函數思想在高中數列問題中的應用

◇內江師范學院數學與信息科學學院 吳 爽 張 靜 徐小琴

數列是以自變量為正整數集的一類特殊函數，是高中數學中的重要內容.借助數列的函數特性解決數列問題在一定程度上簡化運算，同時也對數列的幾何意義有更深刻的認識.借助函數的定義、圖象、性質以及構造函數幾種途徑研究和解決數列問題，對于解決數列通項、數列最值等問題有重要作用.

數列是按照一定順序排列的一列數[1].數列是一種特殊的函數，定義在正整數集或其有限子集.當自變量按照正整數從小到大依次取值時，對應的一列函數值為，對應的通項公式為[2].由此可見，任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征.克萊因曾說：“函數是數學的靈魂[3].”函數思想是數學思想的重要組成之一，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的思維策略.數列一直以來都是高考的重點內容，而數列與函數的綜合應用是高考命題的重點和熱點.因此我們在解決數列問題時，應充分利用函數相關知識，通過其概念、圖象和性質，將數列與函數聯系起來，探究它們間的內在聯系，從而有效的簡化數列問題，最終解決問題.以函數的概念、圖象、性質為工具，揭示函數思想在數列問題中的應用技巧.

1 借助函數定義簡化數列問題

2 巧用函數圖象簡化數列問題

3 活用函數性質簡化數列問題

函數性質是顯性反映函數特征的手段，在數列中，函數的諸多性質，如單調性、周期性等都有著較廣泛的應用.利用函數的單調性可以找出數列及數列前 項和的最值點，求解通項公式中的參數；利用周期性可以將較遠項轉化為較近項，簡化數列問題，從而達到較好的解題效果.

3.1 活用函數單調性

3.2 活用函數周期性

分析：本題的常規解法是根據已知條件求出數列的通項公式，進而求出所需項，但此題對于求通項公式具有一定的難度，不易求解.若借助函數的周期性，根據題意找出規律，找到數列的周期，將所需的較遠項轉化為易得的較近項，即可輕易解答問題.

4 構造函數簡化數列問題

構造函數是函數思想的重要體現，同時，構造法在解決數列問題中起著至關重要的作用.對于既不是等差數列也不是等比數列的問題，往往需要通過函數變換構造新函數將其轉化為等差數列或等比數列，達到簡化問題的目的，從而使問題得以解決.在構造函數的過程中，往往需要一定的觀察、分析問題的能力.