柯西中值定理的應(yīng)用

楊海霞 吳應(yīng)琴

①蘭州文理學(xué)院教育學(xué)院

②中國(guó)科學(xué)院西北生態(tài)環(huán)境資源研究院，中國(guó)科學(xué)院油氣資源研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室

本文主要從求極限、證明不等式和等式、研究定點(diǎn)問題、證明函數(shù)單調(diào)性、有界性、連續(xù)性等方面介紹柯西中值定理在數(shù)學(xué)中的典型應(yīng)用，體現(xiàn)如何根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造輔助函數(shù)的思想和技巧，提供解決某些數(shù)學(xué)問題的新思路和新角度，具有一定的理論指導(dǎo)意義.

柯西中值定理在微分學(xué)中占有相當(dāng)重要的位置，是微分學(xué)的根本定理之一，也是研究微分學(xué)的根本工具，它將函數(shù)和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在了一起.數(shù)學(xué)中很多問題可以巧妙地轉(zhuǎn)化成柯西中值定理的模式，使問題的求解大大簡(jiǎn)單化.因此，該定理被普遍的應(yīng)用在某些數(shù)學(xué)問題的求解中[1-5].如何根據(jù)實(shí)際情況靈活地運(yùn)用柯西中值定理，更好地掌握柯西中值定理在解題方面的應(yīng)用思路，值得進(jìn)一步的研究探索.

1 柯西中值定理的應(yīng)用

本文重點(diǎn)介紹柯西中值定理在以下幾個(gè)方面的典型應(yīng)用.

1.1 求函數(shù)極限

用柯西中值定理求極限時(shí)，難點(diǎn)在于如何根據(jù)函數(shù)極限的特征構(gòu)造合適的輔助函數(shù).

1.2 證明不等式

用柯西中值定理證明不等式時(shí)，關(guān)鍵是如何將證明的結(jié)論變形成柯西中值定理的分式形式.

1.3 證明等式

用柯西中值定理證明等式時(shí)，要根據(jù)所要證明的等式特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助函數(shù).

1.4 研究定點(diǎn)問題

有些定點(diǎn)問題的證明可考慮使用柯西中值定理，能起到事半功倍的效果.

1.5 證明函數(shù)單調(diào)性

用柯西中值定理證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，函數(shù)往往具有或可以變形為分式結(jié)構(gòu)的特征，再借助柯西中值定理的結(jié)論來證明.

1.6 證明函數(shù)的有界性

1.7 證明函數(shù)的連續(xù)性

1.8 推導(dǎo)帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式

將要證明的結(jié)論如何巧妙地化成柯西中值定理的分式結(jié)構(gòu)是難點(diǎn).

綜合（4）式、（5）式和（6）式得

2 結(jié)語

本文通過選取典型例題介紹了柯西中值定理在解題時(shí)的主要應(yīng)用，體現(xiàn)了如何根據(jù)實(shí)際情況靈活地構(gòu)造或確定出滿足定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)，加深對(duì)柯西中值定理的理解，提供了解決某些數(shù)學(xué)問題的新思路和新視角.