建

圓錐曲線問題突破離不開強化訓練，教師在訓練任務設計、訓練活動組織、訓練實踐對接等方面做出積極探索，能夠形成更多突破的力量。特別是幾何特點的發掘，適時滲透數形結合數學思想，以形示數、由數解形、數形對照等方法的廣泛應用，能讓學生順利進入分步突破環節，在實際操作過程中建立圓錐曲線認知系統。數形結合與函數內容的廣泛對接，為圓錐曲線問題突破帶來更多選項，教師要做好對接設計，利用對應訓練題目做引導，給學生提供更多實踐的機會，促進其學科認知的順利構建。

分步突破帶有循序漸進的屬性特點，教師要切準學生學習思維展開對應設計，利用適合的訓練內容做載體，引導學生自然進入實際體驗之中，在對接性思考和合作性探索中達成學習共識，將圓錐曲線問題做集中解決，在分步操作體驗中完成認知能力成長。分步突破之后，教師應要求學生對操作過程做出梳理和歸結，找到一些操作規律，為拓寬學習提供更多借鑒。如上述這道圓錐曲線綜合題目，教師引導學生分幾個步驟展開分析解讀，體現了條件推導、模型構建、數式簡化、范圍解析、分步操作的路線特點，給學生留下較為深刻的印象。抓住幾何特點，展開分步操作，這是最為實惠的圓錐曲線綜合題目解決之道。教師針對學生學力基礎展開分析說明，給學生規劃更清晰的操作路線，學生自然進入突破環節，其教學效果更為突出，學生從解析操作中獲得的學習認知更為鮮活、立體。

圓錐曲線綜合題目突破引入分步操作模式，符合學科認知規律，帶有更強普適性。教師的直觀解讀和引導，與學生同步展開研究，給學生提供更多學習啟迪，能幫助學生順利找到解決圓錐曲線綜合題目的基本路徑，對有效提升學生應試能力有積極影響。

立足幾何特點，分步突破圓錐曲線問題，教師要發揮主導作用，重視結構分析、推送數學方法、組織解析活動、創新訓練設計，這都能給學生帶來清晰解讀路線。圓錐曲線相關問題屬于學科教學重點內容，其解析難度較大，學生大多存在畏難情緒，教師要做出清晰規劃，積極滲透分步突破策略，借助幾何特點展開對應設計，順利規劃學習路線，為學生提供更多學習助力與支持，幫助學生建立認知能力。