基于非裂變形式PML邊界條件的高階有限差分波動方程正演模擬

◇中國石油遼河油田勘探開發(fā)研究院 郝 亮

在地震波正演數(shù)值模擬中，人工邊界條件的引入會產(chǎn)生嚴(yán)重的邊界反射，影響了計算結(jié)果的正確性。本文研究了非裂變形式PML邊界條件，并將其用于高階有限差分波動方程正演模擬之中，取得了良好的正演模擬效果，證實了非裂變形式PML邊界條件的有效性。并分析了影響吸收效果的影響因素，分析結(jié)果表明，匹配層厚度越厚，吸收效果越好，衰減因子幅度越大，吸收效果越差。

在地球物理勘探中，地震波正演模擬具有十分重要的作用，通過開展地震波正演模擬的工作，可以加強(qiáng)研究人員對地下實際情況的認(rèn)識能力，有利于解決實際地震勘探中的一些問題，主要有4點：①研究地震波的傳播規(guī)律；②驗證地震記錄處理方法以及結(jié)果的有效性；③指導(dǎo)地震資料解釋和儲層預(yù)測；④作為地震反演研究的基礎(chǔ)[1-3]。目前，地震波正演模擬的方法眾多，主要有有限差分法、有限元法、偽譜法等。由于實際地震波時在無限空間中的傳播，而地震波正演模擬的數(shù)值計算區(qū)域卻是有限的，需要人為設(shè)置邊界條件，從而減弱或消除邊界反射對正演模擬結(jié)果的影響。到目前為止，國內(nèi)外的研究人員提出了許多行之有效的邊界條件，如Higdon邊界條件、Clayton邊界條件、PML邊界條件等，其中PML邊界條件及其改進(jìn)的邊界條件在地震波正演模擬中得到了廣泛的應(yīng)用[4-6]。本文主要采用非裂變形式PML邊界條件進(jìn)行了地震波正演模擬，并驗證了其有效性。

1 非裂變形式PML邊界條件

二維均勻橫向各向同性介質(zhì)聲波方程為：

借鑒彈性波方程PML吸收邊界條件的建立過程，可以得到二維聲波方程非裂變形式的完全匹配層的控制方程：

為了消除邊界反射，使用完全匹配層邊界條件。如圖1所示，將計算區(qū)域分為A、B、C、D、E、F、G、H、J個部分。J部分中、方向的衰減因子為零，也即不進(jìn)行衰減。其他部分按如下余弦型衰減因子進(jìn)行衰減：

圖1 匹配層示意圖

2 高階精度有限差分

為了提高差分計算精度，空間方向偏導(dǎo)數(shù)通常使用高階有限差分來計算，本文使用10階精度有限差分，它能保證精度又有比較高的計算效率。由于時間方向采樣間隔一般較小，時間偏導(dǎo)數(shù)使用2階精度中心差分就能滿足精度要求[5-6]。則可以得到基于非裂變形式PML邊界條件的高階有限差分方程：

3 模型測試

下面我們分別在數(shù)值模擬中加入文中的邊界條件和不加邊界條件，來分析文中方法的應(yīng)用效果。模型空間網(wǎng)格為200×200，縱橫向間隔都為5 m，時間采樣間隔為1 s，源使用25 Hz的雷克子波，位于（100，100）處，速度為2000 m/s。圖2左邊圖為沒有加入邊界條件的波場模擬時間切片（0.326秒），圖2右邊圖為使用文中的邊界條件的波場模擬時間切片（0.326秒），圖2左邊圖中出現(xiàn)了明顯的邊界反射，圖2右邊圖中沒有出現(xiàn)邊界反射，邊界的干擾得到了有效壓制。綜上所述，文中的非裂變形式的PML邊界條件能夠壓制邊界反射，并且能取得良好的效果。

圖2 吸收效果展示

為了得到更好的應(yīng)用效果，我們對匹配層厚度和衰減因子幅度對吸收效果的影響進(jìn)行了分析。使用文中的邊界條件對雙層介質(zhì)進(jìn)行了模擬。圖3上邊3幅圖衰減因子幅度為100，匹配層厚度分別為10、30、50，由圖可知匹配層厚度越厚，吸收效果越好。圖3下邊3幅圖中匹配層厚度為50，衰減因子幅度分別為100、200、300，分析可知衰減因子幅度越大，吸收效果越差。

圖3 匹配層吸收效果因素分析

4 結(jié)論

（1）非裂變形式PML邊界條件能夠有效吸收邊界反射，使正演結(jié)果更加真實。

（2）匹配層厚度越厚，吸收效果越好，衰減因子幅度越大，吸收效果越差。